第04講全稱量詞與存在量詞【學習目標】1.通過已知的數學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義．2.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定3.能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定【基礎知識】一、全稱量詞與全稱命題1.短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“?”表示.2.含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.3.全稱量詞命題的表述形式:對M中任意一個x,有p(x)成立,可簡記為:?x∈M,p(x),讀作“對任意x屬于M,有p(x)成立”.4.全稱量詞命題的真假判斷:要判斷一個全稱命題量詞是真命題,必須對限定集合M中的每一個元素x,驗證p(x)成立;但要判斷一個全稱量詞命題是假命題,只需列舉出一個∈M,使得p()不成立即可.二、存在量詞與存在量詞命題(1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“?”表示.(2)含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.(3)存在量詞命題的表述形式:存在M中的一個,使p()成立,可簡記為:?∈M,p(),讀作“存在M中的元素,使p()成立”.(4)存在量詞命題的真假判斷:要判斷一個存在量詞命題是真命題,只要在限定集合M中,能找到一個,使得命題p()成立即可;否則這一命題就是假命題.三、全稱命題與存在量詞命題的否定命題類型全稱量詞命題存在量詞命題形式?x∈M,p(x)?∈M,p()否定?∈M,p()?x∈M,p(x)結論全稱量詞命題的否定是存在量詞命題存在量詞命題的否定是全稱量詞命題解讀1.常用的全稱量詞還有“所有”“每一個”“任何”“任意”“一切”“任給”“全部”.只要含有這些量詞,或者命題具有全稱量詞所表達的含義,就是全稱量詞命題.常用的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“存在”、“某個”、“有的”等.只要含有這些量詞,或者命題具有特稱量詞所表達的含義,就是存在量詞命題.2.寫出一個全稱量詞命題或存在量詞命題的否定時,通常要將命題的兩個地方進行改變,一是量詞符號要改變,二是結論要進行否定.3.全稱量詞命題(或存在量詞命題)與其否定的真假性恰好相反.【考點剖析】考點一：全稱量詞與全稱命題例1．(多選)(2022學年河南省濮陽市范縣高一上學期期中)下列命題中，是全稱量詞命題的有(

)A．至少有一個x使x2＋2x＋1＝0成立B．對任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立C．對任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立【答案】BC【解析】A和D用的是存在量詞“至少有一個”“存在”，屬存在量詞命題，B和C用的是全稱量詞“任意的”，屬全稱量詞命題，∴B、C是全稱量詞命題.故選BC.考點二：存在量詞與存在量詞命題例2．(2022學年河北省石家莊二十四中高一上學期期中)下列命題中是存在量詞命題且為假命題的是()A．， B．所有的正方形都是矩形C．， D．，使【答案】C【解析】A：命題為存在量詞命題，當時，，故為真命題；B：命題為全稱量詞命題，不是存在量詞命題；C：命題為存在量詞命題，，，故為假命題；D：命題為存在量詞命題，當時，，故為真命題.故選C考點三：全稱量詞命題的否定例3．(2020-2021學年云南省德宏州高一上學期期末統一監測)命題“”的否定是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“”的否定是，故選D考點四：存在量詞命題的否定例4．(2022學年貴州省遵義市第四中學高一上學期期末質量監測)命題“”的否定是(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】命題“”的否定是“”，故選B考點五：全稱量詞命題的真假例5．(2022學年遼寧省撫順市六校協作體高一上學期期末)已知命題：“，方程有解”是真命題，則實數a的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】“，方程有解”是真命題，故，解得：，故選B考點六：存在量詞命題的真假例6．已知命題，為假命題，則實數m的取值范圍為___________.【答案】【解析】∵命題，為假命題，∴命題，為真命題，又，∴，即實數m的取值范圍為.【真題演練】1．(2022學年山東省臨沂市四縣區聯考高一上學期期中)下列命題中，是全稱量詞命題的是(

)A．，B．當時，函數是增函數C．存在平行四邊形的對邊不平行D．平行四邊形都不是正方形【答案】D【解析】全稱命題是含有全稱量詞的命題，全稱量詞有所有，任意，每一個.AC選項含有存在量詞：存在，所以是特稱命題，B選項存在一個使得函數是增函數，所以B選項也是特稱命題.D選項所有的平行四邊形都不是正方形，所以是全稱命題.故選D.2，(2022學年湖北省黃岡市蘄春縣高一上學期期中)命題“，”的否定是(

)A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】命題“，”的否定是“，”，故選D3.(2022學年江蘇省常州市金壇區高一上學期期中)若命題“，”為假命題，則實數的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因為命題“，”為假命題，則，解得.故選B.4.(多選)(2022學年安徽省部分市縣高一上學期期末聯考)已知集合，是全集的兩個非空子集，如果且，那么下列說法中正確的有(

)A．，有 B．，使得C．，有 D．，使得【答案】BC【解析】由于是全集的非空子集，且，所以是的真子集，所以，使得、，有，即BC選項正確.故選BC5.(多選)(2022學年山東省泰安市肥城市高一上學期期中)命題“，”為真命題的一個必要不充分條件是(

)A． B． C． D．【答案】BC【解析】由題得.因為是的充要條件，是的必要非充分條件，是的必要非充分條件，是的非充分非必要條件.故選BC6.(2020-2021學年廣東省江門市新會陳經綸中學高一上學期期中)已知命題，則____________【答案】【解析】因為命題，所以根據特稱命題的否定為全稱命題，可得.故答案為.7.(2022學年安徽省部分市縣高一上學期期末)若命題“，”為假命題，則實數的取值范圍為______.【答案】【解析】若命題“，”為假命題，則一元二次方程無實數解，∴.∴a的取值范圍是.8.(2022學年安徽省宣城市六校高一上學期期中聯考)設全集，集合，非空集合，其中.(1)若“”是“”的必要條件，求a的取值范圍；(2)若命題“，”是真命題，求a的取值范圍.【解析】(1)解：若“”是“”的必要條件，則，又集合為非空集合，故有，解得，所以的取值范圍，(2)解：因為，所以或，因為命題“，”是真命題，所以，即，解得．所以的取值范圍．【過關檢測】1.(2022學年江蘇省徐州市第三十六中學高一上學期期中)命題“”的否定是()A． B．C． D．【答案】A【解析】命題“”為特稱命題，它的否定是全稱命題形式：即，故選A2.(2022學年重慶市實驗中學高一上學期10月月考)下列是全稱量詞命題且是真命題的為(

)A．， B．?，都有xC．， D．，，【答案】B【解析】A：當時，不等式不成立，因此本命題是假命題，所以本選項不符合題意；B：因為?，都有x是真命題，且是全稱命題，本選項符合題意；C：本命題是特稱命題，不符合題意；D：因為當時，不成立，因此本命題是假命題，所以本選項不符合題意.故選B3.(2022學年浙江省金華市曙光學校高一上學期10月月考)下列四個命題中，其中為真命題的是(

)A．?x∈R，x2+3<0 B．?x∈N，x2≥1C．x∈Z，x5<1 D．x∈Q，x2=3【答案】C【解析】由?x∈R都有x2≥0，則x2+3≥3，故命題“?x∈R，x2+3<0”為假命題；由0∈N，當x=0時x2≥1不成立，故命題“?x∈N，x2≥1”是假命題；由1∈Z，當x=1時x5<1，故命題“x∈Z，使x5<1”為真命題；使x2=3成立的數只有，而它們都不是有理數，因此沒有任何一個有理數的平方能等于3，則命題“x∈Q，x2=3”為假命題，故選C.4.(2022學年安徽省阜陽市太和縣三校高一上學期期中)命題“，都有”的否定是(

)A．，都有 B．，都有C．，使得 D．，使得【答案】D【解析】命題“，都有”的否定是“，使得”故選D5.(多選)(2022學年】吉林省長春市十一高中高一上學期考試)下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是(

)A．所有的正方形都是矩形 B．有些梯形是平行四邊形C．， D．至少有一個整數，使得【答案】CD【解析】對于A選項，命題“所有的正方形都是矩形”是全稱量詞命題，該命題為真命題，A不滿足要求；對于B選項，命題“有些梯形是平行四邊形”為存在量詞命題，該命題為假命題，B不滿足要求；對于C選項，命題“，”為存在量詞命題，取，則，該命題為真命題，C滿足要求；對于D選項，命題“至少有一個整數，使得”為存在量詞命題，取，則，該命題為真命題，D滿足要求.故選CD.6.(多選)下列關于二次函數的說法正確的是(

)A．，B．，，C．，，D．，【答案】BD【解析】對于二次函數，其圖象開口向上，對稱軸為直線，最小值為－1，所以，錯誤，故A錯誤；所以，，正確，故B正確；所以，，錯誤，故C錯誤；所以，正確，故D正確.故選BD.7.命題“，”為真命題的一個充分不必要條件是(

)A． B． C． D．【答案】AB【解析】若“，”為真命題，則，，∴，命題“，”為真命題的一個充分不必要條件是a的取值范圍為的真子集．故選AB．8.(2022學年重慶市楊家坪中學高一上學期第三次月考)若命題“”為真命題，則實數a的取值范圍為___________.【答案】##【解析】由題設命題為真命題，則，解得.∴a的取值范圍為.9.若“，”的否定是假命題，則實數的取值范圍是_______________．【答案】【解析】由題意，“，”的否定