2024高考數學講義一統計與統計案例

目錄

1.第1講隨機抽樣...........................................................1

1.1.基礎知識整理............................................................1

1.2.考試核心突破............................................................4

1.2.1.考向一簡單隨機抽樣..............................................4

1.2.2.考向二分層抽樣...................................................6

1.3.課堂作業.................................................................8

2.第2講用樣本估計總體....................................................13

2.1.基礎知識整理...........................................................13

2.2.考試核心突破..........................................................17

2.2.1.考向一統計圖表及應用...........................................17

2.2.2.考向二用樣本估計總體...........................................23

2.3.課堂作業..............................................................26

3.第3講變量間的相關關系與統計案例.........................................35

3.1.基礎知識整理..........................................................35

3.2.考試核心突破..........................................................40

3.2.1.考向一兩個變量的相關性..........................................40

3.2.2.考向二回歸分析...................................................45

3.2.3.考向三獨立性檢驗................................................48

3.3.課堂作業................................................................52

1.第1講隨機抽樣

1.1.基礎知識整理

1.簡單隨機抽樣

(1)定義：設一個總體含有N個個體，從中畫逐個不放回地抽取〃個個體

作為樣本如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會畫都相等,

就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.

(2)最常用的簡單隨機抽樣方法：畫抽簽法和畫隨機數法.

第1頁共60頁

(3)抽簽法與隨機數法的區別與聯系

抽簽法和隨機數法都是簡單隨機抽樣方法，但是抽簽法適合在總體和樣本

都較少，容易攪拌均勻時使用，而隨機數法除了適合總體和樣本都較少的情況

外，還適用于總體較多但是需要的樣本較少的情況，這時利用隨機數法能夠快速

地完成抽樣.

2.分層抽樣

(1)定義：在抽樣時，將總體分成廚互不交叉的層,然后按照一定的畫比

例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，

這種抽樣方法是一種分層抽樣.

(2)分層抽樣的應用范圍：當總體是由畫差異明顯的幾個部分組成時,往往

選用分層抽樣.

知識拓展

1.不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率是相同的.

2.分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數為該層的個體數乘以抽樣

比.

1.某班有男生36人，女生18人，用分層抽樣的方法從該班全體學生中抽

取一個容量為9的樣本，則抽取的女生人數為()

A.6B.4

C.3D.2

答案C

9

解析抽取的女生人數為*7■五X18=3,故選C.

30+18

2.為了了解全年級240名學生的身高情況，從中抽取40名學生進行測量，

下列說法正確的是()

A.總體是240B.個體是每一個學生

C.樣本容量是40名學生D.樣本容量為40

答案D

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解析研究此類問題首先要弄清楚所要調查的對象是什么.本題調查的對

象是“學生的身高”這一項指標，故A,B不正確；而樣本容量是數量，故C不

正確，D正確.

3.（2020.鄭州摸底）某電視臺在因特網上就觀眾對其某一節目的喜愛程度進

行調查，參加調查的一共有20000人，其中各種態度對應的人數如下表所示：

最喜愛喜愛一般不喜歡

4800720064001600

電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽選100人進行更為詳

細的調查，為此要進行分層抽樣，那么在分層抽樣時，每類人中應抽選的人數分

別為（）

A.25,25,25,25B.48,72,64,16

C.20,40,30,10D.24,36,32,8

答案D

解析因為抽樣比為溫J=擊，所以每類人中應抽選的人數分別為

4800X念=24,7200X忐=36,6400X忐=32,1600X余=8.故選D.

4.（2021?廣西南寧高三月考）某公司在甲、乙、丙、丁四個地區分別有150

個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調查產品銷售的情況，需從這600

個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調查為①；在丙地區有10個特

大型銷售點，要從中抽取7個銷售點調查其銷售收入和售后服務等情況，記這

項調查為②，則完成①②這兩項調查宜采用的抽樣方法分別為.

答案分層抽樣、簡單隨機抽樣

解析由調查①可知個體差異明顯，故宜用分層抽樣；調查②中個體數較

少，且個體之間沒有明顯差異，故宜用簡單隨機抽樣.

5.（2020.廣東省七校聯考）假設要考察某公司生產的狂犬疫苗的劑量是否達

標，現用隨機數法從500支疫苗中抽取50支進行檢驗，利用隨機數表抽取樣本

時，先將500支疫苗按000,001，…，499進行編號，若從隨機數表第7行第8

列的數開始向右讀，則抽取的第3支疫苗的編號為.（下面摘取了隨機數

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表的第7行至第9行）

844217533157245506887704744767217633502583921206

76

630163785916955567199810507175128673580744395238

79

332112342978645607825242074438155100134299660279

54

答案068

解析由題意，得從隨機數表第7行第8列的數開始向右讀，符合條件的

前三個編號依次是331,455,068,故抽取的第3支疫苗的編號是068.

1.2.考試核心突破

1.2.1.考向一簡單隨機抽樣

例1（1）下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣的個數為（）

①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本；

②盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質量檢驗.在抽樣操作時，

從中任意拿出一個零件進行質量檢驗后再把它放回盒子里；

③從20件玩具中一次性抽取3件進行質量檢查；

④某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽.

A.0B.1

C.2D.3

答案A

解析①不是簡單隨機抽樣.因為被抽取樣本的總體的個體數是無限的，而

不是有限的.②不是簡單隨機抽樣.因為它是放回抽樣.③不是簡單隨機抽樣.因

為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽取.④不是簡單隨機抽樣.因為指定

個子最高的5名同學是56名同學中特指的，不具有隨機性，不是等可能的抽

樣.故選A.

⑵總體由編號為01,02,…，19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數表

選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列數字開始由左到右依次

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選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為()

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07

C.02D.01

答案D

解析選出來的5個個體的編號依次是08,02,14,07,01,故選D.

(1)簡單隨機抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個體數有限;

②逐個抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取.

(2)抽簽法與隨機數法的適用情況

①抽簽法適用于總體中個數較少的情況，隨機數法適用于總體中個數較多

的情況；

②一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽

是否易攪勻.

1.某中學開學后從高一年級的學生中隨機抽取90名學生進行

家庭情況調查，經過一段時間后再次從這個年級隨機抽取100名學生進行學情

調查，發現有20名同學上次被抽到過，估計這個學校高一年級的學生人數為

()

A.180B.400

C.450D.2000

答案C

9020

解析設這個學校高一年級的學生人數約為％,則工=而，...x=450.故選

C.

2.福利彩票“雙色球”中紅色球的號碼可從編號為01,02,33的33

個數中隨機選取，某彩民利用下面的隨機數表選取6個數作為6個紅色球的號

碼，選取方法是從下列隨機數表中第1行第6列的數字開始由左到右依次選取

兩個數字，則選出來的第6個紅色球的號碼為()

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4954435482173793237887352096438426349164

5724550688770474476721763350258392120676

A.23B.09

C.02D.17

答案C

解析從隨機數表第1行第6列的數字開始由左到右依次選取兩個數字，

則選出的6個紅色球的號碼依次為21,32,09,16,17,02,故選出的第6個紅色球的

號碼為02.故選C.

1.2.2.考向二分層抽樣

例2（1）某學校高一年級1802人，高二年級1600人，高三年級1499

人，現采用分層抽樣的方法從中抽取98名學生參加全國中學生禁毒知識競

賽，則在高課堂作業高一、高二、高三三個年級中抽取的人數分別為（）

A.35,33,30B.36,32,30

C.36,33,29D.35,32,31

答案B

解析先將每個年級的人數湊整，得高一1800人，高二1600人，高三1500

人，則三個年級的人數所占比例分別為目，￡工，因此，各年級抽取人數分別

為98送=36,98X隼32,98義魯=30,故選B.

（2）（2020.河南百校聯盟仿真）2020年夏季來臨，某品牌飲料舉行夏季促銷活

動，瓶蓋內部分別印有標識A“謝謝惠顧”、標識8“再來一瓶”以及標識。“品

牌紀念幣一枚”，每箱中印有A,B,。標識的飲料數量之比為3：1：2,若顧

客購買了一箱（12瓶）該品牌飲料，則兌換“品牌紀念幣”的數量為（）

A.2B.4

C.6D.8

答案B

21

解析根據題意，得“品牌紀念幣一枚”的瓶數占總體的&=一-二不則一

JI1?乙J

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箱中兌換“品牌紀念幣”的數量為)X12=4.

觸類旁通］分層抽樣的步驟

(1)將總體按一定標準分層.

⑵計算各層的個體數與總體數的比，按各層個體數占總體數的比確定各層

應抽取的樣本容量.

(3)在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣).

即時訓練3.如下餅圖，某學校共有教師120A,從中選出一個30人的樣

本，其中被選出的青年女教師的人數為(

A.12B.6

C.4D.3

答案D

解析青年教師的人數為120X(1-30%-40%)=36,所以青年女教師有36

30

-24=12A,故青年女教師被選出的人數為12X礪=3.故選D.

4.經調查，某市騎行共享單車的老年人、中年人、青年人的比例為1：3：

6,用分層抽樣的方法抽取了一個容量為〃的樣本進行調查，其中中年人人數為

12,則〃=()

A.30B.40

C.60D.80

答案B

解析由題意，設老年人和青年人人數分別為X,y,由分層抽樣，得X：12：

y=1：3：6,解得x=4,y=24,貝"〃=4+12+24=40,故選B.

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1.3.課堂作業

一、單項選擇題

1.某政府機關在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般干部

70人，工人20人，上級部門為了了解該機關對政府機構改革的意見，要從中抽

取20人，用下列哪種方法最合適？（）

A.抽簽法B.隨機數法

C.簡單隨機抽樣法D.分層抽樣法

答案D

解析總體由差異明顯的三部分構成，應選用分層抽樣法.

2.在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從

中抽取了200名居民的閱讀時間進行統計分析，在這個問題中，5000名居民的

閱讀時間的全體是（）

A.總體B.個體

C.樣本容量D.從總體中抽取的一個樣本

答案A

解析根據題意，結合總體、樣本、個體、樣本容量的定義可知，5000名

居民的閱讀時間的全體是總體.

3.（2021.廣東揭陽高三月考）某單位200名職工的年齡分布情況如圖所示，現

要從中抽取40名職工作樣本，若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應抽取

（）

A.10人B.15人

C.20人D.25人

答案C

解析由年齡分布情況圖可得40歲以下年齡段應抽取40X50%=20人.故

選C.

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4.有一批計算機，其編號分別為001,002,003,…，112,為了調查計算機

的質量問題，打算抽取4臺人樣.現在利用隨機數表法抽樣，在下面隨機數表中

選第1行第6個數“0”作為開始，向右讀，那么抽取的第4臺計算機的編號為

()

53797076269429274399551981068501

92644607202139207766381732561640

58587766317005002593054553707814

A.072B.021

C.077D.058

答案B

解析依次可得到需要的編號是076,068,072,021,故抽取的第4臺計算機

的編號為021.

5.某工廠生產甲、乙、丙三種型號的產品，產品數量之比為3:5:7,現

用分層抽樣的方法抽出容量為〃的樣本，其中甲種產品有18件，則樣本容量〃

=()

A.54B.90

C.45D.126

答案B

3

解析依題意得壬百X〃=18,解得〃=90,即樣本容量為90.

6.利用簡單隨機抽樣，從〃個個體中抽取一個容量為10的樣本.若第二

次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為4則在整個抽樣過程中，每個個體

被抽到的概率為()

1

A1B

「5-10

C-UD-27

答案c

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解析根據題意，^77=1，解得〃=28.故每個個體被抽到的概率為多得

7.某工廠的一、二、三車間在12月份共生產了3600雙皮靴，在出廠前

檢查這批產品的質量，決定采用分層抽樣的方法進行抽取.若從一、二、三車

間抽取的產品數分別為a,b,c,且20=a+c,則二車間生產的產品數為

（）

A.800B.1000

C.1200D.1500

答案C

解析因為28=a+c,所以從二車間抽取的產品數占抽取產品總數的;，根

據分層抽樣的性質可知二車間生產的產品數占總數的;，即為3600x4=1200,

故選C.

8.（2020.蘇州模擬）蘇州市6月1日起正式實施的《生活垃圾分類管理條例》

將城市生活垃圾分為“可回收物”“有害垃圾”“廚余垃圾”和“其他垃圾”

四大類.某社區為了分析不同年齡段的人群對垃圾分類知識的了解情況，對轄區

內的居民進行分層抽樣調查.已知該社區的青年人、中年人和老年人分別有800

人、900人、700人，若在老年人中的抽樣人數是35,則在青年人中的抽樣人數

是（）

A.20B.40

C.60D.80

答案B

解析由題可知抽取的比例為Z=益=古，故青年人應該抽取的人數為N

=800X4=40.故選B.

9.某高中的三個興趣小組的人數分布如下表（每名同學只參加一個小組）:

象棋組圍棋組橋牌組

局一9060X

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高二302040

現要對這三個小組的活動效果進行抽樣調查，從參加這三個興趣小組的學

生中按小組采用分層抽樣的方法抽取60人，已知圍棋組被抽出16人，則x的

值為（）

A.30B.60

C.80D.100

答案B

解析由題意，知肅齊=然上，解得》=60,故選B.

oO+20Z4U+X

二、多項選擇題

10.某學校有體育特長生25人，美術特長生35人，音樂特長生40人，用

分層抽樣的方法從中抽取40人，貝女）

A.抽取的體育特長生為10人

B.抽取的美術特長生為15人

C.抽取的音長特長生為16人

D.抽取的體育特長生和美術特長生共25人

答案AC

25

解析抽取的體育特長生、美術特長生、音樂特長生分別為

冒/J一IU二I五IX40

=10（A）,六亂4nx*14（人）,又二建4nx*16（人）.故選AC.

11.某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1200輛,6000輛和2000輛.為

檢驗該公司的產品質量，公司質監部門要抽取46輛進行檢驗，則下列說法正確

的是（）

A.應采用分層抽樣法抽取

B.應采用抽簽法抽取

C.三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛

D.這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的

答案ACD

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解析由于總體按型號分為三個子總體，所以應采用分層抽樣法抽取，A正

確；因為總體量較大，故不宜采用抽簽法，所以B錯誤；設三種型號的轎車依

xyz

次抽取X輛、y輛、z輛，則有＜1200一6000一2000，解得

x+y+z=46,

x=6,

y=30,所以三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛，故C正確；

{z=10,

由分層抽樣的意義可知D也正確.

三、填空題

12.某小學三年級有甲、乙兩個班，其中甲班有男生30人、女生20人，乙

班有男生25人、女生25人，現在需要各班按男女生分層抽取20%的學生進行

某項調查，則兩個班共抽取男生的人數是_______.

答案11

解析根據題意，知兩個班共抽取男生的人數為3OX2O%+25X2O%=11.

13.某報社做了一次關于“什么是新時代的雷鋒精神”的調查，在A,B,

C,。四個單位回收的問卷數依次成等差數列，且共回收1000份，因報道需要，

再從回收的問卷中按單位分層抽取容量為150的樣本，若在B單位抽取30份,

則在D單位抽取的問卷是份.

答案60

解析由題意，設在A,B,C,。四個單位回收的問卷數分別為0,42,

。3,。4,在。單位抽取的問卷數為%則有鄧=喘素解得Q2=200,又G+G

+a3+a4=1000,即3a2+=1000,=400,*'-4QQ=?QQQ,解得〃=60.

14.（2020.江蘇無錫期末）如表是關于某校高一年級男女生選科意向的調查

數據，人數如表所示：

選修物理選修歷史

男生16040

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女生80120

現要在所有參與調查的人中用分層抽樣的方法抽取〃個人做進一步的調查,

若在“選修物理的男生”中抽取了8人，則〃的值為.

答案20

Q匕

解析由分層抽樣的性質得而160+40+80+12。，

解得〃=20.

2.第2講用樣本估計總體

2.1.基礎知識整理

1.用樣本的頻率分布估計總體分布

(1)作頻率分布直方圖的步驟

①求極差(即一組數據中回1最大值與同最小值的差).

②決定畫組距與畫組數.

③將數據畫分組.

④列1061頻率分布表.

⑤畫畫頻率分布直方圖.

(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線

①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的碉中點,就

得到頻率分布折線圖.

②總體密度曲線：隨著畫樣本容量的增加,作圖時回所分的組數增加，

回組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統計中稱這條

光滑曲線為總體密度曲線.

(3)莖葉圖

莖是指間中間的一列數,葉是從莖的叵旁邊生長出來的數.

2.用樣本的數字特征估計總體的數字特征

第13頁共60頁

(1)眾數：一組數據中出現次數最多的數.

(2)中位數：將數據從小到大排列，若有奇數個數，則最中間的數是中位數；

若有偶數個數，則中間兩數的平均數是中位數.

(3)平均數：x=Q4]反映了一組數據的平均水平.

(4)標準差：是樣本數據到平均數的一種平均距離，s=

回_弋夕(XI-+(X2一$)2+…+(泡一丑1.

(5)方差：?=回力3__-導尸+(X2-與+…+(也一與■)2](x”是樣本數據，n是

樣本容量，I是樣本平均數).

知識拓展

1.頻率分布直方圖與眾數、中位數與平均數的關系

(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數.

(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.

(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長

方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.

2.標準差與方差的特點

反映了各個樣本數據聚集于樣本平均數周圍的程度.標準差(方差)越小，表

明各個樣本數據在樣本平均數周圍越集中；標準差(方差)越大，表明各個樣本數

據在樣本平均數的兩邊越分散.

3.平均數、方差的公式推廣

(1)若數據xi,X2,?,,,%”的平均數為x,那么mx\+a,mxi+a,mx3+a,,,,,

mxn+a的平均數是mx+a.

(2)若數據XI,X2,—,X"的方差為$2,則:

①數據xi+a,X2+a,-,X"+a的方差也為52;

②數據?I,0X2,…,""的方差為a2s2.

I雙基自測

第14頁共60頁

1.為評估一種農作物的種植效果，選了〃塊地作試驗田.這〃塊地的畝產

量（單位：kg）分別為幻，X2,…，X",下面給出的指標中可以用來評估這種農作

物畝產量穩定程度的是（）

A.XI,X2,尤”的平均數B.X\,X2,…，龍"的標準差

C.XI,X2,?,,,X"的最大值D.XI,X2,…，X"的中位數

答案B

解析因為可以用極差、方差或標準差來描述數據的離散程度，所以要評估

畝產量穩定程度，應該用樣本數據的極差、方差或標準差.故選B.

2.（2020.云川貴百校聯考）某課外小組的同學們從社會實踐活動中調查了20

戶家庭某月的用電量，如下表所示:

用電量/度120140160180200

戶數23582

則這20戶家庭該月用電量的眾數和中位數分別是（）

A.180,170B.160,180

C.160,170D.180,160

答案A

解析用電量為180度的家庭最多，有8戶，故這20戶家庭該月用電量的

眾數是180,排除B,C;將用電量按從小到大的順序排列后，處于最中間位置

的兩個數是160,180,故這20戶家庭該月用電量的中位數是170.故選A.

3.在樣本頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的

2

面積等于其他8個長方形的面積和的彳且樣本容量為140,則中間一組的頻數

為（）

A.28B.40

C.56D.60

答案B

解析設中間一個小長方形的面積為，其他8個長方形的面積和為|x,因

第15頁共60頁

522

止匕工+/=1,所以x=］.所以中間一組的頻數為140X,=40.故選B.

4.（2019?全國卷II）演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評

定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個

有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數字特征是（）

A.中位數B.平均數

C.方差D.極差

答案A

解析中位數是將9個數據從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的

數據，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數，平均數、方差、極

差均受影響.故選A.

5.（2020.全國卷III）設一組樣本數據汨，孫…，X”的方差為0.01,則數據

10X1,10X2,…，10X"的方差為（）

A.0.01B.0.1

C.1D.10

答案C

解析因為數據"j+b（i=1,2,…,〃）的方差是數據加0=1,2,…,"）的方

差的倍，所以所求數據的方差為=1.故選C.

6.對一批產品的長度（單位：毫米）進行抽樣檢測，樣本容量為200,如圖為

檢測結果的頻率分布直方圖，根據產品標準，單件產品長度在區間［25,30）的為一

等品，在區間［20,25）和［30,35）的為二等品，其余均為三等品，則該樣本中三等品

的件數為.

答案50

解析根據題中的頻率分布直方圖可知，三等品的頻率為1-（0.0500+

第16頁共60頁

0.0625+0.0375）X5=0.25,因此該樣本中三等品的件數為200X0.25=50.

2.2.考試核心突破

多角度探究突破

2.2.1.考向一統計圖表及應用

角度1扇形圖

例1（2018.全國卷I）某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加

了一倍，實現翻番.為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地

區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：

則下面結論中不正確的是（）

A.新農村建設后，種植收入減少

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半

答案A

解析設新農村建設前的收入為M,則新農村建設后的收入為2M,新農村

建設前種植收入為0.6M,新農村建設后的種植收入為0.74M,所以種植收入增

加了，所以A不正確；新農村建設前其他收入為0Q4M,新農村建設后其他收

入為0.1M,故增加了一倍以上，所以B正確；新農村建設前，養殖收入為0.3M,

新農村建設后為0.6M,增加了一倍，所以C正確；新農村建設后，養殖收入與

第三產業收入的總和占經濟收入的30%+28%=58%>50%,所以超過了經濟收

第17頁共60頁

入的一半，所以D正確.故選A.

角度2折線圖

例2（多選）（2020?海南高考調研）如圖所示的折線圖是2020年1月25日至

2020年2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例的折線圖，則下列判斷

正確的是（）

A.1月31日陜西省新冠肺炎累計確診病例中西安市占比超過了"

B.1月25日至2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例都呈遞增

趨勢

C.2月2日后到2月10日陜西省新冠肺炎累計確診病例增加了97例

D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累計確診病例的增長率大于2月

6日到2月8日的增長率

答案ABC

解析1月31日陜西省新冠肺炎累計確診病例共有87例，其中西安32例，

321

所以西安市所占比例為記〉），故A正確；由折線圖可知，1月25日到2月12

日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例都呈遞增趨勢，故B正確；2月2日

后到2月10日陜西省新冠肺炎累計確診病例增加了213-116=97例，故C正

98-885

確；2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累計確診病例增加了一—=在，2

88-74775

月6日到2月8日西安市新冠肺炎累計確診病例增加了一^—=為，顯然萬〉石，

故D錯誤.

第18頁共60頁

角度3頻率分布直方圖

例3（1）（2020?天津高考）從一批零件中抽取80個,測量其直徑（單位：mm）,

將所得數據分為9組：［5.31,5.33）,［5.33,5.35）,…，［5.45,5.47）,［5.47,5.49］,并

整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區間［5.43,5.47）

內的個數為（）

C.20D.36

答案B

解析根據頻率分布直方圖可知，直徑落在區間［5.43,5.47）之間的頻率為

（6.25+5.00）X0.02=0.225,則直徑落在區間［5.43,5.47）內零件的個數為

80X0.225=18.故選B.

（2）（多選）（2020.臨沂模擬）在某次高中學科競賽中，4000名考生的參賽成績

統計如圖所示,60分以下視為不及格，若同一組中數據用該組區間中點作代表，

則下列說法中正確的有（）

A.成績在［70,80］分的考生人數最多

B.不及格的考生人數為1000人

C.考生競賽成績的平均分約為70.5分

第19頁共60頁

D.考生競賽成績的中位數為75分

答案ABC

解析根據頻率分布直方圖得，成績出現在［70,80］的頻率最大，故A正確；

不及格考生數為10X(0.010+0.015)X4000=1000,故B正確；根據頻率分布直

方圖估計考試的平均分為45X0.1+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.15+

95X0.1=70.5,故C正確；0.1+0.15+0.2=0.45<0.5,0.1+0.15+0.2+0.3=0.75

0.5-0.45

>0.5,所以考生競賽成績的中位數為70+―記一X10七71.67,故D錯誤.故

選ABC.

觸類旁通

(1)通過扇形統計圖可以很清楚的表示出各部分數量同總數之間的關系.

(2)折線圖可以顯示隨時間(根據常用比例放置)而變化的連續數據，因此非常

適用于顯示在相等時間間隔下數據的趨勢.

(3)準確理解頻率分布直方圖的數據特點

①頻率分布直方圖中縱軸上的數據是各組的頻率除以組距的結果，不要誤

以為縱軸上的數據是各組的頻率，不要和條形圖混淆；

②頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1,這是解題的關鍵，常利用

頻率分布直方圖估計總體分布.

P即時訓練1.(2020.葫蘆島模擬)書籍是人類的智慧結晶和進步階梯，閱讀

是一個國家的文化根基和創造源泉.2014年以來，“全民閱讀”連續6年被寫入

政府工作報告.某高中為了解學生假期自主閱讀書籍類型，在全校范圍內隨機抽

取了部分學生進行調查.學生選擇的書籍大致分為以下四類：A歷史類、B文學

類、C科學類、D哲學類.根據調查的結果，將數據整理成如下的兩幅不完整的

統計圖，其中a=10.

第20頁共60頁

根據上述信息，可知本次隨機抽查的學生中選擇A歷史類的人數為（）

A.45B.30

C.25D.22

答案B

30-18

解析由題可知，樣本容量為一b=120,所以選擇A歷史類的人數為

120-42-30-18=30.故選B.

2.（2020.汕頭二模）新型冠狀病毒疫情發生后，口罩的需求量大增，某口罩

工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出兩種新的生產方式，為比較兩種

生產方式的效率，選取80名工人，將他們隨機分成兩組，每組40人，第一組工

人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式.

第一種生產方式40名工人完成同一生產任務所用時間（單位：min）如表:

6787889888

8257320394

8879798989

8761907162

8887996887

8716543751

9678998876

6345297259

第二種生產方式40名工人完成同一生產任務所用時間（單位：min）如扇形圖

所示：

第21頁共60頁

(1)請填寫第一種生產方式完成任務所用時間的頻數分布表并作出頻率分布

直方圖:

生產

[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

時間

頻數

(2)試從扇形圖中估計第二種生產方式的平均數；

(3)根據頻率分布圖和扇形圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由.

解(1)第一種生產方式完成任務所用時間的頻數分布表如下：

生產

[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

時間

頻數481810

頻率分布直方圖如下:

(2)從扇形圖中估計第二種生產方式的平均數為

65X0.25+75X0.5+85X0.2+95X0.05=75.5min.

第22頁共60頁

（3）從頻率分布直方圖中估計第一種生產方式的平均數為

65X0.1+75X0.2+85X0.45+95X0.25=83.5min,

從平均數的角度發現：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需要的時

間高于80分鐘；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需要的時間低于80

分鐘，因此第二種生產方式的效率更高.

2.2.2.考向二用樣本估計總體

例4（1）（多選）為了了解某校高一年級1600名學生的體能情況，隨機抽查

了部分學生，測試1分鐘仰臥起坐的成績（次數），將數據整理后繪制成如圖所示

的頻率分布直方圖，根據統計圖的數據，下列結論正確的是（）

A.該校高一年級學生1分鐘仰臥起坐的次數的中位數為26.25次

B.該校高一年級學生1分鐘仰臥起坐的次數的眾數為27.5次

C.該校高一年級學生1分鐘仰臥起坐的次數超過30次的約有320人

D.該校高一年級學生1分鐘仰臥起坐的次數少于20次的約有32人

答案ABC

解析由題圖可知中位數是26.25次，眾數是27.5次，1分鐘仰臥起坐的次

數超過30次的頻率為0.2,所以估計該校高一年級學生1分鐘仰臥起坐的次數

超過30次的約有320人；1分鐘仰臥起坐的次數少于20次的頻率為0.1,所以

該校高一年級學生1分鐘仰臥起坐的次數少于20次的約有160人.故A,B,

C正確，D錯誤，故選ABC.

（2）（2020.香坊區校級二模）2020年初新冠病毒疫情爆發，全國范圍開展了

“停課不停學”的線上教學活動.哈六中數學組積極研討網上教學策略：先采取

甲、乙兩套方案教學，并對分別采取兩套方案教學的班級的7次線上測試成績

第23頁共60頁

進行統計如圖所示:

①請填寫如表(要求寫出計算過程)

平均數方差

甲

乙

②從下列三個不同的角度對這次方案選擇的結果進行分析：

a.從平均數和方差相結合看(分析哪種方案的成績更好)；

b.從折線圖上兩種方案的走勢看(分析哪種方案更有潛力).

解①由圖象可得，工甲=；X(109+111+113+115+117+119+121)=115,

1乙=；乂(121+115+109+115+113+117+115)=115,

貝1]5%=；*(62+42+22+()2+22+42+62)=16,

1Qf)

=jX(62+02+62+02+22+22+02)=11.43,

故表格第一行：115,16;第二行：115,約為11.43.

②a.因為工甲=工乙，s%>s"故乙方案更好.

b.由折線圖可知甲走勢穩定上升，故甲方案更好.

觸類旁通眾數、中位數、平均數、方差的意義及常用結論

(1)平均數與方差都是重要的數字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們

所反映的情況有著重要的實際意義，平均數、中位數、眾數描述數據的集中趨勢,

方差和標準差描述數據的波動大小.

第24頁共60頁

(2)方差的簡化計算公式：=+焉+…+粉或寫成$2=：("+

M+…+京)-\2,即方差等于原始數據平方的平均數減去平均數的平方.

即時訓練3.某學校共有學生2000人，其中高一800人，高二、高三各

600人，學校對學生在暑假期間每天的讀書時間做了調查統計，全體學生每天的

讀書時間的平均數為工=3小時，方差為$2=1.966,其中三個年級學生每天讀

書時間的平均數分別為11=2.7,12=3.1,13=3.3,又已知高一學生、高二學

生每天讀書時間的方差分別為6=1,0=2,則高三學生每天讀書時間的方差考

答案3

解析由題意可得，1.966=微義口+(2.7-3)2]+毀><[2+(3.1—3)2]+

雅義武+(3.3-3月,解得*=3.

4.(2020.南寧模擬)為了檢測某種零件的一條生產線的生產過程，從生產線

上隨機抽取一批零件，根據其尺寸的數據得到如圖所示的頻率分布直方圖.若尺

寸落在區間(1-2s,x+2s)之外，則認為該零件屬于“不合格”的零件，其中

%,s分別為樣本平均數和樣本標準差，計算可得s七15(同一組中的數據用該組

區間的中點值作代表).

(1)求樣本平均數的大小；

(2)若一個零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.

解⑴1=35X10X0.005+45X10X0.010+55X10X0.015+

65X10X0.030+75X10X0.020+85X10X0.015+95X10X0.005=66.5.

第25頁共60頁

(2)x+2s=66.5+30=96.5,x-2s=66.5-30=36.5,100>96.5，二該零件屬

于“不合格”的零件.

---------------------------------------P課時作業］---------------------------------------

2.3.課堂作業

一、單項選擇題

1.如圖，樣本A和8分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數分別為

工A和工8,樣本標準差分別為S4和SB,貝女)

A.XA>X