廣西柳州市2023屆高三第三次模擬數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合人={-1,1,2},B={x|x-l>0},則Au3=（）

A.{1,2}B.[l,+oo）C.[—1,-Ko）D.11<J[1,+OO）

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=」（i為虛數(shù)單位）的共輾復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.世界人口變化情況的三幅統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.

世界人口變化情況統(tǒng)計(jì)圖2050年世界人口分布預(yù)測(cè)圖

年份

2050年世界人口預(yù)測(cè)圖

及大洋洲

下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加

B.2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多

C.1957年到2050年各洲中北美洲人口增長(zhǎng)速度最慢

D.2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平

4.某高中調(diào)查學(xué)生對(duì)2022年冬奧會(huì)的關(guān)注是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽樣調(diào)查150人，進(jìn)

行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算得校=/八八聽咐\人,\=5.879,臨界值表如下：

a0.150.100.050.0250.010

%2.0722.0763.8415.0246.635

則下列說法中正確的是：()A.有97.5%的把握認(rèn)為“學(xué)生對(duì)2022年冬奧會(huì)的關(guān)注與

性別無關(guān)”

B.有99%的把握認(rèn)為“學(xué)生對(duì)2022年冬奧會(huì)的關(guān)注與性別有關(guān)“

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過2.5%的前提下可認(rèn)為“學(xué)生對(duì)2022年冬奧會(huì)的關(guān)注與性別有

關(guān),，

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過2.5%的前提下可認(rèn)為“學(xué)生對(duì)2022年冬奧會(huì)的關(guān)注與性別無

關(guān)”

5.2022年10月16日上午10時(shí)，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在北京人民大會(huì)

堂隆重開幕.某單位組織全體黨員在報(bào)告廳集體收看黨的二十大開幕式，認(rèn)真聆聽習(xí)近

平總書記向大會(huì)所作的報(bào)告.已知該報(bào)告廳共有10排座位，共有180個(gè)座位數(shù)，并且從

第二排起，每排比前一排多2個(gè)座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為()

A.23B.25C.27D.29

對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉

斯稱贊“對(duì)數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”，現(xiàn)代物理學(xué)之父伽

利略評(píng)價(jià)“給我空間、時(shí)間及對(duì)數(shù)，我可以創(chuàng)造一個(gè)宇宙”.已知=0.3010,lg3?0.4771,

設(shè)N=45x9i°,則N所在的區(qū)間為()

A.(10",10'2)B.(10,2,1013)C.(10l3,1014)D.(1014,1015)

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

8.已知且可卜+?)=38$2。，則sin2a=()

2115

-

A.3-B.6-3-D.6-

9.沙漏是我國(guó)古代的一種計(jì)時(shí)工具，是用兩個(gè)完全相同的圓錐頂對(duì)頂疊放在一起組成

的(如圖).在一個(gè)圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點(diǎn)處漏到另一個(gè)圓錐中，

假定沙子漏下來的速度是恒定的.已知一個(gè)沙漏中沙子全部從一個(gè)圓錐中漏到另一個(gè)圓

錐中需總時(shí)長(zhǎng)為1小時(shí)，當(dāng)上方圓錐中沙子漏至圓錐高度的;時(shí)，所需時(shí)間為()

A.g小時(shí)B.(小時(shí)C.段小時(shí)D.蔡小時(shí)

10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖是直角邊長(zhǎng)分別為2和4的兩

個(gè)全等的直角三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為()

11.過雙曲線M：的左頂點(diǎn)/作斜率為1的直線/,若/與雙曲線M的

兩條漸近線分別相交于8、C,且BA+8C=O,則雙曲線M的離心率是()

A.V10B.75C.巫D.亞

32

12.已知〃x)=x+eT,g(x)=x"-alnx(a<0),若/(x)2g(x)在xw(l,+oo)上恒成

立，則實(shí)數(shù)。的最小值為()

A.—2eB.-eC.—>/eD.—

2

二、填空題

13.向量a=。,一2),6=(—1,0),^(a-b)1(Aa+b),貝1」幾=.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y2=-8x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,尸為拋物線上一點(diǎn),

過點(diǎn)P作交準(zhǔn)線/于點(diǎn)4若|P4=|AF|,則OP的長(zhǎng)為.

15.己知數(shù)列｛%｝滿足q=l,%=2,??+2-??=(-1)"+2,則數(shù)列｛q｝的前30項(xiàng)和為

16.已知A(—1,0),8(3,0),P是圓。：f+y2=49上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則sinNAPB的最

大值為?

三、解答題

17.隨著中國(guó)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略以來，中國(guó)制造(Madeinchina)逐漸成為世界上認(rèn)知

度最高的標(biāo)簽之一，企業(yè)也越來越重視產(chǎn)品質(zhì)量的全程控制.某企業(yè)從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品

中抽取40件作為樣本，檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)值,質(zhì)量指標(biāo)的范圍為［50,100］,經(jīng)過數(shù)據(jù)處

理后得到如下頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果精確到01);

(2)為了進(jìn)一步檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，在樣本中從質(zhì)量指標(biāo)在［50,60)和［90,100］的兩組中抽取2

件產(chǎn)品，記取自［50,60)的產(chǎn)品件數(shù)為求J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.如圖，在四棱錐中，%_L底面ABC。，AD//BC,AB1BC,弘=">=4,

(1)證明：平面PC￡>_L平面PAC；

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

(2)求AO與平面PC。所成角的余弦值.

19.設(shè)的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.ABC的面積為主8,且

2

cosB_b

cosC2a-c

⑴求5

(2)若AM=2MC，求5M的最小值，并判斷此時(shí)ABC的形狀.

20.已知函數(shù)/(x)=2sinx-ca,a￡R.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求g(x)=/(x)-ln(x+l)在區(qū)間0弓上的最小值；

(2)證明：sin—+sin—Fsin—FL+sin—>In---(n>1nGN).

234n2

21.橢圓G：￡+』■=l(a>6>o)經(jīng)過點(diǎn)E(l，l)且離心率為也；直線/與橢圓G交于/，

a"b~2

B兩點(diǎn),且以AB為直徑的圓過原點(diǎn).

⑴求橢圓C1的方程;

(2)若過原點(diǎn)的直線“與橢圓C1交于C,"兩點(diǎn)，且OC=r(Q4+O2),求四邊形ACBO面

積的最大值.

x=-l+V5cos。

22.在平面直角坐標(biāo)系，中，已知曲線C的參數(shù)方程為(。為參數(shù)),

y=l+&sine

以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

⑵設(shè)射線4：。=兀(夕20)和射線4：，=5+。(。20,0<。<方)分別與曲線(：交于人、B

兩點(diǎn)，求.4OB面積的最大值.

23.已知4?C對(duì)應(yīng)的三邊分別為“，b,c.

⑴若x,y,z是正實(shí)數(shù)，求證：—+<+CJ"+"c),當(dāng)q=2=￡時(shí)，等號(hào)成立;

xyzx+y+zxyz

ab、3

(2)求證:+----+---->-.

a+bb+cc+a2

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案：

1.D

【分析】直接根據(jù)集合并集運(yùn)算的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】已知A={-1』,2},B={x|x-l>O}={x|x>l),

所以Au8={x|x=_1或xNl}.

故Ai|8={-1}［1,+8).

故選：D

2.D

【分析】先求出復(fù)數(shù)z,再求z的共輾復(fù)數(shù)，即可判斷.

ii(l-i)1i

［詳解］Z=-=.w..x=-+-.

l+i+-1)22

所以復(fù)數(shù)Z的共朝復(fù)數(shù)I=對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.

故選：D

3.C

【分析】結(jié)合圖像逐一辨析即可.

【詳解】由折線圖可以看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加，故A正確：

由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故B正確：

由條形統(tǒng)計(jì)圖可知2050年歐洲人口與南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正確:

三幅統(tǒng)計(jì)圖并不能得到各個(gè)洲人口增長(zhǎng)速度的快慢，故C錯(cuò)誤.

故選：C.

4.C

【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法即可求解.

n(ad-bc)~

【詳解】由題意可知，Z2?5.879>5.024,

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過2.5%的前提下可認(rèn)為“學(xué)生對(duì)2022年冬奧會(huì)的關(guān)注與性別有

關(guān)

故選：C.

5.C

【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題，應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前“項(xiàng)和公式，基本量運(yùn)

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

算即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，把各排座位數(shù)看作等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)為%,首項(xiàng)為4,公差

為d,前”項(xiàng)和為S“，則d=2,5|0=180,

10x910x9

因?yàn)?10=104+下式”=104+與3*2=10q+90=180,所以％=9,即得

aw=at+9d=9+9x2=27.

故選:C

6.C

【分析】利用函數(shù)奇偶性及特殊點(diǎn)、特殊值即可.

【詳解】因?yàn)椤ā?(高-ijsinx定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

所以f(x)是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除選項(xiàng)B、D；

當(dāng)x>0時(shí)，令f=卜nx=0可得工=0或x=E(keZ),

所以x>0時(shí)，兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)為x=0和x=Jt,

當(dāng)0<x<?t時(shí)，-^―-l<0,sinx>0,『(x)=f7^T-l]sinx<0,

1+e'U+eJ

故排除選項(xiàng)A,

故選：C.

7.B

【分析】只需計(jì)算IgN的值即可解決.

【詳解】計(jì)算lgN=lg(45x9,0)=101g2+201g3?l2.5520,對(duì)選項(xiàng)中的區(qū)間端點(diǎn)值同樣取以

10為底的對(duì)數(shù)值，可知B正確.

故選：B

8.A

【分析】利用誘導(dǎo)公式和商數(shù)關(guān)系展開后，然后由和差公式可得.

【詳解】因?yàn)閠an(a+^)=3cos2a

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

.,兀、

sm(a+—)

所以--------=3sin(2a+—)=6sin(a+—)cos(a+—)

cos/(a+—兀)、244

4

.(I口一”7Tf7t3K]./兀、c

由ac0n,彳，所以a+;，二-,sm(a+-)>0

<2J4<44J4

所以cos?(a+；)=」,BPcosa-sina)2=—

46v226

112

所以—(l-sin2a)=—,即sin2a=±

263

故選：A

9.C

【詳解】設(shè)圓錐沙子漏完時(shí)圓錐底面半徑為凡高為/?,圓錐體積為：v=9"

上方圓錐中沙子漏至圓錐高度;時(shí)，上方圓錐底面半徑為q,高為《，剩余沙子體積

V.=-x-nR2h

|327'

V.

此時(shí)還剩余時(shí)間為」xl=_L小時(shí)，沙漏流逝時(shí)間為籌小時(shí).

V2727

故選：C

10.D

【分析】講立方體放在長(zhǎng)方體中進(jìn)行還原，根據(jù)體對(duì)角線得出外接球半徑，最后算出外接球

表面積.

【詳解】在長(zhǎng)為4、寬為2、高為2的正方體還原上述兒何體如下圖所示:

該幾何體為一個(gè)三角錐形，外接球半徑為R=1"t?/42=瓜,

2

該外接球表面積為：S=4TI/?2=24K.

故選：D

11.A

【分析】由題意易得直線/的方程及雙曲線的漸近線方程，設(shè)B（x，y）,C（七,月）,聯(lián)立方程,

利用韋達(dá)定理求得士+匕,中2，再根據(jù)3A+8C=0，求得XM，進(jìn)而可求得〃，再根據(jù)雙

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

曲線的離心率公式即可得解.

【詳解】由題意A(-1,O),則直線/的方程為y=x+i,

22

雙曲線“：/-3=1的漸近線為丁-}=0,

設(shè)網(wǎng)內(nèi),X),。?,%),

y=x+\

聯(lián)立,/，消y得1=0,

“F=°

△=4+4伊-l)>0

由，,')，得且匕2片0,

h2-\^0

21

則占+W=時(shí)居當(dāng)=一,，

所以X1+%=-2為々,

由BA+5C=0.得(_1_%,_兇)+仁一玉，％一兇)=0，

所以-1+々-2占=0,所以%=2占+1,

則辦+2%+1=—2與(2%+1),解得％=一；或玉=—1(舍去)，

所以工2=；，

21

貝lJx+x,=工^--=->解得/=9,

所以《=早=而.

故選：A.

12.B

【分析】/(x)>^(x)<=>-x-e-t<a\nx-xa<=>lne-v-e^<\nxa-xa構(gòu)造函數(shù)

h(t)=\nt-t(0<t<l)9求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而得到/NeT,即。之丘了'=-4，再構(gòu)造

Inx

Y

函數(shù)尸。)=-「。>1),求導(dǎo)判斷單調(diào)性得到最大值，從而問題可解.

Inx

【詳解】f(x)>g(x)<=>-%-e~x<a]nx-x('<=>lne-v-e-A<\nxa-xa,

即Inxa-xa>\ne-'-在x￡(L”)上恒成立.

易知當(dāng)X￡(L+°0)M<0時(shí)，0<x"<l,0<e-x<1.

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

令函數(shù)力⑺=lnfT(O<f<l),則〃⑺函數(shù)力⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，

故有x">e-S貝I」。之log,e-r=在xw(l,+<x>)上恒成立.

Inx

令產(chǎn)(%)=一戶。>1),則F'(x)=：亭,

Inx(Inx)

令尸(x)>。,HPl-lnx>0,解得l<x<e,

令尸(x)<o,即1-lnxvO,解得x>e,

所以F(x)=在(l,e)上單調(diào)遞增，在［e,R)上單調(diào)遞減，

Inx

所以尸“)max=P(e)=-e,

所以a》-e,即實(shí)數(shù)。的最小值為-e.

故選：B

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及

數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

13-I

【分析】先求出a-b與/la+6的坐標(biāo)，再利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求解即可.

【詳解】向量：=(L-2),^=(-1,0),

所以a-6=(2,_2),(/la+4=(2_l,_2/l),

又因?yàn)?a_6)_L(2a+。)，

所以(a-Z?)—(/la+%)=0,gp2(/l-l)-2x(-2/l)=0,

解得】=；，故答案為提

【點(diǎn)睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：(1)兩向量平行，

利用不%-工2%=。解答；⑵兩向量垂直，利用痞+乂%=0解答.

14.2歷

【分析】由拋物線的定義得出△出/是等邊三角形，再由定義得出點(diǎn)尸坐標(biāo)，進(jìn)而由距離

公式求解.

【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)尸在第二象限，由拋物線定義可得|「耳=|必|,又|Pq=|AF|,

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

所以△/<4尸是等邊三角形.所以NAFO=60。，則歸川=恒曰二［=

2

貝|J4=-8+2=—6,yp=,6x8=4G,貝ij|QP|=J48+36=2-721.

故答案為：2歷

【分析】根據(jù)遞推公式得出奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列和偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列各為等差數(shù)列，分組求和即可得出前

30項(xiàng)和.

【詳解】當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，”“+2-4,=1，｛4,1｝是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，all+2-a?=3,｛為“｝是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列；

§30=(4+?3+--+029)+(02+<74+",+030)

(1+15)x15(2+44)x15

2―

故答案為：465

16.1

13

【分析】設(shè)PAB外接圓半徑為R,由正弦定理可得，當(dāng)外接圓半徑最小，即外接圓與圓O

相內(nèi)切時(shí)，sinNAPB最大.

【詳解】設(shè)E4B外接圓半徑為R,由正弦定理，四=2Rn四1=sin/APB，

sinNAPB2R

當(dāng)外接圓半徑最小，即外接圓與圓。相內(nèi)切時(shí)，sin4P8最大.

設(shè)」?fàn)柾饨訄A圓心為"，由題可得其在中垂線上，可設(shè)其坐標(biāo)為：(l,x).

則R=|AM|=,4+/,\MO\=V1+%2,又圓M與圓。相內(nèi)切，則圓心距等于半徑之

差，則J1+%2=7->/4+X2，

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

等式兩邊平方并化簡(jiǎn)后可得：V4+X2=y.

即.PAB外接圓半徑為R的最小值為半.

網(wǎng)_J__7_

則此時(shí)sinNAPB最大，最大值為方=52=13.

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)、中位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算即可；

(2)首先求出樣本中質(zhì)量指標(biāo)在［50,60)、［90,100］中的產(chǎn)品數(shù)，依題意可得J可能的取值

為0,1,2,求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)設(shè)質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為元，中位數(shù)為。，

則T=55x0.15+65x0.25+75x0.3+85x0.2+95x0.1=73.5,

因?yàn)?0.015+0.025)x10=0.4,(0.015+0.025+0.03)x10=0.7>0.5,所以中位數(shù)。位于

［60,70)之間，

貝I］0.4+(“-70)x0.03=0.5,解得a。73.3；

(2)樣本中質(zhì)量指標(biāo)在［50,60)的產(chǎn)品有40x10x0.015=6件，質(zhì)量指標(biāo)在［90,100］的有

40x10x0.01=4件，

則4可能的取值為0,1,2,

相應(yīng)的概率為：PQ=O)=魯=4=2，

|()I1J

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

*=八=型1=*=&HD口="2

（）（44515’（-）C；o45

3

所以隨機(jī)變量J的分布列為

4012

281

P

15153

所以隨機(jī)變量4的期望E⑷=0x|+喋+2x；］.

18.（1）證明見解析

⑵半

【分析】（1）通過勾股定理，證明出DCJ?平面PAC,再根據(jù)面面垂直定理求證即可.

（2）所以以AS,A。，AP方向分別為x,y,z軸建系，利用直線方向向量與平面法向量

關(guān)系求解線面角.

【詳解】（1）口相上⑶。，BC=1,AB=^,

由勾股定理得：AC=7AB2+fiC2=Vl2+（V3）2=2,NAC8=（

ACD中，由余弦定理：CD2=AC2+AD2-2AC-ADcos-=4+\6-2x2x4x-=\2,

32

UAC'+CD1=4+12=16=AD2,UDCVAC,

又因?yàn)?4,底面ABC。，DCu底面ABC。，所以A4LQC,

又因?yàn)锳Cc以=A,GDCl^PAC,

￡>Cu底面PC。口平面PDCJ?平面PAC；

（2）作A〃，PC,垂直為H,連結(jié)

因?yàn)槠矫鍼DC1■平面PAC,且平面尸DC平面必C=PC

所以AH_L平面PCD,

所以“汨為AO與平面PCO所成的角,

-“，，PAAC4x24

△嘰中，AH=k~"⑻

sinZAD//=—=^xl=—,

DA4545

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

所以直線AO與平面PC。所成角的余弦值為孚.

另解：(1)因?yàn)锳O〃5C,AB1BC,所以43,4),且底面ABC。，AB,4)u底

面A8CO,

所以弘d.AB,PA1AD,所以以43,A。，AP方向分別為x,y,z軸建系如圖，

則A（0,0,0）,8（萬(wàn)0,0）,C（^,l,0）,￡＞（0,4,0）,P（0,0,4）,

設(shè)平面PC。的一個(gè)法向量為機(jī)=（x,y,z）,

CP=（-^,-1,4）,CO=（-石,3,0）,AP=（0,0,4）,

CP-m--y/3x-y+4z=0「i

所以｛r,令x=6，則y=i,z=l.所以機(jī)=（

CD-tn=—V3x+3y=0

設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為〃=（。,ac）,

CP-n=-y/3a-ft+4c=0「

所以《，令A(yù)4=1,則匕=一百，C=0,所以〃=

AP'n=4c=0

所以，"?〃=石-石=0,所以平面PCD_L平面PAC,

(2)因?yàn)楣胈L底面ABC。，45u底面A8C￡>,所以4J_4),且PAAB^A,

PA,45u平面/^4B,所以451.平面所以A￡>=(0,4,0)為平面K4S的一個(gè)法向量,

設(shè)直線4。與平面PCD所成角為。,

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

所以sin*k°s〈A。,附卜周=焉=9，

所以直線A￡＞與平面PCO所成角的余弦值為平.

19.(l)y

(2)2,是直角三角形

|TT

【分析】(1)利用正弦定理、兩角和的正弦可得cos8=「，從而可求8=；.

(2)根據(jù)面積可得改=6,根據(jù)向量關(guān)系結(jié)合數(shù)量積、基本等式可求IBM|取得最小值2,

此時(shí)sinC=2sinA,從而可求A,故可判斷三角形形狀.

【詳解】⑴由條件得：(2a-c)cos8=/?cosC,

由正弦定理，(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

即2sinAcosB=cos5sinC+sin3cosC,所以2sinAcos4=sin(8+C),

因?yàn)锳+5+C=/r,所以sin(4+C)=sinA,即2sin4cosB=sinA,

|TT

因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，故sinAwO,所以COS8=5，因?yàn)?<5〈乃，所以8=

1f

(2)由(1)WS^ABC=^acsinB=ac=~~~解得〃c=6,

因?yàn)?A/=+=84+§(BC-8A)=§a4+§8C,

所以|刎2=?84+28。［=-6^+-BABC+-BC'=-(c2+2ac+4a2}

U3J9999、7

=—(c2+4a2+2ac)>?(2-j4a2c2+lac)=".(4ac+2ac)=gac=4,

當(dāng)且僅當(dāng)c=2a即a=6,c=26時(shí)，取得最小值2,此時(shí)sinC=2sinA,

又因?yàn)镃=4-A,所以sin(與-A1=2sinA,整理得tanA=@,

因?yàn)?<A<=,所以A=J,所以C=g,所以一ABC是直角三角形.

362

20.(1)0

(2)證明詳見解析

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

jr

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)在區(qū)間0,-上的單調(diào)性，從而求得最小值.

(2)先證得sinx>ln(x+l)在區(qū)間0,上恒成立，進(jìn)而證得要證明的不等式成立.

【詳解】(1)g(x)=2sinx-x-ln(x+l)(0Vx4^),

g，(x)=2cosx-l———,g<0)=0,

令v(x)=-2sinx+—^\0<x<-］,v'(x)=-2cOsx——^<0,

(x+1)-k6)(x+1)

jrrr

所以V(x)在區(qū)間o,-上單調(diào)遞減，即”'(x)在區(qū)間0,-上單調(diào)遞減.

〃，圖=一1+高<0,/(0)噓卜0,

故存在％e(0高使/(%)=0,

所以“(x)在區(qū)間(0,%)單調(diào)遞增，在區(qū)間［。謂)單調(diào)遞減，

麻)3d跖>0，所以在區(qū)間/)，g'(x)>0,

6

所以g(x)在區(qū)間0弓上遞增，最小值為g(o)=o.

(2)由(1)可知8(力=24(1彳一了一1!1(》+1)2：8(0)=0在區(qū)間［0,；上恒成立(；<.)，

所以2sinx-%21n(x+l),

對(duì)于函數(shù)力(x)=x-ln(x+l)(0Wx(：］,//(0)=0,/?7x)=l———=-^->0,

I27x+1x+l

所以/：(%)在區(qū)間［*］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)0vx<；時(shí)，/?(x)>0,即x-ln(x+l)>0,x>ln(x+l),

所以2sinx2x+ln(x+l)>ln(x+l)+ln(x+l),

即sinx>ln(x+l)在區(qū)間0,1上恒成立,

J9fWsin—+sin-+sin—+L+sin—

234n

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

>ln-+ln-++ln但=ln34n+1=14

23n23n2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：不等式證明的可考慮綜合法以及分析法，本題第2小問是分析法.在

導(dǎo)數(shù)運(yùn)用的題目中，第一問的結(jié)論可能會(huì)用到第二問.特殊不等式(常見不等式)%>ln(x+l)

等，可以在平時(shí)做題中積累，解答過程中需要利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明.當(dāng)一次求導(dǎo)無法求

得函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可考慮利用多次求導(dǎo)來進(jìn)行求解.

21.⑴《+支=1

33

(2)26

【分析】(1)根據(jù)橢圓過的點(diǎn)以及橢圓的離心率，可列出等式，求得即得答案；

(2)分類討論直線的斜率不存在和存在兩種情況，斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，聯(lián)立

橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)條件求出參數(shù)之間的關(guān)系式，進(jìn)而表示出四邊形

的面積，進(jìn)行化簡(jiǎn)，可求得答案.

【詳解】⑴橢圓=1(“>%>。)經(jīng)過點(diǎn)以1,1),5+城=1，

橢圓的離心率為也,則/=3,即/=?,

2

即斤1+31=1，解得/=3,從=；3,

所以橢圓G的方程為工+支=1.

33

(2)當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，設(shè)以48為直徑的圓的圓心為G。)，

則(XT)2+y2=?,則不妨取AQJ),故匚+生=1,

33

解得/=土1,故A8方程為x=±l,

直線CO過A8中點(diǎn)，即為x軸，得|4同=2,|CD|=2>/3,

故SACM=《A叫.|8|=26；

直線A8斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為丫=依+機(jī)，A區(qū),%),8(々,必)，

f+2寸=3

聯(lián)立｛",nJW(2A:2+l)x2+4knvc+2nr-3=0,

y=kx+m

則A=4(6產(chǎn)-2帚+3)>0口,

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

4km2m2-3

Xi+X-)_i,X,X-)—z□,

2爐+11-2*2+1

以A8為直徑的圓過原點(diǎn)即OA-OB=XyX2+y,y2=+的+m)(kx2+m)=0?

2

化簡(jiǎn)可得(%?+1)玉”2+攵6(*+x2)+m=0,

將□□兩式代入,整理得(公+1)(2"-3)+切7(-4切。+irr(2k2+1)=0,

即加=F+1□,

將□式代入口式，得八=4(4/+1)>0恒成立，則「wR,

設(shè)線段A8中點(diǎn)為M,由OC=?OA+O3)=2foM,

不妨設(shè)r>0,得sACBD=2soACB=4fsOAB,

又□s.*=；MlN-々I=\m\R；］l，nSACBD=4/帆堂］:，

又由。C=f(0A+08),則C點(diǎn)坐標(biāo)為《(%+/)/(%+%))，

/、4km

t\Xy+42)=------2----(22I------2------

化簡(jiǎn)可得-2：+1,代回橢圓方程可得雪匚=3即一，戶(2々：1)

......2燒，2/