PAGE26-浙江省杭州地區（含周邊）重點中學2024-2025學年高二數學上學期期中聯考試題選擇題部分一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.直線傾斜角為（）A. B. C. D.2.若復數(為虛數單位)，則=（）A. B.C. D.3.如圖，在四面體中，是棱上靠近的三等分點，分別是的中點，設，，，用，，表示，則（）A. B.C D.4.兩條平行直線和間的距離為，則，分別為（）A.， B.，C.， D.，5.設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則能得出的是（）A.，∥， B.，，∥C.，，∥ D.，∥，6.如圖，已知圓錐的底面半徑為2，母線長為4，為圓錐底面圓的直徑，是的中點，是母線的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C D.7.已知平面對量，，，滿意，與的夾角為，且，則的最小值為（）A. B.1C. D.8.在矩形中，，為的中點，將和沿翻折，使點與點重合于點，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知直線，其中，下列說法正確的是（）A.當時，直線與直線垂直B.若直線與直線平行，則C.直線的傾斜角肯定大于D.當時，直線在兩坐標軸上的截距相等10圓和圓相交于兩點，則有（）A.公共弦所在直線方程為B.圓到直線距離等于1的點有2個C.公共弦的長為D.為圓上的一個動點，則到直線距離的最大值為11.有5個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事務“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事務“其次次取出的球的數字是2”，丙表示事務“兩次取出的球的數字之和是6”，丁表示事務“兩次取出的球的數字之和是7”，則（）A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.乙與丁相互獨立12.如圖，若正方體的棱長為1，點是正方體的側面上的一個動點(含邊界)，是棱的中點，則下列結論正確的是（）A.沿正方體的表面從點A到點的最短路程為 B.若保持，則點在側面內運動路徑的長度為C.三棱錐的體積最大值為 D.若點在上運動，則到直線的距離的最小值為非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.費馬大定理又稱為“費馬最終定理”，由17世紀法國數學家皮埃爾·德·費馬提出，他斷言當時，關于，，的方程沒有正整數解．他提出后，歷經多人猜想辯證，最終在1994年被英國數學家安德魯·懷爾斯徹底證明．某同學對這個問題很感愛好，確定從1，2，3，4，5，6這6個自然數中隨機選一個數字作為方程中的指數，方程存在正整數解的概率為______．14.若復數（i是虛數單位）是關于的方程的一個根，則=__________.15.由10個實數組成的一組數據，方差為，將其中一個數3改為1，另一個數6改為8，其余的數不變，得到新的一組數，方差為，則__________.16.如圖，在四棱臺中，，，則的最小值為__________.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，已知角所對應的邊分別為，且，，是線段上一點，且滿意.（1）求的面積；（2）求的長.18.第19屆亞運會將于2024年9月在杭州實行，志愿者的服務工作是亞運會勝利舉辦的重要保障.某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作.現隨機抽取了100名候選者的面試成果，并分成五組：第一組，其次組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.（1）求的值；（2）估計這100名候選者面試成果的眾數，平均數和第分位數（分位數精確到0.1)；（3）在第四、第五兩組志愿者中，現采納分層抽樣的方法，從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率.19.如圖，平行六面體中，，，，（1）求對角線的長度；（2）求二面角的余弦值.20.已知直線的方程為：，分別交軸，軸于兩點，（1）求原點到直線距離的最大值及此時直線的方程；（2）若為常數，直線與線段有一個公共點，求最小值.21.如圖，四棱錐中，，且，（1）求證：平面平面；（2）若是等邊三角形，底面是邊長為3的正方形，是中點，求直線與平面所成角的正弦值.22.已知圓的方程為：（1）已知過點的直線交圓于兩點，若，，求直線的方程；（2）如圖，過點作兩條直線分別交拋物線于點，，并且都與動圓相切，求證：直線經過定點，并求出定點坐標.2024學年第一學期期中杭州地區（含周邊）重點中學高二年級數學學科試題選擇題部分一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據直線斜率和傾斜角之間的關系進行求解即可.【詳解】由可得，，因此該直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，故選：B2.若復數(為虛數單位)，則=（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡得，再求復數的模得解.【詳解】由題得，所以.故選：C3.如圖，在四面體中，是棱上靠近的三等分點，分別是的中點，設，，，用，，表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據空間向量加法、減法和數乘的運算性質進行求解即可.【詳解】,故選：D4.兩條平行直線和間的距離為，則，分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】先由直線平行求出，再由平行線間距離公式可求出d.【詳解】兩直線平行，，解得，將化為，.故選：D.5.設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則能得出的是（）A.，∥， B.，，∥C.，，∥ D.，∥，【答案】C【解析】【分析】可通過線面垂直的性質定理，推斷A；通過面面平行的性質和線面垂直的性質，推斷B；通過面面平行的性質和線面垂直的定義，即可推斷C；由線面平行的性質和面面垂直的性質，即可推斷D．【詳解】解：A．若，，，，，則，故A錯；B．若，，則，又，則，故B錯；C．若，，則，又，則，故C正確；D．若，，設，由線面平行的性質得，，若，則，故D錯．故選：C．6.如圖，已知圓錐的底面半徑為2，母線長為4，為圓錐底面圓的直徑，是的中點，是母線的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】延長至點，使，連接，，，得到為異面直線與所成的角（或補角），再解即得解.【詳解】延長至點，使，連接，，．因為是母線的中點，所以，所以為異面直線與所成的角（或補角）．由題意知，，又是的中點，所以，所以在中，．因為，所以，所以．在中，，則由余弦定理得，故選：A．【點睛】方法點睛：異面直線所成的角的求法：方法一：（幾何法）找作（平移法、補形法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法），其中是異面直線所成的角，分別是直線的方向向量.7.已知平面對量，，，滿意，與的夾角為，且，則的最小值為（）A. B.1C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，將原等式化為，得出，設，進而得出，表示以，半徑為1的圓；而表示圓心到定點B(-2，0)的距離減去半徑，利用數形結合的思想即可解得答案.【詳解】由題意知，，則，由可得，即，設，則，所以，所以表示以，半徑為1的圓，表示圓C上的點到定點B(-2，0)的距離，而的最小值即為圓心到定點B(-2，0)的距離減去半徑，如圖所示，又，所以.故選：D8.在矩形中，，為的中點，將和沿翻折，使點與點重合于點，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先證明出MP⊥平面PAD，設△ADP外接圓的半徑為r，三棱錐M-PAD的外接球的半徑為R，由，求出R，進而求出外接球的表面積.【詳解】由題意可知，.又平面PAD，平面PAD，所以MP⊥平面PAD.設△ADP的外接圓的半徑為r，則由正弦定理可得，即，所以r=2.設三棱錐M-PAD的外接球的半徑為R，則，所以外接球的表面積為.故選：B二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知直線，其中，下列說法正確的是（）A.當時，直線與直線垂直B.若直線與直線平行，則C.直線的傾斜角肯定大于D.當時，直線在兩坐標軸上的截距相等【答案】AC【解析】【分析】依據兩直線平行、垂直性質，結合傾斜角的定義、截距的定義逐一推斷即可.【詳解】A：當時，直線的方程為，可化為：，所以該直線的斜率為1，直線的斜率為，因為，所以這兩條直線相互垂直，因此本選項說法正確；B：由直線與直線平行，可得或，因此本選項說法不正確；C：直線方程可化為：，設直線的傾斜角為，所以，所以本選項說法正確；D：當時，直線方程為，當時，；當時，，因為，所以直線在兩坐標軸上的截距不相等，因此本選項說法不正確，故選：AC10.圓和圓相交于兩點，則有（）A.公共弦所在直線方程為B.圓到直線距離等于1的點有2個C.公共弦的長為D.為圓上的一個動點，則到直線距離的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】兩圓方程作差即可求解公共弦AB所在直線方程，可推斷A；由點到直線的距離公式進行推斷B；求出圓心到公共弦所在的直線方程的距離，利用幾何法即可求出弦長，可推斷C；求出圓心到公共弦AB所在直線方程的距離，加上半徑即可推斷D.【詳解】對于A，由圓與圓的交點為A，B，兩式作差可得，即公共弦AB所在直線方程為，故A正確；對于B，圓所以圓心為，半徑為，圓心它到直線的距離為：，而故B正確；對于C，圓，圓心到的距離為，半徑所以，故C不正確；對于D，P為圓上一動點，圓心到的距離為，半徑，即P到直線AB距離的最大值為，故D正確.故選：ABD11.有5個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事務“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事務“其次次取出的球的數字是2”，丙表示事務“兩次取出的球的數字之和是6”，丁表示事務“兩次取出的球的數字之和是7”，則（）A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.乙與丁相互獨立【答案】AC【解析】【分析】依據獨立事務的性質進行逐一推斷即可.【詳解】設甲、乙、丙、丁事務發生概率分別為：,因此有：，，，A：因為，所以甲與丙相互獨立，因此本選項說法正確；B：因為，所以甲與丁不相互獨立，因此本選項說法不正確；C：因為，所以甲與丙相互獨立，因此本選項說法正確；D：因為，所以甲與丙不相互獨立，因此本選項說法不正確，故選：AC12.如圖，若正方體的棱長為1，點是正方體的側面上的一個動點(含邊界)，是棱的中點，則下列結論正確的是（）A.沿正方體的表面從點A到點的最短路程為 B.若保持，則點在側面內運動路徑的長度為C.三棱錐的體積最大值為 D.若點在上運動，則到直線的距離的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，分析點M沿正方體的表面從點A到點的各種狀況即可推斷；對于B，取DD1中點E，連EM并求出EM=1即可計算推斷；對于C，利用等體積法轉化為求三棱錐的體積即可推斷；對于D，建立空間直角坐標系，借助空間向量建立函數關系求其最值即可推斷作答.【詳解】對于A，點M沿正方體的表面從點A到點的最短路程，則點M應在點A與點P所在的兩個相鄰平面內從點A到點，由對稱性知，點M從點A越過棱DD1與越過棱BB1到點的最短路程相等，點M從點A越過棱DC與越過棱BC到點的最短路程相等，把正方形ABB1A1與正方形BCC1B1放在同一平面內，如圖，連接AP，AP長是點M從點A越過棱BB1到點的最短路程，，把正方形ABCD與正方形BCC1B1放在同一平面內，如圖，連接AP，AP長是點M從點A越過棱BC到點的最短路程，，而，于是得點M沿正方體的表面從點A到點最短路程為，A正確；對于B，取DD1中點E，連EM，PE，如圖，因是正方體的棱中點，則PE//CD，而CD⊥平面ADD1A1，則有PE⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，于是得PE⊥EM，由，PE=1得，EM=1，因此，點在側面內運動路徑是以E為圓心，1為半徑的圓在正方形內的圓弧，如圖，圓弧所對圓心角為，圓弧長為，B正確；對于C，因，而面積是定值，要三棱錐的體積最大，當且僅當點M到平面C1BD距離最大，如圖，點A1是正方形ADD1A1內到平面C1BD距離最大的點，，C不正確；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，令，則，又，直線PD1與直線PM夾角為，，令，則，當且僅當，即，時，取最大值，而，此時，取得最小值，又，點到直線的距離，于是得，所以到直線距離的最小值為，D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關線段所在的平面圖形綻開并放在同一平面內，再利用兩點之間線段最短解決是關鍵.非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.費馬大定理又稱為“費馬最終定理”，由17世紀法國數學家皮埃爾·德·費馬提出，他斷言當時，關于，，的方程沒有正整數解．他提出后，歷經多人猜想辯證，最終在1994年被英國數學家安德魯·懷爾斯徹底證明．某同學對這個問題很感愛好，確定從1，2，3，4，5，6這6個自然數中隨機選一個數字作為方程中的指數，方程存在正整數解的概率為______．【答案】【解析】【分析】依據費馬大定理計算．【詳解】從1，2，3，4，5，6這6個自然數中隨機選一個數字共有6種選法，其中只有或2使得方程有整數解，故概率為．故答案為：．14.若復數（i是虛數單位）是關于的方程的一個根，則=__________.【答案】3【解析】【分析】把代入方程，化簡方程，利用相等復數的概念得到的值，即得的值.【詳解】由復數（為虛數單位）是關于x的方程（p，q為實數）的一個根，所以，即所以，故故答案為：315.由10個實數組成的一組數據，方差為，將其中一個數3改為1，另一個數6改為8，其余的數不變，得到新的一組數，方差為，則__________.【答案】2【解析】【分析】依據平均數的性質，結合方差的定義進行求解即可.【詳解】因為其中一個數3改為1，另一個數6改為8，其余的數不變，所以新的一組的平均數與原一組數的平均數不變，設為，沒有變更的8個數分別為：，所以有，，因此，故答案為：216.如圖，在四棱臺中，，，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】依據空間向量數量積的定義和運算性質，結合配方法進行求解即可.【詳解】設，因為，,所以有：令，于是有：當且時，即時，有最小值，故答案為：【點睛】關鍵點睛：利用配方法是解題的關鍵.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，已知角所對應的邊分別為，且，，是線段上一點，且滿意.（1）求的面積；（2）求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據余弦定理，結合三角形面積公式進行求解即可；（2）運用平面對量基本定理，結合平面對量數量積的運算性質和定義進行求解即可.【小問1詳解】由余弦定理得：，∴，.【小問2詳解】，∴∴.18.第19屆亞運會將于2024年9月在杭州實行，志愿者的服務工作是亞運會勝利舉辦的重要保障.某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作.現隨機抽取了100名候選者的面試成果，并分成五組：第一組，其次組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.（1）求的值；（2）估計這100名候選者面試成果的眾數，平均數和第分位數（分位數精確到0.1)；（3）在第四、第五兩組志愿者中，現采納分層抽樣的方法，從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率.【答案】（1），（2）眾數：70，平均數69.5，第分位數71.7（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖列方程組即能求出的值；（2）視察頻率分布直方圖即可得眾數，依據加權平均數的求解公式可得平均值，先確定第分位數在65-75之間，然后列式求解即可；（3）依據分層抽樣，在和中分別選取4人和1人，列舉出這5人中選出2人的總的基本領件數，和選出的兩人來自不同組的基本領件數，利用古典概型的概率公式求解即可.【小問1詳解】由題意可知：，，解得，；【小問2詳解】由頻率分布直方圖得眾數為，平均數等于，第分位數等于；【小問3詳解】依據分層抽樣，和的頻率比為故在和中分別選取4人和1人，分別設為和則在這5人中隨機抽取兩個的樣本空間包含的樣本點有共10個，即，記事務“兩人來自不同組”，則事務包含的樣本點有共4個，即，所以.19.如圖，平行六面體中，，，，（1）求對角線的長度；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依據題意可得，，利用向量數量積的定義求出、的值，利用基底的概念可得，等式兩邊同時平方，計算即可；(2)依據余弦定理可得，進而證得為等邊三角形，取中點，連接，如圖，可得，設二面角為，利用向量數量積的定義求出、的值，利用基底的概念可得，等式兩邊同時平方，計算即可.【小問1詳解】由題意知，在中，，，以向量，，為基底，①，，同理可得，①式平方，得，，同理可得，所以.【小問2詳解】在中，，，又，所以為等邊三角形，所以，故為等邊三角形，取中點，連接，則，又，②，設二面角為，則，②式兩邊同時平方，得，所以，.所以二面角的余弦值為.20.已知直線的方程為：，分別交軸，軸于兩點，（1）求原點到直線距離的最大值及此時直線的方程；（2）若為常數，直線與線段有一個公共點，求的最小值.【答案】（1）最大值為，（2）【解析】【分析】（1）求出直線過的定點Q，當時，原點到直線距離最大，則可求出原點到直線距離的最大值及此時直線的方程；（2）求出直線與軸，軸相交的兩點坐標，利用的幾何意義，因為原點到直線的距離，所以，則可得，進而可得的最小值.【小問1詳解