2022屆新高考開學數學摸底考試卷3

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|%2-x-24。},8={x|y=4},貝IJA|J3=（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|0<x<2}C.{x|x>-1}D.{x|x>0}

2.已知復數滿足z=-l+B,則言()

A1力i51叢.

B.---------1C.—H-----1D.-2rz

222222

3.若a,b,c滿足2"=3,b=log25,c=log32則（）

A?c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

4.已知函數的圖像y=45而（5+9）（4>0,。>0,|9區萬）如圖所示，貝IJ（）

A.G=2,夕=4B.69=2,6?=—C.(D——,(D=—D.0=—,(0=-------

22424

5.函數=*)的部分圖像大致為()

2+cosx

6.某校有1000人參加某次模擬考試，其中數學考試成績近似付出正態分布N（105,『），

C>0）,試卷滿分150分，統計結果顯示數學成績優秀（高于120分）的人數占總人數的

則此次數學考試成績在90分到105分之間的人數約為

（）

A.150B.200C.300D.400

7.《張丘建算經》是我國古代數學名著，書中有如下問題：”今有懶女不善織，日減功遲，

初日織七尺，末日織一尺，今三十織迄，問織幾何?”其意思為：有個懶惰的女子不善于織

布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織七尺，最后一天織一尺，三十天織完，問三十

天共織布多少尺？

（）

A.90B.120C.140D.150

8.在三棱錐尸一中,1ft4,平面ABC,=y,AP=3,AB=26Q是邊3c上

的一動點，且直線尸。與平面ABC所成角的最大值為|■則三校錐尸的外接球的表面

積為（）

A.50萬B.55乃C.5171D.1084

二、多選題:本題共4小題,每小題5分，共20分。在每個小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。

9.已知/(x)是定義域為肽的函數，滿足/(x+l)=/(x-3),f(X+x)=f(3-x).當04x42

時，則下列說法正確的是()

A./(x)的最小正周期為4

B.f(x)的圖像關于直線x=2對稱

C.當04x44時，函數/(x)的最大值為2

D.當64x48時，函數/0)的最小值為-g

10.如圖，正方體A88—的棱長為G分別為3C,CCt,8片的中點，則

()

A.直線。Q與直線M垂直B.直線A。與平面AEF平行

9

C.點C與點G到平面AEF的距離相等D.平面板截正方體所得的截面面積為

O

2■)

u.在平面直角坐標系xQy中，已知雙曲線土-乙=1,貝U()

412

A.實軸為2B.漸近線為y=±瓜

C.離心率為2D-條漸近線與準線的交點到另一條漸近線的距離為3

12.已知lnX1一西一兇+2=0,/+2%-21112_6=0,記知=(百_4)2+(>|_必)2,貝女)

A."的最小值為gB.當M最小時，x,=—

5-5

4I?

C.M的最小值為-D.當M最小時當=1

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

一-(I一

13.已知向量a=(1,⑼，b=―,--旌J,若JU1]m=.

14.fx-|Y的展開式中x的系數為.

15.某系列智能手機玻璃版有“星河銀"、“羅蘭紫"、“翡冷翠“、”亮黑色”四種顏色.若甲、乙

等四位市民準備分別購買一部顏色互不相同的同一型號玻璃版的該系列手機。若甲購買”亮

黑色"或“星河銀"，則乙不購買“羅蘭紫"，則這四位市民不同的購買方案有種.

2'x<〃

16.已知函數/(x)=-'①若。=1,則不等式八幻41的解集為:②若存在

x,x>a.

實數乩使函數g(x)=f{x}-b有兩個零點，則實數a的取值范圍是。

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在AABC中，a,b,c分別為內角A,B,。的對邊，且滿足

(b-a)(sinB+sinA)=c(x/3sinB-sinC)o

(1)求A的大小；

jr

(2)若a=2,B=-,求AABC的面積。

18.(12分)給出下列三個條件：①4%,3%,2a$成等差數列；②對于點(〃⑸)均

在函數.y=2'-〃的圖像上，其中。為常數;③色=7。請從這三個條件中任選一個將下面的

題目補充完整，并求解。

設｛”“｝是一個公比為4(4>0,4*1)的等比數列，且它的首項4=1,.

(1)求數列的通項公式；

(2)令=21og2an4-l(neN*),證明［，一］的前〃項和<；。

19.(12分)如圖1,在邊長為4的菱形4?CD中，ZBAD=60c.OELAB于點E,將△ADE

沿DE折起到△4DE的位置，使A。，。。，如圖2.

(1)求證：平面8cDE；

(2)求二面角E-A8-C的余弦值.

20.(12分)已知橢圓C:=+2=l(a>b>0)的右準線方程為x=4,右頂點為A,上頂點為

ab

B,右焦點為尸，斜率為2的直線經過點A,且點尸到直線的距離為自叵.

5

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)將直線繞點A旋轉，它與橢圓C相交于另一點P,當8,F,P三點共線時，試確定

直線的斜率。

21.（12分）南京市從2020年6月I日起推進垃圾分類處理，是落實綠色發展理念的必然選

擇，也是打贏污染防治攻堅戰的重要環節，為了解居民對垃圾分類的了解程度,某社區居委會

隨機抽取1000名社區居民參與問卷測試，并將問卷得分繪制頻率分布表如下：

得分[30,40)[40,[50,60)160,[70,[80,90)[90,

50)70)80)100)

男性人40901201301106030

數

女性人2050801101004020

數

（1）從該社區隨機抽取一名居民參與問卷測試，試估計其得分不低于60分的概率；

（2）將居民對垃圾分類的了解程度分為“比較了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得

分低于60分）兩類，完成2x2列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“居民對垃圾分類的

了解程度“與“性別"有關？

不太了解比較了解總計

男性

女性

總計

(3)從參與問卷測試且得分不低于80分的居民中，按照性別進行分層抽樣，共抽取10人，連

同雙機eN*)名男性調查員一起組成3個環保宣傳組，若從這加+10人中隨機抽取3人作為

組長，且男性組長人數J的期望不小于2,求，”的最小值.

附公式及表就珠篝即？其中〃

20o150.100o050o0250.0100o0050.001

P(K>k())

*02.0722o7063.8415.0246o6357.87910.828

22.(12分汜知函數/(x)=f-2xlnx,8⑴二犬+三一的刈匚其中^6股，與是g(x)的一個

極值點，且g(%)=2.

⑴討論函數/(x)的單調性；(2)求實數.%和。的值；

11

(3)證明Z-^=>31n(2〃+l)(〃eN")

A-=I\/4k-1幺

高三數學試題答案

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

1-8：CDADCCBC

二、多項選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分.

9.ABC10.BD11.BC12.AB

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.16題第一個空2分，第二個空3分。

13.錯誤！；14.-280；15.20;16.①(-8,0]②(-8,2)U(4,+8)

四、解答題:本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.解:(1)因為(/?-a)(sin3+sinA)=c(esin8—sinC),

由正弦定理一^7=/^=得S-a)S+a)=c(Ji/?-c),即

sinAsinBsinC

b2-^-c2-a2=6b2分

erKI.b~+C~—Cl~yfihc5/3

所以cosA=----------=-——=—,4分

2bc2bc2

IT

因為OvAv不，所以A=—.……5分

6

（2）由正弦定理，一="_,得b=」一sinB=2起,……6分

sinAsinBsinA

由余弦定理戶=1+一2accos8,得（2四）2=22+-2x2ccos色，

4

解得0=后+指.……8分

所以AABC的面積S='acsinB=!x2x（夜+6）x巫=6+1.……10分

222

18.解：若選錯誤！：因為4%,3%,2%成等差數列，所以2x34=4%+2%.

又因為數列｛為｝是等比數列，即/—3q+2=0解得q=2或q=-l（舍去）……3分

又4=1，所以數列｛an｝是首項為1,公比為2的等比數列，所以數列｛4｝的通項公式

a,=2'"'……6分

若選錯誤!:點（〃,S,）均在函數y=2'-。的圖像上，所以S“=2"-。，又因為

ay=Si=2-a,所以。=1,所以S〃=2"-1,所以$2=3,所以

%=2,q=20..3分

所以數列｛4｝是首項為1,公比為2的等比數列，所以數列｛4｝的通項公式

a,=2"-'……6分

若選③：S3=7,因為｛%｝是公比為g①>O,gWl）的等比數列,

所以"用一")=7,即d+q-6=0解得q=2或q=-3(舍去)……3分

1-q

所以數列｛%｝是首項為1,公比為2的等比數列，所以數列｛%｝的通項公式

a,=2"-'……6分

⑵證明：因為4=2"T,所以〃=21og2%+l=2n-l……8分

所以?11?1……10分

^7-(2?-1)(2?+1)-2(2?-1)-(2?+1)

所以111……12分

T=——+----+…+-----

他b力3b?bn+l

1,11111、

——(1-------1-———4-,??4-------------------------------?

22232〃-12H+1

=-(1-——)<-

22〃+12

19.解:(iy：DE±BE,BE//DC,：.DELDC.……1分

XVAiD±DC,A'\D(\DE=D,AiD￡,：.DCVA\E.……3分

又?.?AiELOE,DCCDE=D,；.AiEJL平面8cOE.……5分

(2)：AiE_L平面BCDE,DE±BE,

：.以EB,ED,EAi所在直線分別為X軸,y軸和z軸,建立空間直角坐標系（如圖）.

EBx

易知￡>￡=26,則4(0,0,2),8(2,0,0),C(4,25,0),D(0,2^,0),……7分

甌=(-2,0,2),阮=(2,25,0),

易知平面AiBE的一個法向量為片(0,1,0).……8分

設平面ABC的法向量為MJ=(X,y,z),

.-2x+2z=0,

由BA?m=0,BC「令尸1彳導m=(-yj3,1,-V5),……10分

⑵+2?=0.

—]出

’cos。，心伺向"萬十號?

由圖得二面角E-A山-C為鈍二面角,...二面角E-4B-C的余弦值為-亞,……12分

7

20o解：(1)由題意知，直線的方程為y=2(x—a),2x—y—2。=0,.....2

分

右焦點F到直線的距離為一1―-——..UC—1,............一山分

65

22

又橢圓C的右準線為尤=4,即3一=4,所以c=2，將此代入上式解得。=2,c=l,

C4

y2y2

.?.〃=3,.?.橢圓。的方程為一+-1：..........6分

13

(2)由(1)知5(0,6),F(l,0),，直線BE的方程y=—G(x-l),..........7分

y=-V3(x-l)

聯立方程組J尤22,

—+^-=1

[43

，8

%=

5卜=。).即P(|,-羋)，..........10分

解得/廠或廣(舍

3V3[y=y/3

1y----5-

0.3氣

???直線的斜k=------9—=-旦..........12分

2-號2

5

其他方法:

方法二：由(1)知90,百)，尸(1,0),直線6尸的方程為y=-6(x—l),由題

4(2,0),顯然直線的斜率存在，設直線的方程為丁=伙1-2),聯立方程組

x_2k+Jl

卜=-6(x-1),解得.k+J,代入橢圓解得：攵=空或火=_正，又由題

[y=k(x-2)Yk22

意知,丁=二^2>0得女〉0或/<一百,所以攵=2叵.

k+62

方法三：由題力(2,0),顯然直線的斜率存在，設直線的方程為y=A:(x-2),聯立方程組

>="("一2)16/

22222

<xV,W(4A:+3)X-16A:X+16A:-12=0,^+X/,=——,

143

1必2區〃2.6—\0k

所以尤=可—一2=-^—^,力二—當民凡尸三點共線時有，凝p=&"，

2

P4k+34/+3力4爐+3

二12k_瓜

日口4左2+3-殂73也71^3又由題意知,丁=1^>0得

即丁-----=-----,解得k=------或％=-----

8公一6122'k+y/3

4A2+3

%>0或左<—百，所以出=述。

2

21o解：(1)由調查數據，問卷得分不低于60分的比率為

錯誤!=0.6,故從該社區隨機抽取一名居民得分不低于60分的概率為

0.6；12分

(2)由題意得列聯表如下：

不太了解比較了解總計

男性250330580

女性150270420

總計400600100()

3分

因為5.542>3,841,

所以有95%的把握認為居民對垃圾分類的了解程度與性別有關……6分

(3)由題意知，分層抽樣抽取的10人中，男性6人，女性4人……7分

隨機變量。的所以可能取值為0,123,其中

P(4=0)=錯誤!，尸(4=1)=錯誤!，PC=2)=錯誤!?(4=3)=錯誤!，

……9分

所以隨機變量，的分布列為：

40123

錯誤！錯誤！錯誤！錯誤！

P

E(a=錯誤!X0+錯誤!XI+錯誤!X2+錯誤!X3N210分

解得小>2,所以加的最小值為212分

法二：由題意知，隨機變量。服從超幾何分布H(3,m+6,m+10),……8分

則￡(。=錯誤!，……10分

由E?N2得〃?N2,所以機的最小值為2