第2課時等差數列習題課

類型一求等差數列前n項和的最值【典例1】在等差數列{an}中,a1=25,S17=S9,求{an}的前n項和Sn的最大值.【解題指南】解答本題方法一:可先由條件求出公差d,進而求出等差數列{an}的前n項和,然后借助二次函數知識求Sn的最大值.方法二:先由求出取最大值時n的值再求和.【解析】方法一:由題意得即所以Sn=25n+·(-2)=-(n-13)2+169.故當n=13時,Sn有最大值169.方法二:由方法一知所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.由得即≤n≤,n∈N*,所以n=13時,Sn有最大值S13=169.【方法總結】求等差數列前n項和的最值問題的兩種方法(1)通項公式法:在等差數列{an}中,當a1>0,d<0時,Sn有最大值,使Sn取到最大值的n可由不等式組確定;

當a1<0,d>0時,Sn有最小值,使Sn取到最小值的n可由不等式組確定.(2)運用函數思想求最值:因為Sn=若d≠0,則從二次函數的角度看:當d>0時,Sn有最小值;當d<0時,Sn有最大值;且n取最接近對稱軸的正整數時,Sn取到最值.(2)運用函數思想求最值:因為Sn=若d≠0,則從二次函數的角度看:當d>0時,Sn有最小值;當d<0時,Sn有最大值;且n取最接近對稱軸的正整數時,Sn取到最值.【跟蹤訓練】1.(2019·洛陽高一檢測)等差數列{an}中,a3+a10=5,a7=1,Sn是數列{an}的前n項和,則Sn的最大值為 (

)

A.1 B.19 C.60 D.70【解析】選D.設等差數列{an}的首項與公差分別為a1,d,則解得所以Sn=na1+d=,二次函數y=的對稱軸為n=,因為n∈N*,所以當n=7時,Sn(max)=70.2.(2019·蚌埠高一檢測)設等差數列{an}的前n項和為Sn,a1>0,n∈N*,若S12>0,S13<0,則數列{|an|}的最小項是________.

【解析】等差數列{an}的前n項和為Sn,由S12>0,得到S12==6(a6+a7)>0,由S13<0,得到S13==13a7<0,即a6+a7>0,a7<0,所以a6>0,a7<0,a6>|a7|,數列為單調遞減數列,所以|a7|最小.答案:a7【解析】等差數列{an}的前n項和為Sn,由S12>0,得到S12==6(a6+a7)>0,由S13<0,得到S13==13a7<0,即a6+a7>0,a7<0,所以a6>0,a7<0,a6>|a7|,數列為單調遞減數列,所以|a7|最小.答案:a7類型二求數列{|an|}的前n項和【典例2】(2019·武漢高一檢測)數列{an}的前n項和Sn=100n-n2+3(n∈N*).(1)求數列{an}的通項公式;(2)設bn=|an|,求數列{bn}的前n項和Tn.【解題指南】(1)當n=1時,a1=102,利用an=Sn-Sn-1得到通項公式,驗證a1得到答案.(2)根據{an}的正負將和分為兩種情況,n≤50和n≥51,分別計算得到答案.【解析】(1)當n=1時,a1=S1=100-1+3=102,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=100n-n2-100(n-1)+(n-1)2=101-2n.綜上所述an=

(2)當n≤50時,bn=an,所以Tn=a1+a2+a3+…+an=3+99+97+95+…+101-2n=3+=3+n(100-n),當n≥51時,bn=-an,Tn=a1+a2+a3+…+a50-a51-a52-…-an=2T50-(a1+a2+a3+…+an-1+an)=5006-3-n(100-n)=n2-100n+5003.綜上所述Tn=

【方法總結】處理數列{|an|}的前n項和的思路(1)等差數列{an}的各項都為非負數,這種情形中數列{|an|}就等于數列{an},可以直接求解.(2)等差數列{an}中,a1>0,d<0,這種數列只有前邊有限項為非負數,從某項開始其余所有項都為負數,可把數列{an}分成兩段處理.(3)等差數列{an}中,a1<0,d>0,這種數列只有前邊有限項為負數,其余都為非負數,同樣可以把數列{an}分成兩段處理.【跟蹤訓練】已知數列{an}的前n項和Sn=n2-6n,則{|an|}的前n項和Tn等于 (

)

A.6n-n2 B.n2-6n+18

【解析】選C.由Sn=n2-6n得{an}是等差數列,且首項為-5,公差為2,所以an=-5+(n-1)×2=2n-7,當n≤3時,an<0,當n>3時,an>0,Tn=

【補償訓練】Sn表示等差數列{an}的前n項和,且S4=S9,a1=-12.(1)求數列{an}的通項an及Sn.(2)求和:Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.【解析】(1)設公差為d,因為S4=S9,a1=-12,所以4×(-12)+6d=9×(-12)+36d?d=2,所以an=-12+2(n-1)=2n-14,Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.(2)當n≤7時,Tn=-(a1+a2+a3+…+an)=-Sn=13n-n2,當n≥8時,an>0,Tn=-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7)+(a8+…+an)=Sn-2S7=n2-13n+84.綜上,Tn=

類型三等差數列的綜合應用【典例3】已知數列{an}的各項均為正數,前n項和為Sn,且Sn=,n∈N*.(1)求證:數列{an}是等差數列.(2)設bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.【解題指南】(1)借助已知Sn求an公式,利用等差數列的定義an-=常數來證.(2)先求出Sn,bn,觀察發現運用裂項法求和.【解析】(1)①當n=1時,a1=S1=解得a1=1.②當n≥2時,由得2an=即(an+)(an--1)=0,又因為an+>0,所以an-=1(n≥2).所以{an}是以1為首項,以1為公差的等差數列.(2)由(1)知an=n,Sn=所以bn=所以Tn=b1+b2+b3+…+bn【方法總結】裂項相消法求和當數列的通項是分式形式,分母是兩個式子的乘積,且兩個式子的差為常數,這時可以把通項分裂成兩項之差,如an=an=在求和時,中間很多項都會相互抵消,只剩首尾若干項,從而求出數列的和.【跟蹤訓練】(2019·銅仁高一檢測)設數列滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n.(1)求數列{an}的通項公式;(2)若bn=21-,求數列{bn}的前n項和Tn的最大值及此時的n值;(3)求數列的前n項和.【解析】(1)由題意知,a1+2a2+3a3+…+nan=2n(n∈N*),所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2(n-1),n≥2,所以an=(n≥2),當n=1時,a1=2符合通項公式,所以數列的通項公式為an=.(2)由(1)可得,bn=21-2n,由等差數列的求和公式,可得Tn==-n2+20n=-(n-10)2+100,所以當n=10時,Tn取得最大值,且T10=100.(3)由(1)知,令cn=,Sn為cn的前n項和,則cn=所以Sn=【補償訓練】Sn為數列{an}的前n項和,已知an>0,+2an=4Sn+3.(1)求{an}的通項公式.(2)設bn=,求數列{bn}的前n項和.【解題指南】(1)根據an+1=Sn+1-Sn及+2an=4Sn+3確定{an}的通項公式.(2)利用裂項法求和.【解析】(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3,可得+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)==(an+1+an)(an+1-an),由于an>0,可得an+1-an=2,又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.所以{an}是首項為3,公差為2的等差數列,通項公式為an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn=設數列{bn}的前n項和為Tn,則Tn=b1+b2+…+bn

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