第第頁第11講整式（3個知識點+8個考點+易錯分析）模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1.了解單項式、多項式、整式的概念2.理解單項式的系數和次數的概念3.理解多項式中項、項的系數、多項式的次數等概念4.了解整式在解決實際問題中的應用知識點1.單項式單項式的概念：如，，-1，它們都是數與字母的積，像這樣的式子叫單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式．要點歸納：（1）單項式包括三種類型：①數字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；②單獨的一個數；③單獨的一個字母．（2）單項式中不能含有加減運算，但可以含有除法運算．如：可以寫成。但若分母中含有字母，如就不是單項式，因為它無法寫成數字與字母的乘積．單項式的系數：單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數．要點歸納：（1）確定單項式的系數時，最好先將單項式寫成數與字母的乘積的形式，再確定其系數；（2）圓周率π是常數．單項式中出現π時，應看作系數；（3）當一個單項式的系數是1或-1時，“1”通常省略不寫；（4）單項式的系數是帶分數時，通常寫成假分數，如：寫成．單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數．要點歸納：單項式的次數是計算單項式中所有字母的指數和得到的，計算時要注意以下兩點：（1）沒有寫指數的字母，實際上其指數是1，計算時不能將其遺漏；（2）不能將數字的指數一同計算．知識點2.多項式（重點）1.多項式的概念：幾個單項式的和叫做多項式．要點歸納：“幾個”是指兩個或兩個以上．多項式的項：每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項．要點歸納：（1）多項式的每一項包括它前面的符號．（2）一個多項式含有幾項，就叫幾項式，如：是一個三項式．多項式的次數：多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數．要點歸納：（1）多項式的次數不是所有項的次數之和，而是多項式中次數最高的單項式的次數．（2）一個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，都應寫出．知識點3.整式（重點）整式單項式與多項式統稱為整式．要點：（1）單項式、多項式、整式這三者之間的關系如圖所示．即單項式、多項式必是整式，但反過來就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．易錯點1.確定單項式的系數和次數時出錯單項式的系數包括前面的符號,且只與數字因數有關,而次數只與字母有關;確定系數時容易漏掉系數中的“_”號和“π”.確定次數時注意不要把“π”的次數也計算在內易錯點2.混淆多項式次數和單項式次數不要與單項式的次數混淆,誤將所有字母的指數和作為多項式的次數考點1：單項式的判斷【例1】下列代數式2x，－eq\f(1,3)ab2c，eq\f(x＋1,2)，πr2，eq\f(4,x)，a2＋2a，0，eq\f(m,n)中，單項式有()A．4個B．5個C．6個D．7個解析：2x，－eq\f(1,3)ab2c，πr2，0，都符合單項式的定義，共4個．故選A.方法總結：數與字母的積的形式的代數式是單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式．分母中含字母的不是單項式，分子中含加、減運算的式子也不是單項式．【變式1-1】（2023秋?赤坎區校級期末）下列式子是單項式的是A． B． C． D．【分析】直接利用數或字母的積組成的式子叫做單項式，即可得出答案．【解答】解：、是多項式，不合題意；、是單項式，符合題意；、是多項式，不合題意；、是方程，不合題意．故選：．【點評】此題主要考查了單項式，正確掌握相關定義是解題關鍵．【變式1-2】（2023秋?舟山期末）下列各式不是單項式的是A．3 B． C． D．【分析】根據單項式的定義：數或字母的積組成的式子叫做單項式，單獨的一個數或字母也是單項式，找出單項式即可．【解答】解：因為式子的分母含有字母，所以式子不是單項式．故選：．【點評】此題考查的是單項式，掌握其定義是解決此題的關鍵．【變式1-3】在代數式中，單項式的個數是（）A．6 B．5 C．3 D．4【答案】D【分析】根據單項式的概念即可判斷．【詳解】解：是多項式，不是整式，則單項式有共4個，故選：D．【點睛】本題考查單項式的概念，屬于基礎題型．考點2：確定單項式的系數和次數【例2】分別寫出下列單項式的系數和次數．(1)－ab2；(2)eq\f(5ab3c2,7)；(3)eq\f(2πxy2,3).解析：單項式的系數就是單項式中的數字因數；單項式的次數就是單項式中所有字母指數的和，只要將這些字母的指數相加即可．解：(1)單項式的系數是－1，次數是3；(2)單項式的系數是eq\f(5,7)，次數是6；(3)單項式的系數是eq\f(2π,3)，次數是3.方法總結：(1)當單項式的系數是1或－1時，“1”通常省略不寫；單項式的系數是帶分數時，通常寫成假分數．單項式的系數包括前面的符號．(2)我們把常數項的次數看做0.確定單項式的次數時，單項式中單獨一個字母的指數1不能忽略，如－3x3y，它的指數是4而不是3.(3)π是圓周率，是一個確定的數，不是字母．【變式2-1】單項式﹣23a2b3的系數和次數分別是（）A．﹣2，8 B．﹣2，5 C．2，8 D．﹣8，5【分析】根據單項式的系數和次數的概念求解可得．【解答】解：單項式﹣23a2b3的系數是﹣23＝﹣8，次數分別是2+3＝5，故選：D．【變式2-2】（2021?海南）下列整式中，是二次單項式的是（）A．x2+1 B．xy C．x2y D．﹣3x【分析】根據單項式的次數的意義判斷即可．【解答】解：A．x2+1是多項式，故A不合題意；B．xy是二次單項式，故B符合題意；C．x2y是次數為3的單項式，故C不符合題意；D．﹣3x是次數為1的單項式，故D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了單項式，正確掌握單項式的次數確定方法是解題關鍵．【變式2-3】（2023秋·全國·七年級課堂例題）填表：單項式系數次數【答案】,,,,,6,2,3,8,1【分析】先找出每個單項式中所有字母的指數，然后分別求得每個單項式中所有字母的指數和即可得到每個單項式的次數，據此完成表格．【詳解】單項式系數次數62381【點睛】本題主要考查的是單項式的概念，掌握單項式的系數和次數的定義是解題的關鍵．考點3：單項式的應用【例3】用單項式表示下列各式，并指出其系數和次數．(1)王明同學買2本練習冊花了n元，那么買m本練習冊要花多少元？(2)正方體的棱長為a，那么它的表面積是多少？體積呢？解析：(1)根據買2本練習冊花了n元，得出買1本練習冊花eq\f(n,2)元，再根據買了m本練習冊，即可列出算式，再根據系數、次數的定義進行解答即可；(2)根據正方體的棱長為a和表面積公式、體積公式列出式子，再根據系數、次數的定義進行解答．解：(1)∵買2本練習冊花了n元，∴買1本練習冊花eq\f(n,2)元，∴買m本練習冊要花eq\f(1,2)mn元，∴它的系數是eq\f(1,2)，次數是2；(2)∵正方體的棱長為a，∴它的表面積是6a2，系數是6，次數是2；它的體積是a3，系數是1，次數是3.方法總結：此題考查了列代數式，用到的知識點是系數、次數、正方形的表面積公式、體積公式，根據題意列出式子是本題的關鍵．【變式1-1】（2023秋?路北區期中）已知表示的相反數，表示的立方，表示的系數，表示0.6的倒數．（1）直接寫出各字母所表示的數；（2）計算，，，中所有負數的乘積，并判斷結果是否為正整數．【分析】（1）根據相反數、立方、單項式的系數、倒數的概念解答即可；（2）根據有理數的乘法法則、正整數的概念解答．【解答】解：（1），，，；（2）由題意得：，4是正整數，所有負數的乘積結果是正整數．【點評】本題考查的是相反數、立方、單項式的系數、倒數，熟記它們的概念是解題的關鍵．【變式1-2】寫出滿足條件的單項式．（1）寫出所有系數是2，且只含字母和的五次單項式；（2）系數是，含，兩個字母，且的指數是2，單項式的次數是6；（3）系數是，次數是3，含，兩個字母，且的指數是2．【分析】（1）直接利用單項式的定義分析得出答案；（2）根據單項式的系數是數字因數，次數是所有字母的指數和，可得答案；（3）根據單項式的系數是數字因數，次數是所有字母的指數和，可得答案．【解答】解：（1）由題意可得：，，，；（2）由題意可得：；（3）由題意可得：．【點評】本題考查了單項式，利用單項式的系數是數字因數，次數是所有字母的指數和．【變式1-3】．（2023秋?衡東縣校級期中）已知單項式與的次數相同．（1）求的值；（2）求當，時單項式的值．【分析】（1）根據單項式的次數的定義，即可得到一個關于的方程，解方程即可求得的值；（2）首先根據（1）的結果求得代數式，然后把，的值代入即可求解．【解答】解：（1）根據題意得：，解得：；（2），則當，時，原式．【點評】本題考查了單項式的次數的定義，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數．根據定義求得的值是關鍵．【變式1-4】．（2023秋?蓬江區校級月考）已知是關于、的五次單項式，求的值．【分析】根據單項式及單項式次數的定義，可得出、的值，代入代數式即可得出答案．【解答】解：是關于，的五次單項式，，解得：，則當，時，；當，時，．【點評】本題考查了單項式的知識，屬于基礎題，掌握單項式的定義及單項式次數的定義是解答本題的關鍵．考點4：單項式、多項式與整式的識別【例4】指出下列各式中哪些是單項式？哪些是多項式？哪些是整式？x2＋y2，－x，eq\f(a＋b,3)，10，6xy＋1，eq\f(1,x)，eq\f(1,7)m2n，2x2－x－5，eq\f(2,x2＋x)，a7.解析：根據整式、單項式、多項式的概念和區別來進行判斷．解：eq\f(2,x2＋x)，eq\f(1,x)的分母中含有字母，既不是單項式，也不是多項式，更不是整式．單項式有：－x，10，eq\f(1,7)m2n，a7；多項式有：x2＋y2，eq\f(a＋b,3)，6xy＋1，2x2－x－5；整式有：x2＋y2，－x，eq\f(a＋b,3)，10，6xy＋1，eq\f(1,7)m2n，2x2－x－5，a7.方法總結：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)單項式和多項式都是整式；(3)單項式不含加、減運算，多項式必含加、減運算．【變式4-1】．（2023秋·全國·七年級課堂例題）下列式子：中，多項式的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據多項式的定義進行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，，是多項式，符合要求；故選：B．【點睛】本題考查了多項式．解題的關鍵在于熟練掌握：幾個單項式的和（或差）叫做多項式．【變式4-2】．（2023秋·全國·七年級課堂例題）把下列式子分別填在相應的大括號內：．單項式：{

…}；多項式：{

…}整式：{

…}．【答案】單項式：；多項式：；整式：【分析】根據整式的分類，單項式和多項式的定義進行判斷即可．【詳解】解：單項式：；多項式：；整式：．【點睛】本題主要考查了整式的分類，解題的關鍵是熟練掌握單項式和多項式的定義．【變式4-3】.把下列各代數式的序號填入相應集合的括號內：

①2a2b+；②；③0；④；⑤﹣mn；⑥2x﹣3y=5；⑦2a+6abc+3k單項式集合：{}；多項式集合：{}；二項式集合：{}．【答案】單項式集合：{③，⑤，……}；多項式集合：{①，④，⑦，……}；二項式集合：{①，④，……}【分析】根據單項式的定義，由數字或字母的積組成的代數式叫做單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式和多項式的定義，幾個單項式的和叫做多項式判斷即可；【詳解】解：單項式集合：{③，⑤，……}；多項式集合：{①，④，⑦，……}；二項式集合：{①，④，……}【點睛】本題主要考查了單項式和多項式的判定，準確分析判斷是解題的關鍵．考點5：確定多項式的項數和次數【例5】寫出下列各多項式的項數和次數，并指出是幾次幾項式．(1)eq\f(2,3)x2－3x＋5；(2)a＋b＋c－d；(3)－a2＋a2b＋2a2b2.解析：根據多項式的項數是多項式中單項式的個數，多項式的次數是多項式中次數最高的單項式的次數，可得答案．解：(1)eq\f(2,3)x2－3x＋5的項數為3，次數為2，二次三項式；(2)a＋b＋c－d的項數為4，次數為1，一次四項式；(3)－a2＋a2b＋2a2b2的項數為3，次數為4，四次三項式．方法總結：(1)多項式的項一定包括它的符號；(2)多項式的次數是多項式里次數最高項的次數，而不是各項次數的和；(3)幾次項是指多項式中次數是幾的項．【變式5-1】（2023秋?蓮都區期末）多項式的次數和常數項分別是A．3，1 B．3， C．5，1 D．5，【分析】根據多項式的次數及常數項的定義即可求得答案．【解答】解：多項式中的項為，，，它們的次數分別為，，0，那么多項式的次數為3，其中為常數項，故選：．【點評】本題考查多項式的次數及常數項，熟練掌握其定義是解題的關鍵．【變式5-2】．（2023秋?慶陽期末）多項式的一次項系數是A．3 B．1 C． D．【分析】根據多項式的項與系數即可求得答案．【解答】解：多項式的一次項是，其系數是，故選：．【點評】本題考查多項式，熟練掌握其定義是解題的關鍵．【變式5-3】．（2023秋?山陽縣期末）對于多項式，下列說法正確的是A．它是三次三項式 B．它的常數項是6 C．它的一次項系數是 D．它的二次項系數是2【分析】利用多項式相關定義進行解答即可．【解答】解：、它是二次三項式，故原題說法錯誤；、它的常數項是，故原題說法錯誤；、它的一次項系數是，故原題說法正確；、它的二次項系數是1，故原題說法錯誤；故選：．【點評】此題主要考查了多項式，關鍵是掌握幾個單項式的和叫做多項式，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項．多項式中次數最高的項的次數叫做多項式的次數．【變式5-4】．（2023秋?贛州期末）多項式的項數和次數分別為A．2，7 B．3，8 C．2，8 D．3，7【分析】多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數，就是這個多項式的次數，根據這個定義即可判定．【解答】解：是八次三項式，故項數是3，次數是8．故選：．【點評】此題考查了多項式的定義．解題的關鍵是掌握多項式的有關定義，多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數，就是這個多項式的次數．考點6：根據多項式的概念求字母的取值【例6】已知－5xm＋104xm－4xmy2是關于x、y的六次多項式，求m的值，并寫出該多項式．解析：根據多項式中次數最高的項的次數叫做多項式的次數可得m＋2＝6，解得m＝4，進而可得此多項式．解：由題意得m＋2＝6，解得m＝4，此多項式是－5x4＋104x4－4x4y2.方法總結：此題考查了多項式，解題的關鍵是弄清多項式次數是多項式中次數最高的項的次數．【變式6-1】．（2023秋?武功縣期末）已知關于、的多項式是七次五項式，是五次項的系數，求，的值．【分析】根據關于、的多項式是七次五項式得，由此可求出的值，進而再根據是五次項的系數求出的值即可．【解答】解：關于、的多項式是七次五項式，，解得：，又是五次項的系數，．【點評】此題主要考查了多項式的定義，熟練掌握多項式的定義，理解多項式的次數和項數是解決問題的關鍵．【變式6-2】．（2023秋?合陽縣期末）已知關于、的多項式是五次四項式，為有理數），且單項式的次數與該多項式的次數相同．求，的值．【分析】根據多項式的次數、項的定義得出，，即可求出的值，再根據單項式的次數的定義得出，即可求出的值．【解答】解：關于、的多項式是五次四項式，，，，，單項式的次數與該多項式的次數相同，單項式的次數為五次，，，．【點評】本題考查了多項式的項、次數，單項式的次數，熟練掌握這幾個定義是解題的關鍵．【變式6-3】．（2023秋?漢陰縣期末）已知關于，的多項式是六次四項式，常數項是2．求，的值．【分析】利用多項式與單項式的次數與系數的確定方法得出，是解題關鍵．【解答】解：多項式是六次四項式，常數項是2，，，解得：．【點評】本題主要考查了多項式與單項式的次數，利用多項式與單項式的次數與系數的確定方法得出，是解題關鍵．【變式6-4】．（2023秋?東豐縣期末）已知多項式是六次四項式，單項式的次數與這個多項式的次數相同，求的值．【分析】根據已知得出方程，求出，根據已知得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：多項式是六次四項式，，，單項式的次數與這個多項式的次數相同，，，．．【點評】本題考查了多項式的有關內容的應用，注意：多項式中次數最高的項的次數叫多項式的次數．考點7：多項式中不含某項問題【例7】若關于x的多項式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次項和一次項，求m、n的值．解析：多項式不含二次項和一次項，則二次項和一次項系數為0.解：∵關于x的多項式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次項和一次項，∴m＝0，n－1＝0，則m＝0，n＝1.方法總結：多項式不含哪一項，則哪一項的系數為0.【變式7-1】．（2023秋?輝縣市期中）對于多項式（1）若此多項式是關于的三次三項式，求的值．（2）若此關于的多項式不含常數項，求的值．【分析】（1）利用多項式的定義進行解答即可；（2）關于的多項式不含常數項，得出，再進行計算即可解答．【解答】解：（1）由題意可知所以；（2）由題意可知，，所以或．【點評】此題主要考查了多項式的定義及整式的加減，正確把握其次數與系數是解題關鍵．【變式7-2】若關于的多項式不含二次項和一次項，求，的值．【分析】根據多項式不含二次項與一次項，得到兩項系數為0，即可求出與的值．【解答】解：多項式不含二次項和一次項，，，解得：，．【點評】此題考查了多項式中不含的幾次項問題，熟練掌握多項式合并是解本題的關鍵．【變式7-3】．（2022秋?虎林市校級期中）（1）已知多項式是六次三項式，求的值．（2）關于，的多項式不含二次項，求的值．【分析】（1）首先根據多項式是六次三項式確定、的值，從而代入代數式求解即可．（2）由于多項式不含二次項，則，，求出、的值后再代入代數式即可求代數式的值．【解答】解：（1）由題意可知，多項式最高項的次數為6，所以，因為多項式為三項式，所以，所以，，所以（2）由題意可得，且，所以，，，5，所以【點評】本題考查了多項式的知識，解題的關鍵是能夠確定多項式的次數，難度不大．【變式7-4】．（2023秋?巴東縣期末）已知二項式中，含字母的項的系數為，多項式的次數為，且，在數軸上對應的點分別為，，點為數軸上任意一點，對應的數為．（1），，并在數軸上標出，；（2）當點為線段的三等分點時，求的值；（3）在（2）的條件下，若點離點較近時，點、、分別從點、、同時向左運動，其速度分別為每秒2個單位長度、1個單位長度和4個單位長度．是否存在常數，使為定值，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據多項式的系數和次數的定義得出即可；（2）由（1）得出線段的長度，再根據三等分點的定義得出的值；（3）根據已知條件得出線段、的長度，設運動時間為秒，代入，分類討論得出代數式中含有的項，因為為定值，所以含有項的系數為0，得出的值即可．【解答】解：（1）二項式中，系數是，次數是5，故答案為：，5．（2），，，當點為線段的三等分點，點表示的數為1或3．的值為1或3．（3）存在，在（2）的條件下，若點離點較近，，設運動時間為秒，根據題意得，，，當時，，為定值，，，不符合題意，舍去；當時，，為定值，，．【點評】本題考查了數軸，多項式的系數和次數，解題關鍵是能夠利用數軸表示出線段的長度．考點8：多項式的應用【例8】如圖，某居民小區有一塊寬為2a米，長為b米的長方形空地，為了美化環境，準備在此空地的四個頂點處各修建一個半徑為a米的扇形花臺，在花臺內種花，其余種草．如果建造花臺及種花費用每平方米為100元，種草費用每平方米為50元．那么美化這塊空地共需多少元？解析：四個角圍成一個半徑為a米的圓，陰影部分面積是長方形面積減去一個圓面積．解：花臺面積和為πa2平方米，草地面積為(2ab－πa2)平方米．所以需資金為[100πa2＋50(2ab－πa2)]元．方法總結：用式子表示實際問題的數量關系時，首先要分清語言敘述中關鍵詞的含義，理清它們之間的數量關系和運算順序．【變式8-1】．（2023秋?山陽縣期末）如圖是某居民小區的一塊寬為米，長為米的長方形空地，為了美化環境，準備在這塊長方形空地的四個頂點處各修建一個半徑為米的扇形花臺，然后在花臺內種花，其余種草．（單位：（1）請用含，的式子表示種草的面積；（2）當，時，求種草的面積．取【分析】（1）根據種草面積長方形面積一個半徑為米的圓的面積，列出代數式進行計算即可；（2）把，代入（1）中所求代數式，進行計算即可．【解答】解：（1）由題意得：平方米，種草的面積為平方米；（2）當，時，種草的面積為：（平方米），答：種草的面積為386平方米．【點評】本題主要考查了列代數式和代數式求值，解題關鍵是理解題意，列出代數式．【變式8-2】如圖是某居民小區的一塊長為米，寬為米的長方形空地，為了美化環境，準備在這個長方形的四個頂點處各修一個半徑為米的四分之一圓形花臺，然后在花壇內種花，其余植草．（本題中的取（1）請用含，的式子表示種花的面積和種草的面積．（2）如果，，且建造花臺及種花費用每平方米需要資金100元，種草每平方米需要資金50元，那么美化這塊空地共需資金多少元？【分析】（1）由已知圖形是長方形，四角都有一塊半徑相同的四分之一圓形的花臺，所以四角花臺構成一個正圓，則種草的面積等于長方形的面積減去半徑為的圓的面積；（2）把，代入（1）中式子，再分別乘以各自的單價，相加即可求解．【解答】解：（1）種花的面積為：平方米；種草的面積為：平方米；（2）當，時，（元．答：美化這塊空地共需資金55900元．【點評】此題考查列代數式，關鍵是觀察圖形，要明確種草的面積等于長方形的面積減去半徑為的圓的面積．【變式8-3】．（2023秋?市中區期中）如圖，某居民小區有一塊長為，寬為的長方形空地．為了美化環境，準備在這個長方形空地的四個頂點處修建一個半徑為的扇形花臺，其余部分鋪設草坪．（1）草坪（陰影部分）的周長為，面積為．（結果用含有，，的式子表示）（2）如果鋪設草坪的費用為每平方米50元．當米，米，取3時，鋪設草坪共需多少元？【分析】（1）結合圖形及已知條件列得代數式即可；（2）結合（1）中所求列式計算即可．【解答】解：（1）；；即草坪（陰影部分）的周長為；面積為，故答案為：；；（2）當米，米，取3時，（平方米），則（元，即鋪設草坪共需600元．【點評】本題考查列代數式及代數式求值，結合已知條件列得正確的算式是解題的關鍵．【變式8-4】（2023秋?武漢期末）、為數軸上的兩個點，點對應的數記為，點對應的數記為，且是關于、的三次二項式．解答下列問題：（1），；（2）若數軸上有一點，且，求點對應的數；（3）若點、分別從、出發，同時向左勻速運動，點的速度為個單位長度每秒，點的速度是3個單位長度每秒，點、分別為線段、線段的中點．設運動時間為秒，在點，的運動過程中，若的長度與的取值無關，求的值及的長度．【分析】（1）根據多項式為關于、的三次二項式，得出，，從而求出、的值；（2）設點對應的數為，且，判斷出點在點的左邊，于是有，即可求出的值；（3）秒后，對應的數為，對應的數為，根據數軸上中點的定義即可表示出中點的坐標，再計算、的長，根據的長度與的取值無關，即的系數為0，從而得解．【解答】解：（1）若是關于、的三次二項式，則，，解得，，故答案為：，12；（2）設點對應的數為，，點在點的左邊，，解得或，即點對應的數為或；（3）秒后，對應的數為：，對應的數為：，、為、的中點，點對應的數為：，點對應的數為：，，的長度與無關，，．【點評】本題考查了多項式，數軸上兩點之間的距離，中點坐標的求法，熟練掌握多項式的項、次數的定義是解題的關鍵．考點9：整式的規律探究【例9】用棋子擺出下列一組“口”字，按照這種方法擺下去，則第n個“口”字需要用棋子（）A．（4n﹣4）枚 B．4n枚 C．（4n+4）枚 D．n2枚【答案】B【分析】觀察圖形可知，構成每個“口”字的棋子數量，等于構成邊長為(n+1)的正方形所需要的棋子數量減去構成邊長為(n+1-2)的正方形所需要的棋子數量.【詳解】解：由圖可知第n個“口”字需要用棋子的數量為(n+1)2-(n+1-2)2=4n,故選擇B.【點睛】本題考查了規律的探索.【變式9-1】．（2023春·安徽安慶·七年級統考期末）觀察下列單項式：，，，，…，根據你發現的規律，第10個單項式為_____________．【答案】【分析】根據第2、4、6個單項式歸納類推出一般規律，由此即可得．【詳解】解：觀察可知，第2個單項式為，第4個單項式為，第6個單項式為，歸納類推得：第個單項式為，其中為偶數，所以第10個單項式為，故答案為：．【點睛】本題考查了單項式的規律探索，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵．【變式9-2】如圖所示，用同樣規格的黑白兩色正方形瓷磚鋪設矩形地面，請觀察下列各圖：則第n個圖形中需要用黑色瓷磚塊．（用含n的代數式表示）【答案】（4n+4）【分析】仔細觀察圖形，找到圖形的變化規律，利用規律求解即可．【詳解】第1個圖形中有黑色瓷磚（1+2）2﹣12＝8塊；第2個圖形中有黑色瓷磚（2+2）2﹣22＝12塊；第3個圖形中有黑色瓷磚（3+2）2﹣32＝16塊；…第n個圖形中有黑色瓷磚（n+2）2﹣n2＝4n+4塊；故答案為（4n+4）．【點睛】考查了圖形的變化規律，找到圖形的變化規律是解答本題的關鍵，難度不大．【變式9-3】（2023?十堰）用火柴棍拼成如圖圖案，其中第①個圖案由4個小等邊三角形圍成1個小菱形，第②個圖案由6個小等邊三角形圍成2個小菱形，…，若按此規律拼下去，則第n個圖案需要火柴棍的根數為．（用含n的式子表示）【分析】第①個圖案所需要的火柴棍的根數為：12＝3×4，第②個圖案所需要的火柴棍的根數為：18＝3×6，第③個圖案所需要的火柴棍的根數為：24＝3×8，…，據此可求得第n個圖案所需要的火柴棍的根數．【解答】解：∵第①個圖案所需要的火柴棍的根數為：12＝3×4，第②個圖案所需要的火柴棍的根數為：18＝3×6，第③個圖案所需要的火柴棍的根數為：24＝3×8，…，∴第n個圖案需要火柴棍的根數為：3（2n+2）＝6n+6．故答案為：6n+6．【點評】本題主要考查圖形的變化規律，解答的關鍵是由所給圖形分析出圖形變化的規律【變式9-4】.觀察下列圖形：它們是按一定規律排列的．(1)依照此規律，第20個圖形共有幾個五角星？(2)擺成第n個圖案需要幾個五角星？(3)擺成第2015個圖案需要幾個五角星？解析：通過觀察已知圖形可得每個圖形都比其前一個圖形多3個五角星，根據此規律即可解答．解：(1)根據題意得∵第1個圖中，五角星有3個(3×1)；第2個圖中，有五角星6個(3×2)；第3個圖中，有五角星9個(3×3)；第4個圖中，有五角星12個(3×4)；∴第n個圖中有五角星3n個．∴第20個圖中五角星有3×20＝60個．(2)由(1)可知，擺成第n個圖案需要3n個五角星．(3)擺成第2015個圖案需要五角星2015×3＝6045(個)．方法總結：此題首先要結合圖形具體數出幾個值．注意由特殊到一般的分析方法．此題的規律為擺成第n個圖案需要3n枚五角星．一．選擇題（共6小題）1．（2024?肇源縣開學）在代數式，，，，，中，整式有A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】根據整式的定義進行解答．【解答】解：和分母中含有未知數，則不是整式，其余的都是整式．故選：．【點評】本題重點對整式定義的考查：整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，減，乘，除四種運算，但在整式中除數不能含有字母．單項式和多項式統稱為整式．2．（2023秋?法庫縣期末）下列說法正確的是A．整式就是多項式 B．是單項式 C．是七次二項式 D．是單項式【分析】解決本題關鍵是搞清整式、單項式、多項式的概念及次數、項次，緊扣概念作出判斷．【解答】解：、根據整式的概念可知，單項式和多項式統稱為整式，故錯誤；、是單項式，故正確；、是四次二項式，故錯誤；、是多項式，故錯誤．故選：．【點評】主要考查了整式的相關概念．要能準確的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，減，乘，除四種運算，但在整式中除式不能含有字母．單項式和多項式統稱為整式．3．（2024?東莞市校級一模）單項式表示球的表面積，其中表示圓周率，表示球的半徑．下列說法中，正確的是A．系數是4，次數是2 B．系數是4，次數是3 C．系數是，次數是3 D．系數是，次數是2【分析】根據單項式系數及次數的定義解答即可．【解答】解：單項式的系數是，次數是2．故選：．【點評】本題考查的是單項式，熟知單項式中的數字因數叫做單項式的系數，一個單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數是解題的關鍵．4．（2024?涼州區校級三模）單項式的系數與次數分別是A．，3 B．，4 C．，3 D．，4【分析】根據單項式的次數（所有的字母的指數的和）和系數的定義（數字因數是系數）解決此題．【解答】解：單項式的系數與次數分別是和3．故選：．【點評】本題主要考查單項式，熟練掌握單項式的系數與次數的定義是解決本題的關鍵．5．（2023秋?坡頭區期末）下列說法正確的是A．單項式的次數是1 B．多項式的常數項是5 C．單項式的系數是 D．是三次三項式【分析】單項式的次數是各字母次數之和，多項式次數要找所組成的單項式中次數最高的那一項．根據定義逐項判斷即可．【解答】解：．單項式的次數是2，說法錯誤，不符合題意；．多項式的常數項是，說法錯誤，不符合題意；．單項式的系數是，說法錯誤，不符合題意；．是三次三項式，說法正確，符合題意．故選：．【點評】本題考查單項式和多項式的次數與系數，明確概念是解題關鍵．6．（2023秋?龍華區期末）多項式的二次項系數是A． B． C．3 D．【分析】根據多項式的意義，即可解答．【解答】解：多項式的二次項系數是，故選：．【點評】本題考查了多項式，熟練掌握多項式的意義是解題的關鍵．二．填空題（共8小題）7．（2023秋?錦州期末）單項式的次數是5．【分析】根據一個單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數，進而得出答案．【解答】解：單項式的次數是5．故答案為：5．【點評】此題主要考查了單項式，正確掌握單項式的次數確定方法是解題關鍵．8．（2023秋?赤坎區校級期末）單項式的系數是．【分析】根據單項式的系數的概念解答即可．【解答】解：單項式的系數是，故答案為：．【點評】本題考查的是單項式的系數，單項式中的數字因數叫做單項式的系數．9．（2023秋?斗門區期末）請你寫出一個單項式，使它的系數為5，次數為3，這個單項式是．【分析】根據單項式次數和系數的定義寫出滿足題意的單項式即可．【解答】解：系數為5，次數為3的單項式可以為，故答案為：（答案不唯一）．【點評】本題主要考查了單項式的系數和次數，熟知相關定義是解題的關鍵：表示數或字母的積的式子叫做單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式，單項式中數字因數叫做這個單項式的系數，所有字母的指數之和叫做單項式的次數．10．（2023秋?通遼期中）下列式子：，，，，，0，整式的個數是4個．【分析】根據整式的定義從給出的式子中找出整式的個數即可．【解答】解：在，，，，，0中，整式有，，，0，共4個．故答案為：4．【點評】此題主要考查了整式的概念，正確把握定義是解題關鍵．11．（2023秋?永州期末）單項式的系數為，次數為，則．【分析】根據單項式的意義可得，，然后把，的值代入式子中進行計算，即可解答．【解答】解：單項式的系數為，次數為3，，，，故答案為：．【點評】本題考查了單項式，熟練掌握單項式的意義是解題的關鍵．12．（2023秋?崇明區期末）多項式的常數項是．【分析】先將多項式整理，再判斷常數項即可．【解答】解：整理，得，所以這個多項式的常數項為．故答案為：．【點評】本題考查多項式，正確記憶相關概念是解題關鍵．13．（2023秋?臺兒莊區期末）若多項式為三次三項式，則的值為．【分析】直接利用多項式的次數與項數確定方法進而得出答案．【解答】解：多項式是關于的三次三項式，，，解得：．故答案為：．【點評】此題主要考查了多項式，正確掌握多項式次數確定方法是解題關鍵．14．（2023秋?荔城區期末）若關于的多項式中不含有項，則．【分析】直接利用多項式中不含有項，即的系數為零，進而得出答案．【解答】解：關于的多項式中不含有項，，解得：．故答案為：．【點評】此題主要考查了多項式，正確得出的系數為零是解題關鍵．三．解答題（共8小題）15．（2023秋?永福縣期中）已知單項式與的次數相同，求的值．【分析】根據單項式的次數的概念列出方程，解方程求出的值，代入計算即可．【解答】解：單項式與的次數相