第第頁§7.4空間直線、平面的垂直課標要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質，并會簡單應用．知識梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角(1)定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范圍：[0，π]．4．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質定理兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α常用結論1．三垂線定理平面內的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內的射影垂直．3．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)若直線l與平面α內的兩條直線都垂直，則l⊥α.(×)(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(√)(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面．(×)(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.(×)2．(多選)下列命題中不正確的是()A．如果直線a不垂直于平面α，那么平面α內一定不存在直線垂直于直線aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線平行于平面βC．如果直線a垂直于平面α，那么平面α內一定不存在直線平行于直線aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β答案ABD解析若直線a垂直于平面α，則直線a垂直于平面α內的所有直線，故C正確，其他選項均不正確．3．如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(不與A，B重合)，則下列說法錯誤的是()A．PA⊥平面ABCB．BC⊥平面PACC．AC⊥平面PBCD．三棱錐P－ABC的四個面都是直角三角形答案C解析因為PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(不與A，B重合)，則PA⊥平面ABC，故A正確；而BC?平面ABC，則PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，則有BC⊥平面PAC，故B正確；由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正確；假定AC⊥平面PBC，PC?平面PBC，則AC⊥PC，即∠PCA＝90°，而在△PAC中∠PAC＝90°，矛盾，所以AC⊥平面PBC不正確，故C錯誤．4．過平面外一點P的斜線段是過這點的垂線段的eq\f(2\r(3),3)倍，則斜線與平面α所成的角是________．答案eq\f(π,3)解析如圖，連接AB，由PB⊥α，知∠PAB是線段PA與平面α所成的角，在Rt△PAB中，因為PA＝eq\f(2\r(3),3)PB，所以sin∠PAB＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(\r(3),2)，∠PAB∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠PAB＝eq\f(π,3)，即線段PA與平面α所成的角為eq\f(π,3).題型一直線與平面垂直的判定與性質例1如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點B1在底面ABC內的射影恰好是點C.(1)若點D是AC的中點，且DA＝DB，證明：AB⊥CC1；(2)已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周長．(1)證明∵點B1在底面ABC內的射影是點C，∴B1C⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴B1C⊥AB.在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，∵BC∩B1C＝C，BC，B1C?平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵CC1?平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.(2)解如圖，延長BC至點E，使BC＝CE，連接C1E，則B1C1綉CE，四邊形B1CEC1為平行四邊形，則C1E綉B1C.由(1)知B1C⊥平面ABC，∴C1E⊥平面ABC，∵CE，BE?平面ABC，∴C1E⊥CE，C1E⊥BE，∵C1E＝B1C＝2eq\r(3)，CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4，∴CC1＝eq\r(CE2＋C1E2)＝4，BC1＝eq\r(BE2＋C1E2)＝2eq\r(7)，∴△BCC1的周長為2＋4＋2eq\r(7)＝6＋2eq\r(7).思維升華證明線面垂直的常用方法及關鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質．(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．跟蹤訓練1如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.證明(1)如圖，連接A1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因為四邊形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因為CC1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1?平面A1C1C，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因為A1C?平面A1C1C，所以A1C⊥B1D1.(2)如圖，連接B1A，AD1.因為B1C1＝AD，B1C1∥AD，所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1，因為MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因為MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因為AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以MN∥A1C.題型二平面與平面垂直的判定與性質例2如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．(1)證明因為A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，又因為∠ACB＝90°，即AC⊥BC，因為A1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因為BC?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解如圖，過點A1作A1O⊥CC1于點O.因為平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O?平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為A1O.因為A1C⊥平面ABC，AC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，在Rt△ABC與Rt△A1BC中，因為A1B＝AB，BC＝BC，所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，所以A1C＝AC.設A1C＝AC＝x，則A1C1＝x，所以O為CC1中點，OC1＝eq\f(1,2)AA1＝1，又因為A1C⊥AC，所以A1C2＋AC2＝AAeq\o\al(2,1)，即x2＋x2＝22，解得x＝eq\r(2)，所以A1O＝eq\r(A1C\o\al(2,1)－OC\o\al(2,1))＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為1.思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質的應用①面面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據，運用時要注意“平面內的直線”．②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．跟蹤訓練2如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.證明(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，且PA?平面PAD，PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PA⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中點，∴AB∥DE，且AB＝DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD∥BE，∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD，∵E和F分別是CD和PC的中點，∴EF∥PD，∵EF?平面PAD，PD?平面PAD，∴EF∥平面PAD，∵BE∩EF＝E，BE，EF?平面BEF，∴平面BEF∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，∴平行四邊形ABED是矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E和F分別是CD和PC的中點，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.題型三垂直關系的綜合應用例3如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，點P是AD1上的動點．(1)試判斷不論點P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并證明你的結論；(2)當P為AD1的中點時，求異面直線AA1與B1P所成角的余弦值；(3)求PB1與平面AA1D1D所成角的正切值的最大值．解(1)是．∵BA⊥平面AA1D1D，BA?平面BPA，∴平面BPA⊥平面AA1D1D，∴無論點P在AD1上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AA1D1D.(2)過點P作PE⊥A1D1，垂足為E，連接B1E，如圖，則PE∥AA1，∴∠B1PE是異面直線AA1與B1P所成的角．在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°，∴∠A1AD1＝30°，∴A1B1＝A1D1＝eq\f(1,2)AD1＝2，∴A1E＝eq\f(1,2)A1D1＝1，AA1＝eq\r(3)A1D1＝2eq\r(3)，∴PE＝eq\f(1,2)AA1＝eq\r(3)，B1E＝eq\r(A1B\o\al(2,1)＋A1E2)＝eq\r(5)，∴在Rt△B1PE中，B1P＝eq\r(B1E2＋PE2)＝2eq\r(2)，∴cos∠B1PE＝eq\f(PE,B1P)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，∴異面直線AA1與B1P所成角的余弦值為eq\f(\r(6),4).(3)由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1D，∴∠B1PA1是PB1與平面AA1D1D所成的角，∴tan∠B1PA1＝eq\f(A1B1,A1P)＝eq\f(2,A1P)，∴當A1P最小時，tan∠B1PA1最大，這時A1P⊥AD1，A1P＝eq\f(A1D1·AA1,AD1)＝eq\r(3)，得tan∠B1PA1＝eq\f(2\r(3),3)，即PB1與平面AA1D1D所成角的正切值的最大值為eq\f(2\r(3),3).課時精練一、單項選擇題1．若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為()A．過點P垂直于平面α的直線平行于平面βB．過點P垂直于直線l的直線在平面α內C．過點P垂直于平面β的直線在平面α內D．過點P且在平面α內垂直于l的直線必垂直于平面β答案B解析由于過點P垂直于平面α的直線必平行于平面β內垂直于交線的直線，則直線平行于平面β，因此A是真命題；過點P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內，因此B是假命題；根據面面垂直的性質定理知，選項C，D是真命題．2．若P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC，PB⊥AC，則點P在△ABC所在平面內的射影O是△ABC的()A．內心B．外心C．重心D．垂心答案D解析如圖所示，因為PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P，所以BC⊥平面PAO，則BC⊥OA，同理得OB⊥AC，所以O是△ABC的垂心．3.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC內的射影H必在()A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內部答案A解析連接AC1(圖略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC內的射影H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上．4．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是()A．若m⊥α，n⊥β，且α∥β，則m∥nB．若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥nC．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n答案C解析由n⊥β且α∥β，可得n⊥α，而垂直于同一個平面的兩條直線相互平行，故A正確；由于α∥β，m⊥α，所以m⊥β，又因為n∥β，則m⊥n，故B正確；若α∥β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，故C錯誤；如圖，設α∩β＝l，在平面β內作直線c⊥l，又因為α⊥β，則c⊥α，又m⊥α，所以m∥c，因為n⊥β，c?β，所以n⊥c，從而有m⊥n，故D正確．二、多項選擇題5．在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，點E，F分別是棱PA，PB的中點，則下列結論正確的是()A．CD⊥PDB．AB⊥PCC．平面PBD⊥平面PACD．E，F，C，D四點共面答案AD解析如圖所示，因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又因為底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A正確；因為CD∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PC∩平面PAD＝P，所以AB與PC不垂直，故B錯誤；因為底面ABCD是矩形，所以BD與AC不一定垂直，則BD與平面PAC不一定垂直，所以平面PBD與平面PAC不一定垂直，故C錯誤；因為點E，F分別是棱PA，PB的中點，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F，C，D四點共面，故D正確．6.如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E為AB的中點，以DE為折痕把△ADE折起，使點A到達點P的位置，且PC＝2eq\r(3).則下列說法正確的有()A．CD⊥平面EDPB．四棱錐P－EBCD外接球的體積為4eq\r(3)πC．二面角P－CD－B的大小為eq\f(π,4)D．直線PC與平面EDP所成角的正切值為eq\r(2)答案ABC解析對于A，∵E為AB的中點，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四邊形EBCD為平行四邊形，又AB⊥BC，∴四邊形EBCD為矩形，∴CD⊥DE.∵PD＝AD＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，CD＝2，PC＝2eq\r(3)，∴PD2＋CD2＝PC2，∴CD⊥PD，又PD∩DE＝D，PD，DE?平面EDP，∴CD⊥平面EDP，A正確；對于B，∵BC∥DE，AB⊥BC，∴AE⊥DE，即PE⊥DE，∵CD⊥平面EDP，PE?平面EDP，∴CD⊥PE，又CD∩DE＝D，CD，DE?平面EBCD，∴PE⊥平面EBCD，∵矩形EBCD的外接圓半徑r＝eq\f(1,2)×eq\r(22＋22)＝eq\r(2)，∴四棱錐P－EBCD的外接球半徑R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PE))2)＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，∴四棱錐P－EBCD外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，B正確；對于C，∵CD⊥平面EDP，PD?平面EDP，∴PD⊥CD；又DE⊥CD，∴二面角P－CD－B的平面角為∠PDE，∵PE⊥DE，PE＝DE＝2，∴∠PDE＝eq\f(π,4)，∴二面角P－CD－B的大小為eq\f(π,4)，C正確；對于D，∵CD⊥平面EDP，∴∠CPD即為直線PC與平面EDP所成的角，∵CD⊥PD，PD＝2eq\r(2)，CD＝2，∴tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即直線PC與平面EDP所成角的正切值為eq\f(\r(2),2)，D錯誤．三、填空題7．在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個面中，與AA1垂直的平面有________個．答案2解析在正方體中，側棱都和底面垂直，故在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個面中，與AA1垂直的平面有平面ABCD和平面A1B1C1D1，共兩個．8．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個正四棱錐，已知該金字塔的塔高與底面邊長的比滿足黃金比例，即比值約為eq\f(\r(5)－1,2)，則它的側棱與底面所成角的正切值約為________．答案eq\f(\r(10)－\r(2),2)解析畫出如圖所示示意圖，設底面邊長為a，則塔高EF＝eq\f(\r(5)－1,2)a，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)a，所以側棱與底面所成的角∠EAF的正切值為eq\f(EF,AF)＝eq\f(\f(\r(5)－1,2)a,\f(\r(2),2)a)＝eq\f(\r(10)－\r(2),2).四、解答題9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝