第=page11頁，共=sectionpages11頁北師大版（2019）必修第一冊《第一章預備知識—第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)》單元測試卷一、單選題：本題共6小題，每小題5分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)在上是減函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結論正確的是(

)A. B.

C. D.2.已知函數(shù)，若，且，則(

)A.， B.，

C.， D.，3.命題“，”的否定為(

)A.， B.，

C.， D.，4.設，則下列說法一定正確的是(

)A. B. C. D.5.設且，則“函數(shù)在R上是減函數(shù)”，是“函數(shù)在R上是增函數(shù)”的條件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要6.已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共5小題，共25分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。7.已知a，b，c，d均為實數(shù)，下列說法正確的是(

)A.若，，則 B.若，則

C.若，，則 D.若，8.下列命題中正確的結論的為(

)A.的結果為

B.若，則

C.若，那么等于8

D.設，，則9.下列命題，其中正確的命題是(

)A.函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是

B.函數(shù)在上是減函數(shù)

C.若函數(shù)且，滿足，則的單調(diào)遞減區(qū)間是

D.函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是10.已知函數(shù)，則下列結論正確的有(

)A.存在實數(shù)a，b，使得函數(shù)為奇函數(shù)

B.若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且無限逼近直線，則

C.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則

D.時，若對，函數(shù)恒成立，則b的取值范圍為11.已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足若a，，且的值為負值，則下列結論可能成立的有(

)A.， B.，

C.， D.，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數(shù)且的圖象恒過定點P，則點P的坐標為______.13.若實數(shù)x，y，a，b均大于0，且，則的最小值為______.14.已知函數(shù)，若在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為______.四、解答題：本題共4小題，共48分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題12分

已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.

求函數(shù)的解析式；

若正數(shù)a，b滿足，求的最小值.16.本小題12分

已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且當時，函數(shù)的解析式為

求當時，函數(shù)的解析式；

設函數(shù)在上的最小值為，求的表達式．17.本小題12分

已知，函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，

求a，判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義證明；

若對任意的，總是存在使得不等式成立，求b的范圍．18.本小題12分

定義在D上的函數(shù)，如果滿足：存在常數(shù)，對任意，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.

證明在上是有界函數(shù)；

若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：函數(shù)在上是增函數(shù)，

又函數(shù)為偶函數(shù)，可得的圖象關于直線對稱，

可得函數(shù)在上為減函數(shù)，

所以

故選：

由函數(shù)在上為增函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，得出的圖象關于直線對稱，函數(shù)在上的單調(diào)性，可得到結論．

本題考查函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性問題，解題時應注意：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，是中檔題．2.【答案】D

【解析】解：由，得，則在R上單調(diào)遞增，

，且，

，

故選：

利用導數(shù)可得在R上單調(diào)遞增，結合，且，即可得到，，則答案可求．

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點的應用，是基礎題．3.【答案】B

【解析】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題“，”的否定：，

故選：

直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可．

本題考查命題的否定．特稱命題與全稱命題的否定關系，基本知識的考查．4.【答案】B

【解析】【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質判斷大小即可．

本題考查了指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質，考查指數(shù)冪的大小比較，是一道基礎題．【解答】

解：依題意有：，由指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減可得：，

由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增可得：，于是：，

同理可得：，對于和而言，無法比較大小，反例如下：

當，時，；當，時，；當，時，

故選：5.【答案】A

【解析】解：且，則“函數(shù)在R上是減函數(shù)”，所以，

“函數(shù)在R上是增函數(shù)”所以；

顯然且，則“函數(shù)在R上是減函數(shù)”，

是“函數(shù)在R上是增函數(shù)”的充分不必要條件．

故選：

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質結合充分條件和必要條件的定義即可得到結論．

本題考查了充分必要條件，考查指數(shù)函數(shù)的性質，是一道基礎題．6.【答案】A

【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)的應用，考查指數(shù)不等式的解法，屬于基礎題．

由已知求得，進一步得到，代入，求解指數(shù)不等式得答案．【解答】

解：，，

，

得，即

實數(shù)a的取值范圍是

故答案選：7.【答案】AD

【解析】解：對于A，，

，

又，

，故A正確，

對于B，當時，則，故B錯誤，

對于C，若，，取，，，，則，故C錯誤，

對于D，若，，當且僅當時等號成立，故D正確．

故選：

根據(jù)已知條件，結合不等式的性質，以及特殊值法，即可求解．

本題主要考查不等式的性質，掌握特殊值法是解本題的關鍵，屬于基礎題．8.【答案】BCD

【解析】解：對于A：，故A錯誤；

對于B：若，則，則，則，故B正確；

對于C：令，則，則，，所以，所以，故C正確；

對于D：設，，則，故D正確．

故選：

根據(jù)指數(shù)冪的運算性質判斷AB，利用換元法求出函數(shù)的解析式，判斷C，根據(jù)集合的關系判斷

本題考查了指數(shù)冪的運算函數(shù)，函數(shù)的解析式的求法，集合與集合的關系，屬于基礎題．9.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查了命題真假的判斷，涉及到了復合函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)定義域問題，屬于中檔題．

對A，由，可求出定義域；對B，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質即可判斷；

對C，先求出，再求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可；對D，滿足在內(nèi)單調(diào)遞增即可．【解答】

解：因為的定義域為，

要使函數(shù)有意義，則，

解得且，

即函數(shù)的定義域是，故A正確；

對于B，分別在，上是減函數(shù)，故B錯誤；

對C，，解得或舍，

所以，

因為的單調(diào)遞增區(qū)間為

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是故C正確；

對D，的對稱軸為，開口向下，

要使在內(nèi)單調(diào)遞增，

則，

解得，故D正確；

故選10.【答案】ABC

【解析】解：對于A，當時，，，此時為奇函數(shù)，故選項A正確；

對于B，為偶函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，圖象過點，且以x軸為漸近線，

若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且漸近線為時，，，選項B正確；

對于C，因為偶函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，

故若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，選項C正確：

對于D，當時，，，

若恒成立，得，即，而，此時，，

當時，，得，若恒成立，得，

當時，，得，

若恒成立，得，即，而，因此得，選項D不正確，

故選：

對于A，舉例判斷即可；

對于B，結合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質即可判斷；

對于C，由為偶函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)進行判斷；

對于D，分和三種情況判斷即可．

本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質、偶函數(shù)的性質及分類討論思想，屬于中檔題．11.【答案】BC

【解析】解：函數(shù)是冪函數(shù)，，求得或

對任意，，且，滿足，故在上是增函數(shù)，

，，

若a，，且的值為負值．

若A成立，則，不滿足題意；

若B成立，則，滿足題意；

若C成立，則，滿足題意；

若D成立，則，不滿足題意，

故選：

利用冪函數(shù)的性質推導出，從而求得，然后檢驗各個選項是否正確．

本題考查命題真假的判斷，考查冪函數(shù)性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．12.【答案】

【解析】解：對于函數(shù)且，令，求得，，

可得它的圖象恒過定點，

故答案為：

令冪指數(shù)等于零，求得x、y的值，可得函數(shù)的圖象經(jīng)過定點的坐標．

本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過定點問題，屬于基礎題．13.【答案】9

【解析】解：若實數(shù)x，y，a，b均大于0，且，

則①，②，

由①②得，

故，解得，

故，

故均大于，

當且僅當，即時“=”成立，

故的最小值是9，

故答案為：

根據(jù)，求出，得到，再根據(jù)乘“1”法求出代數(shù)式的最小值即可．

本題考查了對數(shù)的運算性質，考查基本不等式問題以及乘“1”法的應用，是中檔題．14.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，

則有，解可得，即a的取值范圍為

故答案為：

根據(jù)題意，由函數(shù)的單調(diào)性的定義可得關于a的不等式，解可得答案．

本題考查函數(shù)的單調(diào)性，涉及分段函數(shù)的性質，屬于基礎題．15.【答案】解：冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．

，解得，，

，

，，

，

當且僅當，即，時，取“=”，

的最小值為

【解析】利用冪函數(shù)的定義和性質列出方程組，求出，，由此能求出

由，得，再利用均值不等式能求出的最小值．

本題考查函數(shù)的解析式、代數(shù)式的最小值的求法，考查冪函數(shù)的性質、均值不等式等基礎知識，意在考查學生運算求解能力，屬于中檔題．16.【答案】解：當時，函數(shù)的解析式為，

當時，，所以；

由于函數(shù)為偶函數(shù)，故；

由于，，

①當，即時，在該區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，

②當時，即，

所以，

③當時，；

故

【解析】直接利用函數(shù)的奇偶性的應用求出函數(shù)的關系式；

利用區(qū)間和對稱軸的關系，進一步利用分類討論思想的應用求出函數(shù)的表達式．

本題考查的知識要點：函數(shù)的奇偶性，分段函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)性，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題．17.【答案】解：由題可知，，；

，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，證明如下：

設，則

，，在上單調(diào)遞增．

因為是R上偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減；

原問題等價于在上成立，

由知，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，

，

根據(jù)雙勾函數(shù)的圖像與性質可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

①若，在上單調(diào)遞增，則，

，解得，；

②若，則，

滿足題意，；

③若，則，

，解得，

綜上所述，

【解析】偶函數(shù)滿足，據(jù)此求出a，利用定義法證明其單調(diào)性即可；

對任意的，總是存在使得不等式成立，等價于在上成立．

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題．18.【答案】解：證明：，則在上是嚴格增函數(shù)