FundamentalsofMechanicalControlTheory機械控制理論

基礎FrequencyCharacteristicsofControlSystems控制系統的頻率特性CHAPTER51對系統性能的評價：穩定性、準確性、快速性時域分析：在穩定前提下，解決系統的快速性、準確性問題頻域分析：解決系統的穩定性、快速性問題頻率特性分析是經典控制理論的核心內容工程實際中：振動問題：對以周期性振動的輸入信號的響應分析問題材料的疲勞試驗：施加的作用力為周期性交變信號汽車的減振效果橋梁（跨海大橋）的設計生活中：士兵過橋，挑擔子2圖（a）振蕩初起之時圖（b）災難發生之時1940年7月1日建成通車的美國塔科馬海灣（TacomaNarrows）大橋，在四個月后的11月7日被大風吹塌。大橋坍塌后，美國組建了一個事故調查委員會。其中成員就包括空氣動力學家馮·卡門（TheodorevonKármán）。卡門是匈牙利猶太人，1930年移居美國后負責指導古根海姆氣動力實驗室和加州理工大學第一個風洞的設計和建設。NASA著名的噴氣推進實驗室（JPL）亦是由他創建。調查發現這場災難源于一種卡門渦街現象，卡門渦街類似于將木樁插入水流時在木樁下游形成的兩列非對稱漩渦，進而形成側向力作用，該作用是有規律的周期性現象（即具有一定頻率），而塔科馬大橋本身也有自己的頻率，當兩個頻率接近的時候便會發生共振。而發生共振的后果，現在大家都知道了。4本章主要內容(MainContents)頻率特性

(frequencyresponse)對數坐標圖(LogMagnitudeandPhaseDiagram,BodeDiagram)極坐標圖(PolarcoordinatePlot，NyquistPlot)最小相位系統(dynamicanalysisofhigh-ordersystem)閉環頻率特性與頻域性能指標(frequencycharacteristicsofclosed-loopsystems&

performancespecificationsinthefrequencydomain)5本章重點內容基本概念：頻率特性、幅頻特性、相頻特性Bode圖：注意對數幅頻圖的漸近線作圖，強調工程應用的簡化計算！！Nyquist圖：頻域性能指標特別強調：大學思維再加：高中知識（主要是復數的模與幅角的知識）65.1頻率特性1.頻率響應線性定常系統對正弦(諧波)輸入的穩態響應，稱為頻率響應。一、頻率響應與頻率特性這里強調：系統為線性定常系統，且是穩定的，輸入為正弦（諧波）信號（那么，余弦信號輸入是否可以？）7其中：—幅頻特性，穩態輸出與輸入的幅值比—相頻特性，穩態輸出與輸入的相位差—頻率特性，是幅頻特性與相頻特性的總稱2.頻率特性8由以上表達可知，頻率特性本質上是個以為自變量的復變函數，其模與幅角的表達就是頻率特性的幅值（幅頻特性）與相位（相頻特性）

系統的頻率特性亦可表示為由于也可以寫成實部和虛部之和，即實頻特性虛頻特性關于相位的符號：相位逆時針為正，順時針為負；相位超前為正，相位滯后為負。對實際的物理系統，相位一般都是滯后的。9例5-1設系統傳遞函數為

當輸入信號為時，求其穩態響應。解：系統的頻率特性為

系統的穩態輸出為

其中

所以系統的穩態響應為10頻率響應只是時間響應的一個特例。當諧波頻率不同時，其輸出的幅值與相位也不同。進行拉氏反變換，可得響應為若要求其輸出，則由指數衰減項諧波振蕩項

11二、頻率特性的含義與特點1.頻率特性的含義將系統的傳遞函數G(s)中的s換為jω，即為系統的頻率特性。即系統的頻率特性為系統單位脈沖響應的傅里葉變換。12即系統的頻率特性為系統穩態輸出與輸入的傅里葉變換之比。頻率特性與輸出和輸入的關系：13求解觀察線性微分方程性能指標傳遞函數時間響應頻率響應拉氏變換拉氏反變換估算估算計算傅氏變換S=jω頻率特性至此，建立起時域分析與頻域分析以及各種數學模型之間的聯系：為獲取系統的動態特性，時域分析采用的方法是分析線性系統的過渡過程（瞬態響應）；而頻域分析采用的方法是分析不同的諧波輸入時系統的穩態響應。14采用頻域分析的主要優點：（1）在研究系統結構及參數的變化對系統性能的影響時，許多情況下，在頻域中分析要容易得多。特別是利用頻率特性可方便地判別系統的穩定性和穩定儲備量，參數選擇或系統校正，使系統盡可能達到預期的性能指標。根據頻率特性，易于確定系統頻率范圍。2.頻率特性分析的優點（2）若線性系統的階次較高，采用頻率特性分析比在時域中分析系統的性能要容易。（3）采用頻率特性分析法可設計出合適的通頻帶，以抑制系統中混入的噪聲干擾的影響。（4）對任意時間函數的輸入，只要滿足傅氏變換的條件，頻率特性分析方法都是適用的。15實際系統存在的非線性使得頻率特性分析會產生誤差難應用于時變系統和MIMO系統難以在線識別頻率特性分析的缺點16對于機械系統而言，頻率特性反映了系統機械阻抗的特性。三、機械系統動剛度的概念如圖所示質量—彈簧—阻尼構成的機械系統：

其傳遞函數為：

17與虎克定律相似

所以

動剛度

而

動柔度

當時，

即該機械系統的靜剛度。

其頻率特性為：

18當時，動剛度幅值為：

令，可得：

稱作系統的諧振頻率。

此時系統的最小動剛度幅值：當時，19工程應用-動態吸振器彈簧吸振器簡化模型如圖5-6所示。若質量受到干擾力，如何選擇吸振器參數，使質量產生的振幅為最小。解：建立系統微分方程為：求得位移x1與輸入力之間的傳遞函數為：20動態吸振器該吸振器按輸入干擾力的頻率確定參數，若輸入干擾力頻率發生變化，其減振作用將會減弱。若要使，須動剛度為：而在車內螺紋時車刀柄過長，一次性加工會出現抖動情況，如果在刀柄內加個重力塊能減輕震動，這靠譜嗎？

21動態吸振器應用實例-減振刀柄這個減振刀柄是一個被動動態減振系統，內置預調過的重金屬阻尼單元，由彈性原件支撐在刀柄的腔體內。選用密度最高的物質做成阻尼體，這樣可以在有限的空間內達到最大的質量。22阻尼體的位置在設計時必須盡可能靠近刀柄前端，這樣可以最大化阻尼效果。而阻尼體也必須經過預調，以使其自身頻率與整個刀柄的頻率一致。在實際加工過程中，刀柄前端刀具發生的振動變形在第一時間被阻尼體抵消，不會沿著刀柄向后傳遞，從而減少了整個刀柄的振動變形。

刀柄內的結構通過下面這個視頻就能一目了然：23其它例子：磁共振儀（MRI：MagneticResonanceImaging）梯度線圈的被動式動態吸振24四.頻率特性的作圖表示方法

Bode圖（對數坐標圖，logarithmicplot）Nyquist圖（極坐標圖,NyquistPlot）Nichols圖（對數幅-相圖,NicholsPlot）重點要求學會Bode圖和Nyquist圖的作圖方法，特別是其工程計算（簡化計算），對Nichols圖不作要求。25

1.對數坐標圖5.2

頻率特性的對數坐標圖由對數幅頻圖和對數相頻圖組成:

橫坐標：表示輸入信號的頻率，取對數分度縱坐標：表示對數幅值和相位差26橫坐標的分度所以，橫坐標采用對數分度，對低頻段的頻率特性表達比較充分！倍頻：oct

十倍頻：dec

lg1lg10027用Bode圖表示頻率特性的優點幅值采用對數形式，可將串聯環節幅值的乘、除，化為幅值的加、減，因而簡化了計算與作圖過程。可用漸近線近似的方法作圖，在進行控制系統設計、校正和辨識時，特別方便。橫坐標采用對數分度，有效地擴展了低頻段（工程上較為關心）的范圍。28（1）比例環節2.典型環節的Bode圖29（2）積分環節當時，即：積分環節的對數幅頻圖是過（1,0）點斜率是-20dB/dec的直線，相頻特性為一條-90度線。兩個積分環節時？30（3）微分環節當時，即：微分環節的對數幅頻圖是過（1,0）點斜率是20dB/dec的直線，相頻特性為一條90度線。兩個微分環節時？31（4）慣性環節在低頻段誤差

在高頻段誤差3233（5）一階微分環節即一階微分環節的對數幅頻與相頻圖分別與慣性環節的對數幅頻和相頻圖關于0dB線和0度線對稱。

34（6）振蕩環節35在低頻段誤差在高頻段誤差36振蕩環節的bode圖37振蕩環節對數幅頻特性的誤差圖38（7）二階微分環節二階微分環節的對數幅頻與相頻圖分別與振蕩環節的對數幅頻和相頻圖關于0dB線和0度線對稱。

39（8）延時環節40（1）將系統傳遞函數轉化為若干個標準形式的環節的傳遞函數的乘積形式，并求出頻率特性。（2）確定各典型環節的轉角頻率、固有頻率以及阻尼比等參數，并將各典型環節按照轉折頻率從小到大排序。（3）將橫坐標按照對數進行分度，將個典型環節按序以漸近線的方式繪制和疊加，畫出整個系統的對數幅頻曲線。（4）將得到的對數幅頻漸近線，根據阻尼比對其進行修正。（5）按照相頻特性表達式將整個系統的相頻曲線畫出，注意關鍵點。（6）當有延時環節時，對數幅頻特性不變，對數相頻特性則應加上-τω/π*180

。3.繪制系統Bode圖的步驟與實例對于Bode圖，要學會漸近線作圖與近似估計計算！41例(1)比例(2)積分(3)振蕩環節：固有頻率與阻尼比(4)慣性環節：轉折頻率(5)一階微分：轉折頻率過42對數幅頻特性的漸近畫法43%程序：畫伯德圖clear;closeall;clc;Num1=[10,3];Den1=[1,3,4,4,0];Gs1=tf（Num1,Den1）;figure（1）;bode（Gs1）;%伯德圖gridon;用MATLAB畫Bode圖程序

44用MATLAB所畫的Bode圖如下

45②慣性環節③一階微分環節④慣性環節①比例環節46s/rad)(Lww0.1110dB5100.01-20dB/dec-5-109.541000.4240-20dB/dec-4.4其對數幅頻特性的漸近畫法用MATLAB所畫的Bode圖如下

0.4240484.系統類型與系統對數幅頻特性圖之間的關系系統開環傳遞函數為：

開環頻率特性

=K

=K

=K

當時，

當時，

當時，

當時，

49（1）靜態位置誤差系數

對于0型系統，其對數幅頻曲線在低頻段即時，其對數幅值為：即0型系統的低頻漸近線是分貝的水平線。

當時，

50（2）靜態速度誤差系數

對于I型系統即其對數幅頻曲線在低頻段是一條斜率為-20dB/dec的線段當時，

51（3）靜態加速度誤差系數

對于II型系統即其對數幅頻曲線在低頻段是一條斜率為-40dB/dec的線段當時，

525.3

頻率特性的極坐標圖對于系統的頻率特性，以橫坐標表示其實部，以縱坐標表示其虛部。1.頻率特性的極坐標圖極坐標圖的特點：優點：在同一圖上表示了頻率特性的幅值和相位；缺點：若數個環節串聯，則其幅值相乘除，相角相加減。即當時，變化的規律。極坐標圖對于系統的穩定性分析和校正極為重要。53

2.典型環節的Nyquist圖（1）比例環節54（2）積分環節55（3）微分環節56（4）慣性環節57（5）一階微分環節58（6）振蕩環節59（6）振蕩環節60（7）二階微分環節61（8）延時環節

62

3.Nyquist圖的一般畫法例163例264例365總結：對于一般形式的系統頻率特性其乃奎斯特圖具有以下特點：當時，乃奎斯特圖的起始點取決于系統的型次：0型系統，起始于正實軸上某一有限點（相位角為0o）；

Ⅰ型系統，起始于相位角為-90o的無窮遠處，其漸近線為一平行于虛軸的直線；Ⅱ型系統，起始于相位角為-180o的無窮遠處。66②當時，若n>m，乃奎斯特圖以順時針方向收斂于原點，即幅值為零，相位角與分母和分子的階次之差有關，即③當G（s）含有零點時，其頻率特性的相位將不隨增大而單調減，Nyquist圖會產生“變形”或“彎曲”，具體畫法與各環節的時間常數有關。67例4

4.傳遞函數有零點時Nyquist圖的畫法68用Matlab繪制的Nyquist圖：69例5例6705.5最小相位系統1.最小相位系統(mimimum-phasesystem)對于閉環系統，若其開環傳遞函數的所有零點和極點均在s平面的左半平面時,則該系統稱為最小相位系統。對于最小相位系統而言，當頻率從零變化到無窮大時，相位角的變化范圍最小，即

當時，其相位角為712.非最小相位系統延時環節不穩定的一階微分環節和二階微分環節不穩定的慣性環節、振蕩環節若系統開環傳遞函數有零點或極點在s平面的右半平面時,則該系統稱為非最小相位系統。幅頻特性相同的系統中，最小相位系統的相位變化最小。幅頻特性確定后，其對應的最小相位系統是唯一的。（2）產生非最小相位的一些環節（1）定義72例5-10有三個不同的開環傳遞函數試判斷它們是否為最小相位系統，分別畫出它們的伯德圖，并比較其相頻特性。解：三個系統零、極點的分布圖見圖5-39。73它們中只有對應的系統為最小相位系統，和為非最小相位系統。它們的伯德圖中幅頻特性相同，相頻特性不同，分別為74三個系統的幅頻與相頻特性如下圖75例T1＝10T276(1)對應最小相位系統，根據開環頻率特性L(ω)能唯一確定系統的開環傳遞函數—系統辨識問題。例5-11由實驗得到的最小相位系統對數幅頻曲線如圖5-42所示，試估計它們的傳遞函數。3.最小相位系統的應用7778(2)對于最小相位系統，其幅頻特性和相頻特性一一對應，某頻率段的相角主要由該頻率段的幅頻特性斜率所決定，也受相鄰頻段的影響。－20dB/dec————－900－40dB/dec————－1800－60dB/dec————－2700要使系統穩定，并有足夠的穩定裕量，應使L(ω)以－20dB/dec斜率穿越0dB線，并保持ωc前后有一定寬度(10倍頻程)。79以－20dB/dec斜率穿越0dB線，系統穩定。以－40dB/dec斜率穿越0dB線，系統可能穩定。以－60dB/dec斜率穿越0dB線，系統一般不穩定。805.6閉環頻率特性與頻域性能指標1.開環頻率特性與閉環頻率特性的關系

*在頻域對系統性能進行分析有兩種思路：（1）對閉環頻率特性分析（直接）；（2）由開環頻率特性分析估計閉環性能（間接）。（1）諧振頻率(resonantfrequency)和諧振峰值

812.閉環頻域性能指標頻域性能指標是根據閉環控制系統的性能要求制定的。根據閉環頻率特性定義的性能指標有：

將閉環頻率特性的幅值用表示。

(resonantpeakmagnitude)82通常，一個系統的大小表征了系統相對穩定性的好壞。一般來說，值愈大，則該系統瞬態響應的超調量也大，表明系統的阻尼小，相對穩定性差。對于圖5-46所示二階系統，

83當時，，，系統產生共振。

對于機械系統，通常要求

84（2）截止頻率與頻寬（帶寬）

帶寬(bandwidth)越大，響應的快速性越好，即過渡過程時間越短。截止頻率(cutofffrequency)是指系統閉環頻率特性的對數幅值下降到其零頻率幅值以下3dB時的頻率，即85一階系統的截止頻率

二階系統的截止頻率

86例5-12

已知單位反饋系統的開環傳遞函數為求出該系統的

解：系統的閉環傳遞函數為

所以

87注意，對于該例題閉環增益不等于1，而是50／5l，應用式（5-39）計算的，實際上是相對諧振幅值，即88例5-13

由實驗得到的某最小相位系統對數幅頻曲線如圖5-49所示，試估計其傳遞函數。解：系統為0型系統，由比例環節和振蕩環節組成。其傳遞函數形式為89所以，系統的傳遞函數為

90本章總結一、基本概念1.頻率特性定義及物理意義2.Bode圖（漸近線作圖，轉折頻率）3.Nyquist圖（特殊點及其基本計算）4.頻域性能指標（在閉環頻率特性上定義）二、基本計算與分析1.頻率特性定義及性能指標計算*注意要求對于頻率輸入信號的穩態輸出要由閉環頻率特性求！2.Bode圖：*強調漸近線作圖與轉折頻率*化成標準式問題*由漸近線估算系統傳遞函數和一些特殊值！915.1（3），5.2（4）（5）（6）（10），5.3（2）（4）（6）（9）（10），5.4（1）（3），5.7（1）（3），5.9

,5.11（b）（d）（f）二、基本計算與分析3.Nyquist圖*特殊點及其基本計算*∠G(jω)對形狀的影響*中間位置決定于參數間關系本章作業：FundamentalsofMechanicalControlTheory機械控制理論

基礎StabilityAnalysisofControlSystems控制系統的穩定性CHAPTER693本章主要內容(MainContents)穩定性概念與判穩準則

(DefinitionofStability)勞斯-胡爾維茨穩定性判據(Routh-HurwitzCriterion)乃奎斯特穩定性判據

(NyquistCriterion)系統的相對穩定性(RelativeStabilityofsystems)*根軌跡法(RootLocusMethod)本章總結941.穩定性的概念6.1穩定性概念與判穩準則系統在受到外界干擾作用時，其被控制量將偏離平衡位置，當這個干擾作用去除后，若系統在足夠長的時間內能夠恢復到其原來的平衡狀態或者趨于一個給定的新的平衡狀態，則該系統是穩定的。反之，則系統是不穩定的。95（a）穩定（b）臨界（c）不穩定96線性系統穩定與否，取決于系統內部條件，而與輸入或擾動無關。（非線性系統的穩定性是與輸入有關的）控制理論所討論的穩定性其實都是指自由振蕩下（即輸入為零，而初始狀態不為零時）的穩定性。初始條件不為零時引起的初始輸出不為零初始條件為零時，對系統施加瞬間干擾，即輸入單位脈沖函數。注意：這里所講的“外界擾動作用”可以分為兩種情況：穩定性的例子：戰斗機，麥克風，海灣大橋，單足與雙足機器人，倒立擺，Segway等等972.判斷穩定性的基本準則對于n階定常線性系統，其微分方程為進行拉氏變換后整理得：其中為系統的傳遞函數再進行拉氏反變換后得到：98穩定性就是研究初始狀態下的輸出情況。上式右邊的第一項即系統在初始狀態下的輸出。當特征方程的根各不相同時，系統的輸出為

若系統的特征方程的根實部均為負值，即Re[si]<0，則零輸入響應最終將衰減為零。這樣系統就是穩定的。由此可見：系統傳遞函數的零點（即其輸入項參數）對系統的穩定性無影響。

99若對線性系統在初始狀態為零時輸入單位脈沖函數，單位脈沖響應的形式與零輸入響應形式相同。綜上所述，系統穩定的充要條件：系統的全部特征根都具有負實部。即系統閉環傳遞函數的全部極點均位于[s]平面的左半平面，則系統穩定。這是判斷系統穩定性的基本準則。隨著時間t趨于無窮，當單位脈沖響應趨于零時，則系統穩定。

100[s]平面的劃分：（1）特征根在復平面的左半平面（包含原點），系統對于干擾的響應為衰減振蕩；（2）特征根在虛軸上，系統對于干擾的響應為等幅振蕩；（3）特征根在復平面的右半平面，系統對于干擾的響應為擴散振蕩。思考：當系統有一個、兩個特征根在原點時，系統的穩定性？1016.2Routh（勞斯）穩定性判據1.系統穩定的必要條件如上一節所述，線性定常系統的穩定性分析，本質上就是確定其特征方程的根在復平面上的位置分布。它可以采用直接對特征方程求解的形式，但這并不是在任何情況下都容易做到的。Routh和Hurwitz判據就是采用間接方法確定特征方程根的，它們都是利用特征方程系數之間的代數關系來實現對特征根位置分布的判斷，因而屬于代數判據。下面重點講述Routh判據。該判據由英國科學家E.J.Routh在1877年提出。102103要使全部特征根均具有負實部，必須滿足兩個條件，即必要條件：

1）特征方程的各項系數ai（a0除外）都不為零。因為若有一系數為零，則必出現實部為零的特征根或實部有正有負的特征根，此時系統為臨界穩定或不穩定。

2）特征方程的各項系數ai的符號都相同。

1042.系統穩定的充要條件（1）Routh數列105（2）Routh穩定性判據因此，系統穩定的充要條件是：特征方程的系數全為正，且Routh數列中第一列各元素的符號均為正。若Routh數表中第一列各元不全為正，則其符號改變的次數等于系統特征方程具有正實部特征根（即不穩定特征根）的個數。例如：

沒有不穩定根（穩定）

有一個不穩定根（不穩定）

有兩個不穩定根（不穩定）106例1：(1)(2)(3)

（4）一項為負，不穩定缺項，不穩定滿足必要條件，可能穩定由于特征方程中有一系數為負，所以系統不穩定。Routh數列滿足充要條件，穩定107對于三階系統a3s3+a2s2+a1s+a0=0只要a1a2>a0a3

則系統穩定對于二階系統a2s2+a1s+a0=0所有系數全為正，系統

穩定。108例2：Routh數列：第一列中有兩次符號變化，系統有兩個極點在【s】平面的右半平面，不穩定。

109在Routh數表中某一行的第一個元為零，而其后各元均不為零或部分地不為零，可以用一個很小的正數ε來代替第一列等于零的元，然后計算Routh數表的其余各元。Routh數表的某一行中的所有元素均為零時，系統不穩定。可利用該行上一行的元素構成一個輔助方程，其解即系統的不穩定特征根。3.應用Routh判據的兩種特殊情況110特殊情況:（1）Routh數表第一列出現零元素例3系統不穩定。第一列元素兩次變號，有兩個不穩定根。111特殊情況

（2）Routh數表中某一行全為零例4輔助方程某一行全為零，說明存在對稱于原點的根。系統不穩定例5112Routh判據的應用：確定穩定的參數范圍解：閉環特征方程為例5：已知單位反饋系統的開環傳遞函數為試確定系統閉環穩定的K的取值范圍。113Routh數列：S3T1T21S2T1+T2KS10S0K0為閉環穩定的條件114例6：已知ξ=0.2，ωn=86.6，試確定K取何值時，系統方能穩定。115解：系統的開環傳遞函數為系統的閉環傳遞函數為特征方程為由穩定的充要條件可知：0<K<34.6

116例7系統的特征方程

由系統穩定的充要條件可知：

117Hurwitz判據（1895年，德國數學家）系統穩定的充要條件：系統特征方程：①特征方程的系數全為正②Hurwitz行列式全為正，即該方法對六階以上系統很少使用。1186.3Nyquist穩定性判據Nyquist穩定性判據由美籍瑞典人H.Nyquist于1932年提出，在1940年以后得到了廣泛的應用。它奠定了頻率法控制理論的基礎，屬于幾何判據。Routh判據：利用特征方程系數之間的代數關系判斷系統的穩定性，是代數判據。可以判斷系統穩定與否，給出不穩定的特征根的個數，但不能給出穩定或不穩定程度的判斷；Nyquist判據：利用開環頻率特性的Nyquist圖來判斷閉環系統的穩定性，是幾何判據。不但能判斷閉環系統穩定與否，給出不穩定的特征根的個數，而且能判斷穩定或不穩定的程度，并從中找出改善系統性能的途徑。與Routh判據的比較：119一、基本原理閉環系統穩定閉環特征方程的根全部位于[s]平面的左半平面。判斷穩定性的基本準則：閉環特征方程為：120設系統的開環傳遞函數為：閉環特征函數為：系統的閉環傳遞函數121（1）A(s)的零點z1,z2…,zn，即為系統閉環傳遞函數GB(s)的極點，亦即系統特征方程的根；（2）A(s)的極點p1,p2…,pn，即為系統開環傳遞函數GK(s)的極點；

（3）A(s)的零點個數與其極點個數相同。則閉環特征函數可表示為：

1221.閉環特征方程、閉環傳遞函數、閉環特征函數以及開環傳遞函數的關系為：

線性定常系統穩定的充要條件：其閉環特征方程1+G(s)H(s)=0的根全部具有負實部，即GB(s)在[s]平面的右半平面沒有極點，亦即A(s)在[s]平面的右半平面沒有零點。

1232.幅角原理（Cauchy’sTheorem）

對于復變函數設其n個零點（即閉環特征方程的根）與n個極點（即開環傳遞函數的極點）均已知，它們在[s]平面上的分布如圖6-5所示。圖中用“○”表示零點，“×”表示極點。

圖6-5[s]平面與A(s)平面的映射關系

124A(s)在[A(s)]平面上（除有限個奇異點外）為單值的連續正則函數。[s]平面上解析點s映射到[A(s)]平面上為點A(s)，或為從原點指向此映射點的向量A(s)。[s]平面上任意選定一封閉曲線，只要此曲線不經過A(s)的奇點，則在[A(s)]平面上必有一對應的映射曲線，也是一封閉曲線。當解析點s按順時針方向沿變化一周時，向量A(s)將按逆時針方向旋轉N周，即A(s)以原點為中心逆時針旋轉N周，這就等于曲線逆時針包圍原點N次。125假設包圍于內的A(s)的零點數為z，包圍于

內的A(s)的極點數為p，則當s沿順時針方向移動一周時，每個被包圍于的向量(s-zi)與（s-pj）的相位角變化-2π弧度，而其他各向量的相位角變化為零。即向量A(s)的相位角變化為-2π（z-p)，或者說A(s)在[A(s)]平面上沿繞原點順時針轉了（z-p）周。

兩邊同除以，得

所以126即將擴展為一條包圍整個[s]右半平面的封閉曲線，而[A(s)]

平面通過坐標平移后可轉換為GH平面，如下圖。即因此，為閉環特征方程在[s]右半平面的特征根的個數；為開環傳遞函數在[s]右半平面的極點的個數；為在GH平面上的開環頻率特性逆時針包圍（-1,j0）的圈數。1273.Nyquist穩定性判據由于閉環系統穩定的充要條件是A(s)（或1+G(s)H(s)=0）在[s]平面的右半平面沒有零點（或特征根），即所以Nyquist穩定判據為：當ω由-∞到+∞變化時，若[GH]平面上的開環頻率特性G(jω)H(jω)逆時針方向包圍（-1，j0）點P圈，則閉環系統穩定。p為G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的極點數。對于開環穩定的系統，有p=0，此時閉環系統穩定的充要條件是：系統的開環頻率特性G(jω)H(jω)的乃奎斯特圖不包含（-1，j0）點，即N=0。

1284.關于Nyquist判據的幾點說明Nyquist判據并不是在[s]平面而是在[GH]平面判別閉環系統的穩定性，即根據G(jω)H(jω)軌跡包圍（-1，j0）點的情況來判別閉環系統的穩定性。Nyquist判據的證明復雜，但應用簡單。在p=0，即GK(s)在[s]平面的右半平面無極點時，習慣稱為開環穩定。否則開環不穩定。開環不穩定，閉環仍可能穩定；開環穩定，閉環也可能不穩定。在整個實數域內開環Nyquist軌跡對實軸是對稱的，因為當-ω變為+ω時，G(-jω)H(-jω)與G(jω)H(jω)的模相同，而相位異號。129例8：0型系統二、Nyquist判據的應用130例9：I型系統131例10：II型系統132例11：判斷圖示閉環系統的穩定性。133積分環節數=1在無窮遠處順時針繞半圈；

=2在無窮遠處順時針繞一圈；

=3在無窮遠處順時針繞一圈半。×Nyquist判據：是在已知開環極點在[s]右半平面的個數p和積分環節個數（這意味著必須已知系統傳遞函數）以及Nyquist圖繞(-1,j0)點圈數N的情況下，求閉環特征根在[s]右半平面的個數z。小結：1346.4系統的相對穩定性相對穩定性，是對穩定或不穩定的程度的衡量——以穩定裕量表示。幅值穿越頻率幅值裕量：相位裕量：相位穿越頻率135相位裕量幅值裕量系統穩定系統不穩定為負值系統穩定系統不穩定1362.Nyquist圖和Bode圖的對應關系Nyquist圖上的單位圓對應于Bode圖上的0分貝線確定幅值穿越頻率（剪切頻率）ωcNyquist圖上的負實軸相當于Bode圖上的-180°線確定相位穿越頻率ωg137穩定（ωg＞

ωc

）不穩定（ωg<ωc

）138例12低頻轉折頻率139關于相位裕量和幅值裕量的幾點說明：①上述定義是對最小相位系統而言，對非最小相位系統不適用。②衡量一個系統的相對穩定性，必須同時用相位裕量和幅值裕量這兩個指標。③適當地選擇相位裕量和幅值裕量，可以防止系統中參數變化導致系統不穩定的現象。一般取。④對于最小相位系統，開環的幅頻特性和相頻特性有一定的關系，要求系統具有30°～60°的相位裕量，因此在ωc

處應以－20dB/dec斜率穿越為好，因為斜率為－20dB/dec穿越時，對應的相位角在-90°左右。考慮到還有其它因素的影響，就能滿足γ

=30°～60°。⑤一階和二階系統，理論上不可能不穩定。但是實際上其數學模型是在忽略了一些次要因素之后建立的，當系統參數變化時，比如開環增益太大，這些系統仍有可能不穩定。140例13:1416.5

根軌跡方法分析系統性能（TheRootLocusMethod）判斷控制系統穩定與否的根本出發點是判斷閉環特征方程的根在S平面上的位置分布。對于圖示閉環控制系統閉環特征方程為：設系統的開環傳遞函數為：開環增益142當系統的開環增益K=0~∞或根軌跡增益K*=0~∞變化時，1+G(s)H(s)=0的根在s平面上的移動軌跡，即為根軌跡（RootLocus）。根軌跡方法由伊凡思（W.R.Evans）在1948年提出。該方法對于控制系統的設計很有用也很方便。它指明了開環零、極點及開環增益或根軌跡增益變化時，閉環極點的變化情況，從而指明了如何調整開環零、極點及增益大小來滿足閉環系統響應所要求的性能指標，可以用于系統的分析與綜合。6.5

根軌跡法分析系統性能根軌跡增益系統的開環傳遞函數也可以寫為：開環增益與根軌跡增益關系：開環增益143[引例1]

如圖所示的監控攝像頭跟蹤系統，跟蹤系統可以監控像素變化并驅動攝像頭定位到變化后的場景中心，其跟蹤控制系統的方框圖如圖b，圖c為閉環系統傳遞函數。下面討論閉環極點（即閉環特征根）在復平面上的位置隨著K值（即根軌跡增益）改變而變化的情況

開環傳遞函數：閉環傳遞函數：

144其閉環特征方程：的解為

當K取不同值時的閉環特征根如下表所示，其在復平面的位置如右下圖示145將K取不同值時的閉環特征根變化軌跡連起來形成的根軌跡如下圖：當K=0時，根軌跡分別起始于0，-10，此時系統為過阻尼情況；當K=25時，根軌跡在-5，此時系統為臨界阻尼情況；當K>25時，根軌跡從實軸的-5處分別垂直向上和向下走，此時系統為欠阻尼情況從根軌跡的變化可以得到結論：無論K如何變化，該二階系統總是穩定的，但瞬態性能有變化，其變化規律？146由根軌跡定義，根軌跡上的每一點都滿足方程：1.

基本原理（BasicPrinciple）或即幅值條件只要同時滿足幅值條件和相位條件的s值就是閉環特征方程的根，也即閉環極點相位條件（6-38）

（6-39）

（6-40）

（6-41）

147根軌跡的起點和終點根軌跡的分支數實軸上的根軌跡段根軌跡的漸近線根軌跡的分離點和會合點根軌跡在無窮遠處的狀態根軌跡離開復極點或進入復零點時的出射角或入射角根軌跡穿過虛軸的點繪制根軌跡時，并不需要在s平面上找很多點描繪其精確曲線，而是根據根軌跡的一些特征進行近似作圖。這些特征包括：下面我們根據開環傳遞函數的零、極點和閉環特征方程的根之間的關系，給出反映以上特征的根軌跡作圖法則。2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）148法則1.根軌跡對稱于實軸。這一點很容易理解，因為閉環極點若為實數，則必定位于實軸上；若為復數，則一定是以共軛復數成對出現，所以根軌跡必然對稱于實軸。法則2.根軌跡起始于開環極點（起始點對應于K或K*＝0），終止于開環零點（終止點對應于K或K*＝∞）。若開環零點數m少于開環極點數n，則有（n-m)條根軌跡終止于無窮遠處。法則3.根軌跡的分支數等于閉環極點數n（亦即開環極點數，系統階數）。這可以由根軌跡的幅值條件來證明：當時，只有令s取p1，p2，…，pn的值才能滿足；當時，只有令s取z1，z2，…，zm的值才能滿足。2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）149例1：例2：如何判斷s平面上某點是否在根軌跡上？例如s=-2±j3150法則4.實軸上根軌跡區段右側的開環零、極點的總數應為奇數。此結論可用相位條件來說明。

由于復數零點和復數極點均為共軛的，因此它們與s點形成的矢量的相位角大小相等，符號相反，對相位沒有影響。而位于s點左側的零、極點到s點的矢量，其相位角總是為零，只有位于s點右側的零、極點到s點的矢量，其相位角才是-π，因此根據相位條件，只有當實軸上根軌跡區段右側的開環零、極點總數為奇數時，才能符合根軌跡的相位條件。2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）151例6-16已知開環傳遞函數，請畫出K*從0～∞變化時的根軌跡。

解：系統有三個開環極點：兩個開環零點：152法則5.當K或K*→∞時，有（n-m）條根軌跡趨于無窮遠處，這些根軌跡的漸近線和實軸正方向的夾角α稱為漸近角，并且（6-44）

其中k依次取0，±1，±2，…直到獲得（n-m）個夾角為止。而根軌跡漸近線與實軸的交點位于開環零、極點的重心處，由下式決定：（6-45）

2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）證明略

153法則6.根軌跡的分離點和會合點的坐標若用d表示，則其值可由下式給出

①式（6-49）同樣適用于系統的開環零、極點為復數的情況；②當開環無零點時，則式（6-49）中③由式（6-49）解出的值，并非都是根軌跡上的點，因此必須舍棄不在根軌跡上的值；④由于根軌跡的共軛對稱性，根軌跡的分離點和會合點或位于實軸上，或為共軛復數對。（6-49）2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）說明：154如果根軌跡位于相鄰的開環極點之間，則在這兩個極點之間至少存在一個分離點。如果根軌跡位于實軸上兩個相鄰的零點（其中一個零點可以位于）之間，則在這兩個相鄰的零點之間至少存在一個會合點。如果根軌跡位于實軸上一個開環極點與一個開環零點（有限零點或無限零點）之間，則在這兩個相鄰的極、零點之間，或者既不存在分離點也不存在會合點，或者既存在分離點又存在會合點。155例3：漸近角度：漸近線與實軸交點：與實軸分離點：如何求根軌跡與虛軸交點？156法則7.根軌跡自復數極點的pi

出射角（即根軌跡在復數極點處的切線與正實軸的夾角）為根軌跡進入復數零點的入射角（即根軌跡在復數零點處的切線與正實軸的夾角）為（6-55）的向量與正實軸的夾角。

（6-54）式中分別是開環零點、開環極點到所考慮點和2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）推論：根軌跡離開實軸或進入實軸時的出射角或入射角為157例6-18

已知系統開環傳遞函數畫其根軌跡圖，并分析閉環系統的穩定性。解：①確定開環零、極點。開環傳遞函數有：2個極點一個零點②確定實軸上的根軌跡③確定離開復極點的根軌跡出射角④確定根軌跡進入實軸的匯合點%-----Root-locusPlotofG(s)=K*(s+1)/(s2+2s+3)------num=[012];den=[123];rlocus（num,den）v=[-66-66];axis(v);axis('square‘)gridtitle（'Root-locusPlotofG(s)=K*(s+1)/(s^2+2s+3）')159法則8.當根軌跡在s平面的左半平面時，閉環系統穩定，否則不穩定。若根軌跡與虛軸相交，系統處于臨界穩定狀態，其交點處的根（即閉環特征方程的純虛根）與開環增益K或根軌跡增益K*可由勞斯穩定性判據或將代入特征方程分別令實部和虛部等于零求得（為什么？）。2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）例6-17已知控制系統的開環傳遞函數為畫K*變化時的根軌跡，并求出根軌跡與虛軸的交點。開環傳遞函數有：4個極點，一個零點，兩種求與虛軸交點和K*的方法160求其與虛軸交點：方法1寫出其勞斯數列閉環特征方程解得K*＝160，代入s2行組成的輔助方程，有由第一列中s1項系數等于零，得：解得。161求其與虛軸交點：方法2將s=jω代入特征方程得閉環特征方程解得可以得到：分別令其實部和虛部為零，得K*＝160162例6-18已知控制系統的開環傳遞函數為（1）畫K*變化時的根軌跡，（2）求出根軌跡上阻尼比為0.45的點，及其與虛軸的交點。解：系統有2個開環極點，2個開環零點的意義根軌跡與虛軸交點的意義分離點、入射角的計算163對如圖所示系統，以開環極點p1為參數，如何獲得關于p1變化的根軌跡？此例中開環傳遞函數為寫出其閉環傳遞函數即將其開環傳遞函數改變為然后做其根軌跡如圖：1643．利用MATL