第第頁7.2三角函數概念課程標準學習目標（1）通過對任意角的三角函數定義的理解，掌握終邊相同的角的同一三角函數值相等．（2）能通過三角函數的定義推導出同角三角函數的基本關系式，提升邏輯推理素養.（3）借助單位圓中三角函數的定義推導出六組誘導公式，提升直觀想象和數學抽象素養.（1）通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數定義，了解三角函數是以實數為自變量的函數.（2）借助任意角三角函數的定義理解并掌握正弦、余弦、正切函數值在各象限內的符號.（3）根據三角函數的定義推導同角三角函數的基本關系式；（4）理解誘導公式的推導過程.知識點01三角函數定義設是一個任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識點詮釋：（1）三角函數的值與點在終邊上的位置無關，僅與角的大小有關．我們只需計算點到原點的距離，那么，，．（2）三角函數符號是一個整體，離開的、、等是沒有意義的，它們表示的是一個比值，而不是、、與的積．【即學即練1】（2023·四川達州·高一四川省萬源中學校考階段練習）若角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則點到原點的距離為，則.故選：D.知識點02三角函數在各象限的符號三角函數在各象限的符號：在記憶上述三角函數值在各象限的符號時，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識點詮釋：口訣的含義是在第一象限各三角函數值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．【即學即練2】（2023·高一課時練習）已知是第二象限角，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵θ是第二象限角，∴,∴∴是第一或第三象限角，可得.故選：C.知識點03單位圓中的三角函數線圓心在原點，半徑等于1的圓為單位圓．設角的頂點在圓心，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓于，過作垂直軸于，作垂直軸于點．以為原點建立軸與軸同向，與的終邊（或其反向延長線）相交于點（或），則有向線段、、（或）分別叫作的余弦線、正弦線、正切線，統稱為三角函數線．有向線段：既有大小又有方向的線段．知識點詮釋：三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸的正方向的交點的切線上；三條有向線段中兩條在單位圓內，一條在單位圓外．【即學即練3】（2023·高一校考課時練習）利用三角函數線比較大小(1)與；(2)與；(3)與.【解析】（1）與對應的三角函數線分別為有向線段如下圖所示：故，（2）與對應的三角函數線分別為有向線段由圖可得：．（3）與對應的三角函數線分別為有向線段所以知識點04同角三角函數的基本關系式（1）平方關系：（2）商數關系：知識點詮釋：（1）這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個角（使得函數有意義的前提下）關系式都成立；（2）是的簡寫；（3）在應用平方關系時，常用到平方根，算術平方根和絕對值的概念，應注意“”的選取．【即學即練4】（2023·新疆和田·高一校考階段練習）已知是第四象限角，且，那么tanθ的值為【答案】/【解析】由是第四象限角，則，.故答案為：.知識點05誘導公式誘導公式一：，，，其中誘導公式二：，，，其中誘導公式三：，，，其中誘導公式四：，．，，其中知識點詮釋：（1）要化的角的形式為（為常整數）；（2）記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”；（3）必須對一些特殊角的三角函數值熟記，做到“見角知值，見值知角”；（4）；．【即學即練5】（2023·北京·高一北京市十一學校校考期末）已知，且，化簡并求的值.【解析】因為，且，則，所以，，故.題型一：三角函數的定義例1．（2023·高一課時練習）已知角的終邊上一點的坐標為，則角的最小正值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為角終邊上一點的坐標為，所以有，因為，所以角是第四象限角，所以角的最小正值為，故選：D例2．（2023·四川眉山·高一校考期中）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，由三角函數的定義可知，點為角的終邊與單位圓的交點，所以：.故選：B.例3．（2023·貴州遵義·高一校聯考階段練習）已知角α的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】即，則故選：B變式1．（2023·江西撫州·高一統考期末）若角的終邊經過點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為角的終邊經過點，則，所以，所以.故選：A變式2．（2023·四川成都·高一統考期中）已知角以坐標系中為始邊，終邊與單位圓交于點，則下列各式正確的有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為角以坐標系中為始邊，終邊與單位圓交于點，所以，所以，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：C.變式3．（2023·江蘇鹽城·高一校聯考期末）已知角終邊經過點，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為角終邊經過點，所以，所以，解得.故選：C變式4．（2023·安徽蕪湖·高一校聯考期中）已知角的終邊過點，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為角的終邊過點，且，則，且，解得.故選：C.【方法技巧與總結】利用三角函數的定義求值的策略（1）已知角的終邊在直線上求的三角函數值時，常用的解題方法有以下兩種：方法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數的定義求出相應三角函數值．方法二：在的終邊上任選一點，P到原點的距離為（）．則，．已知的終邊求的三角函數值時，用這幾個公式更方便．（2）當角的終邊上點的坐標以參數形式給出時，要根據問題的實際情況對參數進行分類討論．（3）若終邊在直線上時，因為角的終邊是射線，應分兩種情況處理．題型二：判斷三角函數值的符號例4．（2023·北京海淀·高一北京市八一中學校考階段練習）已知，則函數的值可能是（

）A．1 B． C．4 D．【答案】B【解析】若為第一象限角，則，故，若為第二象限角，則，故，若為第三象限角，則，故，B正確；若為第四象限角，則，故.故選：B例5．（2023·全國·高一專題練習）若角的終邊過點，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵角的終邊過點，為第三象限角，∴，，，∴故選：C．例6．（2023·云南普洱·高一校考階段練習）的值為（

）A．負數 B．正數 C．0 D．不存在【答案】A【解析】因為，所以，，，所以，故選：A變式5．（2023·安徽六安·高一校考階段練習）若是第三象限角，則下列各式中不成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為是第三象限角，所以，所以，A正確；所以，B錯誤；所以，C正確；所以，D正確.故選：B.變式6．（2023·湖南·高一湖南省東安縣第一中學校聯考開學考試）若角的終邊過點，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為角的終邊過點，所以，即C正確；又，符號不確定，即A,B不正確；，符號不確定，即D不正確.故選：C.【方法技巧與總結】三角函數值在各象限內的符號也可以用下面的口訣記憶：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意為：第一象限各個三角函數均為正；第二象限只有正弦為正，其余兩個為負；第三象限正切為正，其余兩個為負；第四象限余弦為正，其余兩個為負．題型三：確定角所在象限例7．（2023·河南南陽·高一南陽中學校考階段練習）若，，則的終邊在（

）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限或在x軸的非負半軸上D．第二、四象限或在x軸上【答案】D【解析】因為，可得，則是第一、四象限或x軸正半軸，又因為，可得，則是二、四象限或x軸，所以是第四象限或x軸正半軸，所以，可得，令，可得，則在二象限或x軸負半軸；令，可得，則在四象限或x軸正半軸，綜上可得，的終邊在第二、四象限或在x軸上.故選：D.例8．（2023·甘肅武威·高一校考期中）若且，則為第（

）象限的角.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【解析】由三角函數的定義可知，時在第一、四象限；時在第二、四象限，所以且時，在第四象限.故選：D例9．（2023·山東·高一山東師范大學附中校考期中）已知，，則角的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由，，根據三角函數的符號與角的象限間的關系，可得角的終邊位于第四象限.故選：D.變式7．（2023·北京·高一北京市第九中學校考期中）在中，為鈍角，則點（

）A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限【答案】D【解析】因為中，為鈍角，所以為銳角，可得，，所以點在第四象限.故選：D．變式8．（2023·廣西河池·高一校聯考階段練習）已知點是第三象限的點，則的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】∵點是第三象限的點，∴，，由可得，的終邊位于第二象限或第三象限或x軸的非正半軸；由可得，的終邊位于第一象限或第三象限，綜上所述，的終邊位于第三象限．故選:C變式9．（2023·河南南陽·高一南陽中學校考階段練習）若，，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由可知角的終邊在第一象限或者第三象限，當角的終邊在第一象限時，，此時，不符合要求，當角的終邊在第三象限時，，此時，符合要求，所以角的終邊在第三象限，故選：C變式10．（2023·江西撫州·高一校聯考期中）已知是第四象限的點，則角的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因為是第四象限的點，所以，，所以角的終邊位于第二象限.故選：B【方法技巧與總結】確定角所在象限的步驟（1）判斷該角的某些三角函數值的符號；（2）根據角的三角函數值的符號，確定角所在象限．題型四：三角函數線的應用例10．（2023·全國·高一隨堂練習）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）作出單位圓，交角的終邊于，過作軸，交軸于，過點作軸平行線，交角的終邊于，如圖：則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；（2）作出單位圓，交角的終邊于，過作軸，交軸于，過點作軸平行線，交角的終邊于，如下圖：則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；（3）作出單位圓，交角的終邊于，過作軸，交軸于，過點作軸平行線，交角的終邊的反向延長線于，如下圖：則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；（4）作出單位圓，交角的終邊于，過作軸，交軸于，過點作軸平行線，交角的終邊的反向延長線于，如下圖：則角的正弦線為、余弦線為、正切線為．例11．（2023·全國·高一隨堂練習）利用單位圓，求適合下列條件的角α的集合．(1)；(2)．【解析】（1）如圖1，為直線與單位圓的兩個交點，可知，.設的終邊落在射線上，的終邊落在射線上，，根據三角函數的定義可知，，，，所以，，.又當的終邊落在射線或上時，有，所以，滿足條件的的集合為.（2）如圖2，為直線與單位圓的兩個交點，可知，.設的終邊落在射線上，的終邊落在射線上，，根據三角函數的定義可知，，，，所以，，.根據圖2可知，當，且時，有.所以，當時，由可得，.例12．（2023·高一課時練習）求的角的取值范圍.【解析】因為tan和tan都等于，利用三角函數的正切線（如圖）可知，角的終邊在圖中陰影部分（不包含y軸），將終邊所在的所有區域合并得，，即滿足的角的取值范圍為變式11．（2023·高一課時練習）利用三角函數線說明(1)當時，求證：；(2)若，則.【解析】（1）在直角坐標系中作出單位圓，的終邊與單位圓交于P，的正弦線、正切線為有向線段MP，AT，則，．因為，，，又所以，即．（2）如圖所示，設單位圓與角的終邊分別交于，作軸于，作軸于，作于C，連接，則，所以，即．變式12．（2023·高一課時練習）利用三角函數線，寫出滿足下列條件的角x的集合：(1)且；(2)．【解析】（1）分別作出三角函數線圖象如下所示：由圖（1）知當且時，角滿足的集合.（2）由圖（2）知：當時，角滿足的集合，即；所以的解集為.變式13．（2023·高一課時練習）在單位圓中，角，的正弦線分別為，，若，求，之間的等量關系．【解析】由三角函數的定義知：，又，∴，∴，∴或，，∴或，.變式14．（2023·高一課時練習）求函數的定義域．【解析】要使原函數有意義，有，即．如圖，在單位圓中由可知角x的終邊落在由OA，OB及劣弧AB圍成的區域內（不含邊界）．由可知角x的終邊落在由OC，OD及優弧CD圍成的區域內（含邊界），所以，所以原函數的定義域為．【方法技巧與總結】三角函數線是幾何圖形來表示數，即用幾何方法表示三角函數值，是數形結合的有利工具，因此在三角證明求值等問題中，常會有意想不到的作用．題型五：圓上的動點與旋轉點例13．（2023·湖南益陽·高一期末）在直角坐標系中，一個質點在半徑為2的圓O上，以圓O與x正半軸的交點為起點，沿逆時針方向勻速運動到P點，每轉一圈，則后的長為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，一個質點在圓O上每逆時針方向轉一圈，那么后，到達P點，所以，而在中，且為圓的半徑，取的中點T，如圖，則，所以，則，所以故選：C例14．（2023·全國·高一專題練習）點P從出發，沿單位圓按逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】點P從出發，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，所以點Q是角的終邊與單位圓的交點，所以Q，又角的終邊與的終邊是相同的，所以，，所以.故答案為：A例15．（2023·江西師大附中高一期末）在平面直角坐標系中，若點P從出發，沿圓心在原點，半徑為2的圓按逆時針方向運動弧長到達點Q，則點Q的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，作出半徑為的圓，由題意，，過作軸于點，則故選：B變式15．（2023·江西·模擬預測（文））已知單位圓上第一象限一點沿圓周逆時針旋轉到點，若點的橫坐標為，則點的橫坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由單位圓上第一象限一點沿圓周逆時針旋轉到點，點的橫坐標為，所以，即，所以，設點的橫坐標為，則.故選：B變式16．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，滾珠，同時從點出發沿圓形軌道勻速運動，滾珠按逆時針方向每秒鐘轉弧度，滾珠按順時針方向每秒鐘轉弧度，相遇后發生碰撞，各自按照原來的速度大小反向運動．(1)求滾珠，第一次相遇時所用的時間及相遇點的坐標；(2)求從出發到第二次相遇滾珠，各自滾動的路程．【解析】（1）設、第一次相遇時所用的時間是，則，（秒，即第一次相遇的時間為4秒．設第一次相遇點為，則，，點的坐標為，（2）第一次相遇時，點滾動的路程為，點滾動的路程為，故第二次相遇時，點滾動的路程為，點滾動的路程為．【方法技巧與總結】利用三角函數的定義求解題型六：已知某個三角函數值求其余的三角函數值例16．（2023·上海靜安·高三上海市市西中學校考開學考試）設為第二象限角，若，則.【答案】/【解析】為第二象限角，則，，若，則有，解得，所以.故答案為：.例17．（2023·新疆·高二統考學業考試）若，且為第二象限角，則．【答案】/【解析】因為，且為第二象限角，所以.故答案為：例18．（2023·北京昌平·高一北京市昌平區前鋒學校校考期中）已知，，則【答案】【解析】因為，可得，故答案為：.變式17．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯考開學考試）已知，為第三象限角，則的值為.【答案】【解析】由題意可得，，即，且為第三象限角，則，，所以.故答案為：.變式18．（2023·江蘇揚州·高一揚州大學附屬中學校考階段練習）已知，則.【答案】【解析】由結合條件可得，再由可得解.由，可得，所以，故答案為：.【方法技巧與總結】利用同角三角函數基本關系式求值的常用技巧：（1）巧用“1”進行變形，如等．（2）平方關系式需開方時，應慎重考慮符號的選取．題型七：已知的值，求關于、的齊次式的值問題例19．（2023·北京·高一北京市十一學校校考期末）已知，則.【答案】【解析】因為，則.故答案為：.例20．（2023·浙江寧波·高一統考期中）設為實數，滿足，則．【答案】/【解析】依題意，，所以.故答案為：例21．（2023·高一課時練習）若，則.【答案】【解析】，，解得：.故答案為：.變式19．（2023·江西南昌·高三南昌市外國語學校校考階段練習）若，則.【答案】【解析】，.故答案為：.變式20．（2023·上海嘉定·高一校考期中）已知，則的值等于；【答案】4【解析】．故答案為：4.變式21．（2023·高一單元測試）已知，則＝.【答案】【解析】因，則，又，則.故答案為：變式22．（2023·河北張家口·高一統考期中）已知，則．【答案】/【解析】由題知，即，∴，且，∴，故答案為：變式23．（2023·河南南陽·高一校聯考階段練習）已知，則．【答案】/【解析】.故答案為：變式24．（2023·上海普陀·高一曹楊二中校考期末）若，則．【答案】/0.4【解析】，解得，.故答案為：變式25．（2023·全國·模擬預測）已知，則.【答案】【解析】因為，所以，所以.故答案為：變式26．（2023·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中校考開學考試）已知，則的值是.【答案】【解析】因，則.故答案為：【方法技巧與總結】①減少不同名的三角函數，或化切為弦，或化弦為切，如涉及、的齊次分式問題，常采用分子分母同除以（），這樣可以將被求式化為關于的式子，從而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意將分母的1化為代入，轉化為關于的表達式后再求值．題型八：與關系的應用例22．（2023·山東棗莊·高一統考期末）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】將兩邊同時平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故選：C例23．（2023·廣東汕頭·高一校考期中）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，.故選：D.例24．（2023·高一單元測試）已知，A為第四象限角，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】可得，..又

A為第四象限角，又所以，.所以.答案：C.變式27．（2023·高一校考課時練習）若是的一個內角，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，所以，所以，則，故選：A.變式28．（2023·江西上饒·高一統考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，平方得，又故，則．故選：B.變式29．（2023·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學校聯考期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，平方可得，可得，因為，所以，所以，又由，所以.故選：B.變式30．（2023·江蘇南通·高一統考期中）已知與是方程的兩個根，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】與是方程的兩個根，，兩邊平方得：，，得．即．故選：D．變式31．（2023·河南南陽·高一統考階段練習）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為①，兩邊平方得，故，所以與異號，又，所以，，所以②，由①②解得，所以．故選：C變式32．（2023·上海浦東新·高一上海市進才中學校考開學考試）已知，是關于x的方程的兩個根，則的值為（

）A．隨的變化而變化 B．C． D．【答案】D【解析】因為，是關于x的方程的兩個根，所以，所以，又因為，所以，所以，由題意，是關于x的方程的兩個根，所以或，所以，所以，故選：D.變式33．（2023·海南·高一海南華僑中學校考期末）若，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，.所以，.又，所以，所以.故選：A.變式34．（2023·山東煙臺·高一統考期末）已知為第二象限角，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為是第二象限角，所以，，又，所以，即，得，所以.故選：C.【方法技巧與總結】三角函數求值中常見的變形公式（1），，三個式子中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”，它們的關系是：；.（2）求或的值，要根據的范圍注意判斷它們的符號．題型九：利用同角關系化簡三角函數式例25．（2023·全國·高一隨堂練習）化簡與求值(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.例26．（2023·全國·高一隨堂練習）化簡：．【解析】由題知，，得且，當時，，原式；當時，，，原式；當的終邊不在坐標軸上時，有，所以，原式當為第一象限角時，原式；當為第二象限角時，原式；當為第三象限角時，原式；當為第四象限角時，原式.綜上，當時，原式；當為第二象限角時，原式；當為第三象限角時，原式；當為第四象限角時，原式.例27．（2023·全國·高一隨堂練習）已知，求的值．【解析】由，平方可得，可得，又由，可得，因為當時，可得；當時，可得.變式35．（2023·江西萍鄉·高一統考期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）∵，∴，又∵，∴，又，∴，，∵，∴；（2）∵，∴．變式36．（2023·全國·高一隨堂練習）化簡．(1);(2)【解析】（1）由同角的平方關系可得，.（2）原式變式37．（2023·全國·高一課堂例題）化簡：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）因為，所以．原式．【方法技巧與總結】化簡要求（1）項數盡量少；（2）次數盡量低；（3）分母、根式中盡量不含三角函數；（4）盡量不含根式；（5）能求值的盡可能求值．題型十：利用同角關系證明三角恒等式例28．（2023·全國·高一隨堂練習）求證：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）.故成立.（2）故成立.（3）.故成立.例29．（2023·全國·高一隨堂練習）求證：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）左邊==右邊，故得證，（2）左邊==右邊，故得證，（3）左邊==右邊，故得證，（4）左邊==右邊，故得證例30．（2023·全國·高一隨堂練習）已知，，求證：.【解析】因為，，因此，所以.變式38．（2023·河南許昌·高一校考期中）證明：.【解析】左邊右邊.所以.變式39．（2023·高一單元測試）求證:.【解析】方法一:左邊======右邊.方法二:左邊=====

=右邊.【方法技巧與總結】證明三角恒等式時，可以從左邊推到右邊，也可以從右邊推到左邊，本著化繁就簡的原則，即從較繁的一邊推向較簡的一邊；還可以將左、右兩邊同時推向一個中間結果；有時候改證其等價命題更為方便．但是，不管采取哪一種方式，證明時都要“盯住目標，據果變形”．化簡證明過程中常用的技巧有：弦切互化，運用分式的基本性質變形，分解因式，回歸定義等．題型十一：利用誘導公式求解給角求值問題例31．（2023·山西·高三校聯考階段練習）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得：，故選：D.例32．（2023·重慶·高一統考期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B例33．（2023·浙江溫州·高一校聯考期中）等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，故選：D.變式40．（2023·河南周口·高一校聯考期末）的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D.變式41．（2023·新疆塔城·高一塔城地區第一高級中學校考階段練習）的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A變式42．（2023·全國·高一專題練習）______．【答案】【解析】.故答案為:.變式43．（2023·全國·高一課時練習）設，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，，所以.故選：C.【方法技巧與總結】利用誘導公式求任意角三角函數值的步驟（1）“負化正”：用公式一或三來轉化．（2）“大化小”：用公式一將角化為到間的角．（3）“小化銳”：用公式二或四將大于的角轉化為銳角．（4）“銳求值”：得到銳角的三角函數后求值．題型十二：利用誘導公式求解給值求值問題例34．（2023·上海崇明·高三校考階段練習）化簡：.【答案】【解析】∵，，，，，∴.故答案為：.例35．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習）已知，，且為第二象限角，則.【答案】/【解析】因為，，且為第二象限角，則，解得或，因為，整理可得，即，解得（舍）或，所以，，，所以，，因此，.故答案為：.例36．（2023·廣東深圳·高一深圳大學附屬中學校考期末）已知的終邊上有一點，則的值為.【答案】/【解析】因為的終邊上有一點，可得則.故答案為：.變式44．（2023·江西·高三校聯考階段練習）已知是第三象限角，且，則．【答案】2【解析】由得，解得或，又是第三象限角，所以，故．故答案為：2變式45．（2023·甘肅天水·高一秦安縣第一中學校考期末）若．則.【答案】【解析】由題意，，解得：，故答案為：.變式46．（2023·上海黃浦·高三格致中學校考開學考試）若，則.【答案】/【解析】由，得，解得，而，則，所以.故答案為：變式47．（2023·陜西榆林·高二校聯考期末）已知，則.【答案】/【解析】因為，所以原式故答案為：.變式48．（2023·浙江·高三浙江省普陀中學校聯考開學考試）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊與射線（）重合，則.【答案】【解析】由題意，，且，，則由，解得，則.故答案為：.【方法技巧與總結】解決條件求值問題的方法（1）解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名及有關運算之間的差異及聯系．（2）可以將已知式進行變形向所求式轉化，或將所求式進行變形向已知式轉化．題型十三：誘導公式在三角函數式化簡中的應用例37．（2023·全國·高一專題練習）（1）化簡：.（2）化簡；（3）化簡．（4）化簡；（5）化簡；（6）已知，求的值.【解析】（1）原式＝；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）由可得，.例38．（2023·全國·高一隨堂練習）化簡：(1)；(2)．【解析】（1），，，故，故.（2）.例39．（2023·全國·高一隨堂練習）化簡：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.變式49．（2023·全國·高一隨堂練習）化簡：(1)；(2)．【解析】（1）原式.（2）原式.【方法技巧與總結】三角函數式化簡的常用方法（1）合理轉化：①將角化成，，的形式．②依據所給式子合理選用誘導公式將所給角的三角函數轉化為角的三角函數．（2）切化弦：一般需將表達式中的切函數轉化為弦函數．（3）注意“1”的應用：．（4）用誘導公式進行化簡時，若遇到的形式，需對k進行分類討論，然后再運用誘導公式進行化簡．題型十四：誘導公式在三角函數證明中的應用例40．（2023·高一課時練習）證明:.【解析】左邊==右邊，故原等式成立.例41．（2023·高一課時練習）證明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】（1）左邊==右邊，原式成立.（2）左邊=右邊，原式成立.（3）左邊=右邊，原式成立.（4）左邊=右邊，原式成立.（5）左邊=右邊，原式成立.（6）左邊=右邊，原式成立.例42．（2023·高一課時練習）證明：【解析】證明：原式.【方法技巧與總結】三角恒等式的證明策略對于恒等式的證明，應遵循化繁為簡的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一、變更論證的方法．常用定義法、化弦法、拆項拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法．題型十五：誘導公式的綜合應用例43．（2023·全國·高一專題練習）已知，且為第三象限角．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）因為，且為第三象限角，結合可知.（2）由誘導公式可知，，，，因此由題意有.例44．（2023·廣東佛山·高一校考階段練習）已知．(1)若，且，求a的值；(2)若，求的值．【解析】（1），因為，所以，又，所以．（2）由（1）知，因為，所以，令，則，，所以例45．（2023·河南駐馬店·高一校考階段練習）（1）已知且有意義，若角的終邊與單位圓相交于點，求的值及的值；（2）是否存在角，使等式同時成立.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.（注：對任意角，有成立）【解析】（1）因為，所以，所以是第三或第四象限角或y軸的非正半軸上的角，因為有意義，所以，所以是第一或第四象限或x軸的非負半軸上的角，綜上可知，角是第四象限角，因為點在單位圓上，所以，解得，又是第四象限角，故，從而，根據正弦函數的定義，可知；（2）因為等式同時成立，利用誘導公式化簡得，兩式平方后相加得，因為，所以可得，即，因為，所以或.當時，代入得，又，所以，此時也符合等式；當時，代入得，又，所以，顯然此時不符合等式，綜上所述，存在，滿足條件.變式50．（2023·貴州遵義·高一統考期中）已知角的終邊在第二象限，且與單位圓交于點.(1)求實數m的值；(2)，求的值.【解析】（1）由點在單位圓上，則，解得，由點在第二象限角的終邊上，則.（2）由點是角的終邊與單位圓的交點，則，，，.變式51．（2023·高一課時練習）（1）已知是方程的根，求的值；（2）已知，，且，，求和的值.【解析】（1）由得：，，，，，，；（2）由得：…；由得：…；得：，，解得：，又，或，當時，，，又，；當時，，，又，；綜上所述：或.變式52．（2023·高一課時練習）已知是關于x的方程的兩實根，且，求的值.【解析】∵是關于的方程的兩實根，∴由韋達定理得，解得.又∵∴∴(舍去)，∴或，∵，∴或∴.【方法技巧與總結】解決此類問題時，可先用誘導公式化簡變形，將三角函數的角度統一后再用同角三角函數關系式，這樣可避免公式交錯使用時導致的混亂．題型十六：利用互余互補關系求值例46．（2023·安徽阜陽·高一統考期末）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，則，因為，所以，所以.故選：A例47．（2023·四川樂山·高一期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，且，則，則，所以，且，所以.故選：A例48．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽市第十一中學校考階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，.故選：A.變式53．（2023·江蘇南京·高一南京師大附中校考期中）已知是第二象限，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由是第二象限，得，則，又，所以，所以.故選：A.變式54．（2023·陜西西安·交大附中校考模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，且，所以，故選：.【方法技巧與總結】巧用相關角的關系會簡化解題過程．觀察所求角與已知角是否具有互余、互補等特殊關系．在轉化過程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常見的互余關系有，；，；，等．常見的互補關系有，；，等．一、單選題1．（2023上·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習）若，則α不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】顯然，因此，從而，對于A，因為為第四象限角，所以，A可能；對于B，因為為第二象限角，所以，B不可能；對于C，因為為第三象限角，所以，C可能；對于D，因為為第四象限角，所以，D可能.故選：B2．（2023·全國·高一專題練習）給出下列各式的值：①；②；③；④其中符號為負的是（）A．① B．②④ C．①③④ D．①②③【答案】D【解析】根據三角函數定義以及弧度制可知，即5弧度在第四象限，所以可得①；易知是第二象限角，所以，因此可知②；易知，且位于第四象限，所以③；根據三角函數定義可知，所以④；因此符號為負的是①②③故選：D．3．（2022上·浙江金華·高一校考階段練習）已知角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三角函數的定義可得，則.故選：D4．（2023上·安徽·高三安徽省宿松中學校聯考開學考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以,且，所以，即，，所以，故選：B5．（2023上·高一課時練習）已知，且為第二象限角,，則的值為（

）A．－ B．－C． D．－【答案】C【解析】因為，且為第二象限角，所以，則故選:C.6．（2023上·江蘇·高三淮陰中學校聯考開學考試）若的內角A，B，C滿足，則A與B的關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，且A，B，C為的內角，因為所以所以或，若，則，此時不存在，故舍去；∴.故選：A.7．（2023下·北京石景山·高一北京市第九中學校考期末）若是三角形的一個內角，且，則這個三角形的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定【答案】C【解析】A是三角形的一個內角，∴，又，平方得解得，故．為鈍角，即三角形為鈍角三角形．故選：C．8．（2023下·遼寧大連·高一統考期末）1988年3月14日，LanyShaw在舊金山科學博物館組織舉辦了最早的大型以為主題的活動，之后博物館繼承了這一傳統，后來3月14日成為了國際圓周率日（日）.歷史上，求圓周率的方法有多種，其中的一種方法：當正整數充分大時，計算單位圓的內接正邊形的周長和外切正邊形的周長，將它們的算術平均數作為的近似值.按照這種方法，的近似值的表達式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】單位圓的內接正邊形的邊長為，則其內接正邊形的周長為，單位圓的外切正邊形的邊長為，則其外切正邊形的周長為，則有.故選：B.二、多選題9．（2022下·廣東深圳·高一校考階段練習）下列計算