線性代數

教師：孫永征教學郵箱：cumtsyz@126.com答疑地點：教1C300時間：周三7-8參考書：線性代數（高等教育出版社）線性代數（同濟大學出版社）及配套輔導書。密碼：feichengwurao幾點說明1、教材：《線性代數》江龍等編中國高等教育出版社；2、教材上的“發展閱讀”作為學生自學內容；3、歷年考題的購買時間另行通知，請任課教師第一次上課時告知學生我們將印刷最新版的歷年考題。考試/考查成績統計90分以上（優秀）17人14.66%80-89分（良好）35人30.17%70-79分（中等）32人27.59%60-69分（及格）19人16.38%不及格（不及格）13人11.21%其他0人0%合計116人100.00%緩考0人缺考0人免修0人實考116人總人數116人及格線以下（僅有5人，3人100分，17人90分以上第一章線性方程組1.1線性方程組

1.2矩陣及其初等變換

1.3線性方程組的矩陣解法

1.1線性方程組

一引例解路口A：路口B：路口C：路口D：即1交通問題

2化學方程式

解適當地選擇

，使化學反應的方程式

為平衡方程式.令方程式兩邊的碳、氫和氧原子分別相等,得n元線性方程組的一般形式:齊次線性方程組:非齊次線性方程組:線性方程組的解集:方程組解的全體二.基本概念(1)如何判別方程組無解？有唯一解？有無窮多解？(2)如何求方程組的通解？要解決的問題：三

解法1線性方程組的初等變換

（1）交換任意兩個方程的位置；（2）任一個方程的兩邊同乘一個非零的實數；（3）任一個方程的倍數加到另一個方程上

【注】線性方程組的初等變換是同解變換2求解舉例例1.1解線性方程組

解

回代

例1.2解引例1.1中的方程組

解

矩陣通常用大寫字母記之.矩陣的第i行第j列元素,簡稱(i,j)元素.稱為m行n列矩陣，簡稱矩陣.定義由個數排成的m行n列的數表其中稱為該§1.2

矩陣及其初等變換或或為了強調矩陣A的元素或階數，常把矩陣A簡寫為特別地(1)

當時,稱A

為n

階方陣或n

階矩陣,即其中稱為A

的主對角元.(2)1×1的矩陣視同普通的數.

(3)

只有一行的矩陣稱為行矩陣或n

維行向量.ai

稱為A的第i個分量.稱為列矩陣或m

維列向量.ai

稱為A的第i個分量.(4)

只有一列的矩陣(5)

元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為O.幾種特殊的方陣（P6）記作1.

對角矩陣(約定:未寫出的元素全為零)2.

數量矩陣3.單位矩陣4.上(下)三角矩陣上三角下三角5.對稱矩陣設為n階方陣，如果則稱A為對稱矩陣.例如例如是3階反對稱矩陣.設為n階方陣，如果則稱A為反對稱矩陣.6.反對稱矩陣

思考:A是反對稱矩陣，那么定義

設是兩個矩陣,且滿足則稱A與

B相等，記作A=B.思考1：零矩陣與零矩陣相等嗎？思考2：矩陣且A=B則

矩陣的初等變換（P8）初等變換是研究矩陣的性質、求矩陣的逆和解線性方程組的重要工具.其核心是利用初等變換,把復雜矩陣化成簡單矩陣來處理,同時要求簡單矩陣還要保留原來矩陣的若干性質.(3)把矩陣的某一行乘上一個數加到另一行上，(1)交換矩陣的某兩行，記為(2)以不等于０的數乘矩陣的某一行，記為記為稱矩陣的下面三種變換分別為第一、第二、第三種初等行變換:定義類似定義三種初等列變換:以上六種變換統稱為矩陣的初等變換.記號初等行變換初等列變換初等變換通常,第一種初等行(列)變換又稱對調變換;第二種初等行(列)變換又稱倍乘變換;第三種初等行(列)變換又稱倍加變換.例如結論：初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同.逆變換逆變換逆變換初等列變換也有類似的結果…定義：等價關系的性質：具有上述三條性質的關系稱為等價．(2)對稱性則

(1)反身性(3)傳遞性若則例1

把化成上三角矩陣解

上述矩陣具有以下特點：①每個“階梯”上只有一行；②每個階梯上第一個數不等于0；③階梯的左下方元素全為0。具有以上三個特點的矩陣稱為行階梯形矩陣

具有特點④的行階梯形矩陣稱為行最簡階梯形矩陣④每個階梯上第一個數為1，并且這些1所在列的其它元素全為零。特點化階梯形：從上到下，從左到右。化最簡形：從下向上，從右到左。注意:箭頭不能為等號下面矩陣也是行階梯形矩陣下面矩陣是行最簡階梯形矩陣只用初等行變換將矩陣A盡量化簡.例2階梯形階梯形最簡階梯形根據例2，不難得到下面定理：只用初等行變換必能將矩陣化為行階梯矩陣和行最簡形梯矩陣.梯矩陣不唯一,行簡化梯矩陣唯一.定理例3用初等行變換將A化為行階梯形矩陣，進而化為行最簡階梯形矩陣.作業：P112，4

特別地,當m=n

時,稱為n元齊次(非齊次)線性方程組.(1)若常數項全為零,則稱方程組為齊次線性方程組.

反之,若常數項不全為零,稱為非齊次方程組.線性方程組定義

§1.3

解線性方程組的矩陣解法當(1)式右端常數全為0而得到的齊次線性方程組稱為(1)導出的齊次線性方程組。若存在使(1)式每個方程成為恒等式，則稱是(1)的一個解,否則稱之為無解或不相容。例如線性方程組與它的增廣矩陣是一一對應的.由方程組(1)的系數與常數項組成的矩陣稱為方程組(1)的增廣矩陣.

定義

(注意方程組初等變換與增廣矩陣初等行變換的關系）我們將通過下面的例子,來說明高斯消元法的求解過程.例1

解線性方程組

解互換方程(1)與(2)的位置,得(1)(2)(3)(2)－(1)×2,(3)－(1)×4,得

(3)－(2),

得(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(3)×(-1/2),得(1)(2)(3)梯形方程組梯矩陣(2)+(3)×2,(1)+(3)×(-2),得(2)×(-1/3),得(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)–(2),得可得原方程組的解為：(1)(2)(3)行簡化梯矩陣

(1)交換方程的位置；(2)以不等于0的數乘某個方程兩邊；(3)一個方程加上另一個方程的若干倍.由于三種變換均可逆,所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的.在例1的求解過程中，對方程組始終用到如下三種變換:

等價地，就是對增廣矩陣只實施初等行變換.對增廣矩陣使用初等行變換化梯矩陣:最后一行對應的方程是：0=2,所以方程組無解.求解非齊次線性方程組解例2

(1)對增廣矩陣使用初等行變換化行簡化梯矩陣:解非齊次線性方程組例3解(2)寫出同解的最簡梯形方程組

(3)移項:保留第一個未知量在左邊,其余的移到右邊此時,右邊的未知量稱為自由變量.(4)令自由變量,取任意常數,即得一般解(通解或全部解)即令,為任意常數.(取任意常數)得方程組的一般解為:不妨設線性方程組(2.2)的增廣矩陣經過一系列初等行變換化為如下梯形矩陣,一般線性方程組解的情況

未寫出的全為零,同解梯形方程組為(2.3)由梯形方程組可得1)若,方程組(1)中有矛盾方程,方程組無解;2)若則方程組有解，方程組有唯一解.當r=n

時,梯形方程組為2)若則方程組有解，且當r<n

時,梯形方程組為移項任給自由變量一組值,可唯一確定

因此原方程組有無窮多個解.

定理設方程組的增廣矩陣經過初等行變換化為行階梯形矩陣T,系數矩陣A化為行階梯形矩陣的

的階梯數為r,(1)當T的階梯數=r+1時，方程組無解；a)當r=n（未知量個數）時，方程組有唯一解;b)當r<n

時，方程組有無窮多解.(2)當T的階梯數=的階梯數=r時，方程組此時有解，并且故(1)齊次方程組一定有解.

特別地,對于齊次方程組,不妨設其增廣矩陣化為梯矩陣為未寫出的全為零,(3)當r<n

時,齊次方程組有非零解

(無窮多解).(2)當r=n

時,齊次方程組僅有零解;