第三屆“長江杯”全國數學邀請賽預賽試題（八年級）題號一二三總分1～67～1213141516得分一、選擇題（本大題有6小題，每小題5分，共30分．以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在下面的表格內．）1．三角形的三邊長分別為6，1－3a，10，則a的取值范圍是（）A．－6＜a＜－3 B．5＜a＜1 C．－5＜a＜－1 D．a＞－1或a＜－52．使分式有意義的x的取值范圍是（）A．x≠0B．x≠0且x≠±403C．x≠0且x≠403 D．x≠0且x≠－4033．如圖，將紙片△ABC沿著DE折疊壓平，且∠1＋∠2＝72°，則∠A等于（）A．72° B．24° C．36° D．18°4．如圖鋼架中，，焊上等長的鋼條來加固鋼架，若，則這樣的鋼條至多需要（）A．5根B．6根C．7根D．8第3題圖第3題圖第4題圖5．若，則代數式的值是（）A．2013B．2014C．2015D．20166．三角形三邊的長分別為，且，則三角形是（）A．等邊三角形B．直角三角形C．以為腰的等腰三角形D．以為底的等腰三角形二、填空題（本大題有6小題，每小題5分，共30分．）第8題圖7．分解順式．第8題圖8．如圖，在中，，，是的平分線，延長至，使，連結，則的度數為．9．⊿ABC中，三個內角的度數均為整數，且，則的度數為__________．10．若展開式中含項的系數是17，則的值是__________．11．若關于的分式方程無解，則__________．12．若，，，且abc＝24，則的值為_________．三、解答題(本大題有4小題，每小題15分共60分．）第13題圖13．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于點E，且CD=AC，DF∥BC，分別與AB、AC交于點G、F．

（1）求證：GE=GF；

（2）若BD=1，求DF的長．

第13題圖 14．如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長線上一點，N是CA延長線上一點，且∠MDN=60°．試探究BM、MN、CN之間的數量關系，并給出證明．第14題圖第14題圖15．已知為正整數，且為有理數，證明為整數．16．為迎接外國使節來訪，儀仗隊某小組進行隊列造型設計，首先組長讓全體隊員排成一個方陣（即行與列的人數一樣多的隊形），人數正好夠，然后組長又繼續組織了幾個隊形的變化，最后一個造型需要5人一組，手拿鮮花變換隊形．在討論分組方案時，一組員說現在的隊員人數按“5人一組”分將多出3人．同學們，你們說一說這可能嗎？為什么？第三屆“長江杯”全國數學邀請賽預賽試題八年級參考答案一、選擇題1．C2．B3．C4．D5．A6．C二、填空題7．8．40°9．59°10．1111．6，1012．三、解答題第13題圖13．（1）∵DF∥BC，∠ACB=90°，

∴∠CFD=90°．

∵CD⊥AB，

∴∠AEC=90°．

在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，∴Rt△AEC≌Rt△DFC．

∴CE=CF．

∴DE=AF．

而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，

∴Rt△AFG≌Rt△DEG．

∴GF=GE．第13題圖（2）∵CD⊥AB，∠A=30°，

∴CE=AC=CD．

∴CE=ED．

∴BC=BD=1．

又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，

∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，

∴BE=BC=BD=．

在直角三角形ABC中，∠A=30°，

則AB=2BC=2．

則AE=AB－BE=．

∵Rt△AEC≌Rt△DFC，

∴DF=AE=．第14題圖14．CN=MN+BM

證明：在CN上截取點E，使CE=BM，連接DE，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

又△BDC為等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，

∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，

在△MBD和△ECD中，第14題圖，

∴△MBD≌△ECD（SAS），

∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，

又∠MDN=60°，∠BDC=120°，

∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，

∴∠MDN=∠EDN，

在△MND與△END中，，

∴△MND≌△END（SAS），

∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM．15．因是無理數，則，而為有理數，所以，于是，因此，為整數．16．不可能因為全體隊員可排成一