第五章

IIR數字濾波器設計

數字濾波類型與指標模擬濾波器設計設計IIR濾波器的脈沖響應不變法設計IIR濾波器的雙線性變換法設計IIR數字濾波器頻率變換法數字陷波器設計1第五章第1講§1數字濾波類型與指標濾波的目的①

為了壓制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例。②

廣義濾波包括對信號的檢測與參量的估計。信號的檢測：確定在干擾背景中信號是否存在。信號參量的估計：為識別信號而確定信號的某一個或某幾個參量的估值。濾波技術①濾波器設計：根據給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數。②濾波過程的實現：獲得傳輸函數后，以何種方式達到對輸入信號的進行濾波的目的。版權所有違者必究2第五章第1講數字濾波器數字濾波類型與指標數字濾波器（DF）的頻率特性對因果穩定的線性時不變系統：為系統函數，為濾波器的單位脈沖響應為濾波器的傳輸函數。具有某種特定頻率特性的線性時不變系統。廣義上，任何線性時不變離散系統都是一個數字濾波器（簡稱DF）。設計數字濾波器的任務就是尋求一個因果穩定的線性時不變系統，使其系統函數H(z)具有指定的頻率特性。版權所有違者必究3第五章第1講幅度特性數字濾波類型與指標相位特性DF按頻率特性的分類DF可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通頻率變量用數字頻率表示：其中為模擬角頻率，T為抽樣時間間隔，為抽樣頻率數字頻率以為周期。頻率特性只限于范圍，依取樣定理，對應于實際模擬抽樣頻率的一半。版權所有違者必究4第五章第1講理想濾波器的頻率響應數字濾波類型與指標版權所有違者必究5第五章第1講DF的幅度特性性能要求（低通為例）數字濾波類型與指標0通帶過渡帶阻帶：通帶波紋：阻帶波紋：通帶截止頻率：阻帶截止頻率：過渡帶版權所有違者必究6第五章第1講數字濾波類型與指標DF的相位特性性能要求從信號不失真角度，其相位特性通常必須滿足以下兩個要求之一：①相位線性。即：②具有群恒時延特性。即：其中稱為時延常數版權所有違者必究7第五章第1講數字濾波器設計的基本問題數字濾波類型與指標數字濾波器IIR數字濾波器：其系統函數通常可表示成關于的有理分式FIR數字濾波器：其系統函數通常可表示成關于的多項式以上兩類數字濾波器，由于它們的系統函數不同，相應的設計方法亦不同。但無論哪種數字濾波器，設計過程一般包括以下三個基本問題：①根據實際要求確定濾波器性能指標；②用一個因果穩定的系統函數去逼近這個指標；③用一個有限精度的運算去實現這個傳輸函數。問題①、③與實際的要求及實現的硬件條件有關，本章主要討論問題②，即：系統函數的設計(或逼近)問題。版權所有違者必究8第五章第1講設計IIR數字濾波器的幾種方法數字濾波類型與指標對于IIR數字濾波器，其系統函數為：∴設計IIR濾波器的系統函數，就是要確定H(z)的階數N（通常稱N為濾波器的階數）以及分子分母多項式的系數滿足指定的頻率特性。設計IIR數字濾波器通常采用以下三種方法：方法一：利用模擬濾波器的理論來設計版權所有違者必究9第五章第1講首先設計一個合適的模擬濾波器，然后將它“變換”成滿足給定指標的數字濾波器。這種方法適合于設計幅頻特性比較規則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等。數字濾波類型與指標當把模擬濾波器的H(s)“變換”成數字濾波器的H(z)時，其實質就是實現S平面向Z平面的“映射”。這必須滿足兩個條件：①必須保證模擬頻率映射為數字頻率，且保證兩者的頻率特性基本一致。即：要求變換后代表S平面的虛軸jΩ應映射到Z片面的單位圓且數字濾波器的頻率響應和模擬濾波器頻率響應的形狀應基本保持不變；②因果穩定的模擬濾波器系統函數H(s)轉換成數字濾波器傳輸函數H(z)后，仍然是因果穩定的。即：要求S平面左半平面的極點必須映射到Z平面的單位圓內。

實現“映射”的兩種常用的方法：脈沖響應不變法：從時域的角度出發進行映射雙線性不變法：從頻域角度出發進行映射版權所有違者必究10第五章第1講方法二：利用最優化技術進行CAD設計數字濾波類型與指標若需設計濾波器的幅頻特性是任意的或者形狀比較復雜，可采用計算機輔助設計(CAD)方法進行優化設計。設計思路：若所需濾波器的幅頻響應為：與所設計的系統函數對應的幅頻響應為：選用最小均方誤差準則：在指定的一組離散的頻率點的均方誤差為：求解H(z)的系數使均方誤差最小。版權所有違者必究11第五章第1講數字濾波類型與指標方法三：利用“零極點累試法”進行設計若需設計濾波器的幅頻特性比較規則而且簡單時，可采用“零極點累試法”進行設計。例如：數字陷波器版權所有違者必究12第五章第1講§2

模擬濾波器的設計由于IIR數字濾波器的設計是基于現有的模擬濾波器設計的成熟技術而完成的。故討論“IIR數字濾波器的設計”之前，必須介紹模擬濾波器設計的一些基本概念，并介紹兩種常用的模擬濾波器的設計方法：巴特沃思(Butterworth)濾波器和切比雪夫(Chebyshev)濾波器。版權所有違者必究13第五章第1講§2

模擬濾波器的設計模擬濾波器設計中的基本概念1、模擬濾波器的頻率特性與衰減特性

設模擬濾波器的系統函數為：工程上，濾波器的幅度特性所給定的指標通常是通帶和阻帶的衰減。（常用反映功率增益的幅度平方函數或模平方函數來表示）即：當要求濾波器具有線性相位特性（延時τ為常數）時，濾波器的頻率特性為：版權所有違者必究14第五章第1講模擬濾波器的設計2、歸一化與頻率變換

頻率變換：從歸一化低通原型濾波器到高通、帶通、帶阻等其它類型的濾波器的變換方法。在設計模擬濾波器時，為使設計結果具有普遍性以及計算方便，常采用歸一化參數。歸一化包含：①電路參數歸一化：將系統中無源元件的阻抗或運算阻抗分別除以基準電阻(系統的負載電阻值)；②頻率歸一化：將所有的頻率都除以基準頻率（濾波器的截止頻率）。計算實際電路參數時應要將歸一化頻率乘以截止頻率，進行反歸一化。版權所有違者必究15第五章第1講模擬濾波器的設計3、由模平方函數求模擬濾波器的系統函數H(s)

模擬濾波器在不含有源器件時，若為一個因果穩定的、物理可實現的系統，則其系統函數必須為正實函數，即具有以下三特點：①是一個具有實系數的關于s的有理函數：

②所有極點必須全部分布在s平面的左半平面內。

③分子多項式N(s)的階次必須小于或等于分母多項式D(s)的階次

由實函數的傅立葉變換的共軛對稱性知：版權所有違者必究16第五章第1講模擬濾波器的設計由給定的模平方函數求所需的系統函數的方法：

②取所有左半平面的極點作為的極點。

③按需要的相位條件(最小相位、混合相位等)取一半的零點構成的零點。

①解析延拓：令代入模平方函數得：,并求其零極點。4、逼近問題

尋找一個恰當的近似函數來逼近理想特性。版權所有違者必究17第五章第1講巴特沃思Butterworth低通濾波器模擬濾波器的設計BW濾波器以巴特沃思函數來近似濾波器的系統函數，BW的低通模平方函數為：指定、后，帶到上式，得：1、基本性質階數指定、后，帶到上式，得：版權所有違者必究18第五章第1講模擬濾波器的設計用3dB截止頻率來規一化：，則下式：說明：①當時，（取最大值）②當時，（即3dB值）③在通帶時，很小，④當阻帶時，很大，在阻帶內，版權所有違者必究19第五章第1講模擬濾波器的設計阻帶內，∵∴幅度隨著

N的增加阻帶衰減近似為6Ndb/倍頻程。

N越大，頻帶特性越接近理想矩形特性。

⑤巴特沃思濾波器又稱“最大平坦濾波器”。原因如下：按臺勞級數展開為：表明處最平坦版權所有違者必究20第五章第1講模擬濾波器的設計歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性版權所有違者必究21第五章第1講模擬濾波器的設計2、設計過程①按給定的通、阻帶指標恰當地選擇濾波器的階次N

若給定的指標=3dB,即通帶邊頻時,ε=1,可求得：實際計算時，要對上式求得的數值取整加1。版權所有違者必究22第五章第1講模擬濾波器的設計②從模平方函數求系統函數H(s)

Ⅰ求得極點

版權所有違者必究23第五章第1講模擬濾波器的設計下圖給出的是按以上公式所求得的N=3和N=4時的極點發布圖：關于極點的討論在歸一化頻率的情況=1，極點均勻分布在單位圓上

對于物理可實現系統,它的所有極點均應在

s的左半平面上

版權所有違者必究24第五章第1講模擬濾波器的設計Ⅱ系統函數的構成

濾波器的極點求出后，可取左半平面上的所有極點構成系統函數。對于低通濾波器，為了保證在頻率零點處，，可取：版權所有違者必究25第五章第1講有關“系統函數構成”的典型例題例：設計一巴特沃思濾波器，使其滿足以下指標:通帶邊頻=100krad/s,通帶的最大衰減為=3dB，阻帶邊頻為=400krad/s,阻帶的最小衰減為=35dB。解:由于通帶邊頻就是3dB截止頻率，即

確定階次N：求左半平面的極點:

版權所有違者必究26第五章第1講有關“系統函數構成”的典型例題∴巴特沃思濾波器的傳輸函數H(s)為：

相對截止頻率歸一化，則歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數為：

版權所有違者必究27第五章第1講模擬濾波器的設計Ⅲ一般N階歸一化巴特沃思濾波器系統函數表示

上式中是時的極點（分布在單位圓上）；分母一般稱為巴特沃思多項式，其系數可通過查附表1求得。版權所有違者必究28第五章第1講【附表1】：巴特沃思多項式系數表

NA1a2a3a4a5a6a7a8a921.414232.00002.000042.61313.41422.613153.23615.23615.23613.236163.86377.46419.14167.46413.863774.494010.09714.59214.59210.0974.494085.152813.13721.84625.68821.84613.1375.152895.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.3925版權所有違者必究29第五章第1講【附表2】：巴特沃思多項式因式分解N巴特沃思多項式1

s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.412s+1)(s2+1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)版權所有違者必究30第五章第1講模擬濾波器的設計巴特沃思模擬濾波器的設計總結①上述歸一化公式和表格是相對3dB截止頻率給出的。由指定的技術指標，利用上述公式和表格進行設計時，最關鍵的2個參數是濾波器的節數N和3dB截止頻率。②

N用來求巴特沃思多項式，用來反歸一化，求實際濾波器的參數。版權所有違者必究31第五章第1講切比雪夫（Chebyshev）低通濾波器模擬濾波器的設計切比雪夫低通濾波器采用切比雪夫函數來逼近給定的指標，該函數具有等波紋特性。它可將指標要求均勻發布在通帶（或阻帶）內，故如此設計出的濾波器階數較低。切比雪夫低通濾波器切比雪夫Ⅰ型切比雪夫Ⅱ型：通帶等波紋、阻帶單調：通帶單調、阻帶等波紋切比雪夫Ⅰ型低通濾波器1、基本原理切比雪夫Ⅰ型的幅度平方函數為：版權所有違者必究32第五章第1講模擬濾波器的設計切比雪夫Ⅰ型的幅度平方函數為：其中：為表示通帶波紋大小的參數（<1的正數）,越大波紋越大。為截止頻率（通帶邊頻），在此它不一定是3dB。為對的歸一化頻率。定義：切比雪夫多項式2、設計公式通帶衰減通帶最大波紋版權所有違者必究33第五章第1講模擬濾波器的設計阻帶衰減阻帶邊界頻率則切比雪夫Ⅰ型濾波器的傳輸函數為：版權所有違者必究34第五章第1講§3設計IIR濾波器的脈沖響應不變法

脈沖響應不變法設計的基本原理和方法1、基本原理從時域響應出發，使求得的數字濾波器的單位脈沖響應h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應h(t)的抽樣值。若已知，則：2、方法①將H(s)進行部分分式展開：②對H(s)進行拉氏反變換：版權所有違者必究35第五章第1講設計IIR濾波器的脈沖響應不變法③由獲得：④對取變換得：脈沖響應不變法設計的濾波器的頻率響應設原模擬濾波器的頻率響應為。∵h(n)是h(t)的等間隔抽樣，根據抽樣定理，序列h(n)的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓。即：

版權所有違者必究36第五章第1講設計IIR濾波器的脈沖響應不變法注意：∵高通和帶阻濾波器不能滿足以上的要求，將會產生混疊。∴脈沖響應不變法不適合用來設計高通和帶阻數字濾波器。

若模擬濾波器的頻率響應是帶限于折疊頻率（奈氏頻率）之內，即：

此時，數字濾波器的頻率響應才能等于模擬濾波器的頻率響應

。即：幾點修正①消去