1.4.1用空間向量研究直線、

平面的位置關系第三課時空間中直線、平面的垂直人教A版2019高二數學（選修一）第一章空間向量與立體幾何目錄/CONTENTS新知探究情景導入學習目標課堂小結分層練習錯因分析學習目標1.用向量語言描述線線、線面、面面垂直的關系（重點）2.用向量語言證明直線、平面垂直的相關判定定理（重點）3.用向量語言解決立體幾何直線、平面垂直的相關問題（難點）類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關系？觀察下圖回答。位置關系向量表示線線垂直設直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2=0線面垂直設直線l的方向向量為u,平面α的法向量為n,則l⊥α?u∥n?

?λ∈R,使得u=λn面面垂直設平面α,β的法向量分別為n1,n2,則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0情景導入直線平面方向向量法向量位置關系空間向量立體幾何位置關系問題1如何用空間向量表示空間中直線與平面？復習回顧線線平行線面平行面面平行類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線，直線與直線，平面與平面的垂直關系中，直線的方向向量與平面的法向量之間有什么關系？1.空間中直線、平面垂直新知探究問題2由直線與直線垂直的關系，可以得到這兩條直線的方向向量有什么關系？顯然的，就是這兩條直線的方向向量垂直l1l2(1)問題3由直線與平面平行的關系，可以得到直線的方向向量與平面的法向量有什么關系？問題4由平面與平面平行的關系，可以得到這兩個平面的法向量有什么關系？要求：（1）以小組形式進行討論，類比上一節課直線、平面平行的向量表示，回答出上述的兩個問題；（2）將上述的兩個問題，能夠數形結合的方式進行解釋說明。直線與平面垂直，就是直線的方向向量與平面的法向量平行；l(2)概念歸納(3)平面與平面垂直，就是兩平面的法向量垂直概念歸納若一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．l2.平面與平面垂直判定定理新知探究1.數形結合2.轉化成數學符號3.利用直線的方向向量與平面的法向量進行解答!概念歸納BCDD1A1B1C1A例4如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.分析：直線A1C⊥平面BDD1B1A1C⊥BDA1C⊥BB1其中，n是平面BDD1B1的法向量3.利用空間向量方法解決立體幾何中直線、平面平行的相關問題新知探究BCDD1A1B1C1A例4如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.證明：因為AB=

AD=AA1=1,所以基底法BCDD1A1B1C1A證明：則對于平面BDD1B1上任意一點P,存在唯一的有序實數對,使得.

在平面BDD1B1上,取為基向量,基底法l例5證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點，F是AD上一點，當BF⊥PE時，AF∶FD的值為 ()A．1∶2 B．1∶1C．3∶1 D．2∶1素養點睛：考查直觀想象、數學運算的核心素養．題型1線線垂直問題B典例剖析1．利用向量法證明線線垂直的依據和關鍵點(1)依據：轉化為證明直線的方向向量垂直，即證明它們的方向向量的數量積為0.(2)關鍵：建立恰當的空間直角坐標系，正確地表示出點的坐標，進而求直線的方向向量．2．應用線線垂直求點的坐標的策略(1)設出點的坐標．(2)利用點滿足的條件建立與坐標有關的方程．(3)通過解方程的方法求出點的坐標．概念歸納1．如圖，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝BB1.求證：BC1⊥AB1.練一練證明：如圖，以點C1為原點，分別以C1A1，C1B1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．練一練如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1C中點．求證：MN⊥平面A1BD．素養點睛：考查直觀想象、數學運算的核心素養．題型2線面垂直問題典例剖析用坐標法證明線面垂直的方法及步驟方法一：(1)建立空間直角坐標系．(2)將直線的方向向量用坐標表示．(3)找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量．(4)分別計算兩組向量的數量積，得到數量積為0.方法二：(1)建立空間直角坐標系．(2)將直線的方向向量用坐標表示．(3)求出平面的法向量．(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．提醒：用坐標證明垂直問題，關鍵是根據題目中的垂直關系建立適當的坐標系．概念歸納練一練證明：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)，典例剖析方向2探究性問題

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中點，試在棱CC1上求一點P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.素養點睛：考查直觀想象、數學運算的核心素養．典例剖析解：建立如圖所示的空間直角坐標系．用坐標法證明線面垂直的方法及步驟(1)建立空間直角坐標系．(2)將一平面內兩相交直線的方向向量用坐標表示．(3)由兩條相交直線的方向向量，計算兩組向量的數量積，得到數量積為0.(4)同理求出另一個平面的法向量．概念歸納探索性問題的解決方法(1)猜測法：猜測滿足的條件，然后以此為基礎結合題目中的其他條件進行證明結論成立，或者利用題目條件用變量設出條件，再結合結論逆向推導出變量的取值．(2)逆推法：利用結論探求條件；如果是存在型問題，那么先假設結論存在，若推證無矛盾，則結論存在；若推證出矛盾，則結論不存在．概念歸納3．在三棱錐P－ABC中，三條側棱兩兩互相垂直且相等，G是△PAB的重心，E，F分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證：平面EFG⊥平面PBC．證明：方法一，如圖，以三棱錐的頂點P為原點，以PA，PB，PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．令PA＝PB＝PC＝3，則A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，練一練如圖，在棱長為2的正方體中ABCD－A1B1C1D1，E，F，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)當λ＝1時，求證：直線BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．規范解答利用空間向量解答平行、垂直問題典例剖析分析：(1)要證明BC1∥平面EFPQ，只要證明BC1與平面EFPQ內的一條直線平行，依據題意可證BC1∥FP.(2)由平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角知，兩個平面互相垂直，故它們的法向量互相垂直，由此可根據數量積為0，求λ的值．反思感悟1．關注解決空間平行、垂直關系的依據平行、垂直關系的向量表示是解題依據，是解題的前提和根本，也是避免無謂丟分的關鍵，如本例利用向量平行證明線線平行；通過證明兩個平面的法向量互相垂直，得兩個平面互相垂直．2．準確計算，避免失誤利用向量法解決空間平行垂直問題的最大特點是通過計算證明位置關系，這也是向量法與幾何法的主要區別．因此，準確計算是此類問題的關鍵，如本例中兩個平面的法向量坐標必須計算準確.概念歸納課本練習ABCDD1A1B1C1xyzABCDD1A1B1C1EFxyzABCDD1A1B1C1EFxyz1．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，則 (

)A．l1∥l2 B．l1⊥l2C．l1，l2相交不垂直 D．不能確定【解析】因為a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，即a·b＝0，所以a⊥b.所以l1⊥l2.分層練習-基礎B2．兩平面α，β的法向量分別為u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y,1)，若α⊥β，則y＋z的值是 (

)A．－3 B．6C．－6 D．－12【解析】α⊥β?u·v＝0?－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.分層練習-基礎B4分層練習-基礎4．向量a＝(－1,2，－4)，b＝(2，－2,3)是平面α內的兩個不共線的向量，直線l的一個方向向量m＝(2,3,1)，則l與α是否垂直？________(填“是”或“否”)．【答案】否【解析】m·a＝(2,3,1)·(－1,2，－4)＝－2＋6－4＝0，m·b＝(2,3,1)·(2，－2,3)＝4－6＋3＝1≠0.所以l與α不垂直．分層練習-基礎5．如圖，在四棱錐E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求證：平面ADE⊥平面ABE.分層練習-鞏固分層練習-鞏固分層練習-鞏固6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點.求證:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.分層練習-鞏固證明

以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為1,則

分層練習-鞏固7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求證:BD⊥平面PAC.分層練習-鞏固證明

因為AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標原點,AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空