第21章素養提優測試卷(時間：120分鐘

滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,滿分40分,每小題只有一個選項是符合題意的)1.(2023海南中考,8,★☆☆)若反比例函數y=

(k≠0)的圖象經過點(2,-1),則k的值是

(

)A.2

B.-2

C.

D.-

對應目標編號M9121005B解析

B將點(2,-1)代入y=

(k≠0),得

=-1,解得k=-2.故選B.2.(2024安徽淮南鳳臺月考,3,★☆☆)下列函數中,當x>0時,y隨x的增大而增大的

是

(

)A.y=2x2+6

B.y=-2x+1C.y=-x2+4

D.y=-4(x-2)2

A解析

A函數y=2x2+6的圖象開口向上,對稱軸為直線x=0,當x>0時,y隨著x的增

大而增大,故選A.3.[新考法](2024安徽六安裕安中學月考,3,★☆☆)拋物線y=x2+1經過平移得到

拋物線y=(x+1)2,平移的方法是

(

)A.先向左平移1個單位,再向下平移1個單位B.先向右平移1個單位,再向下平移1個單位C.先向左平移1個單位,再向上平移1個單位D.先向右平移1個單位,再向上平移1個單位A解析

A本題已知平移前后的拋物線的表達式,求平移的方法,與常規的根據

平移方法求平移后的拋物線的表達式有所不同.∵拋物線y=x2+1的頂點坐標為(0,1),平移后拋物線y=(x+1)2的頂點坐標為(-1,0),∴平移方法為先向左平移1個單位,再向下平移1個單位.故選A.方法歸納已知平移前后拋物線的表達式確定平移方式的方法先求出平移前后拋物線的頂點坐標,根據頂點坐標的平移規律確定平移的

方向和距離.4.(★☆☆)已知閉合電路的電流I(單位:A)與電路的電阻R(單位:Ω)是反比例函數關系.根據下表判斷a和b的大小關系為

(

)跨學科物理對應目標編號M9121007I/A5…a………b…1R/Ω2030405060708090100A.a>b

B.a≥b

C.a<b

D.a≤bA解析

A∵閉合電路的電流I(單位:A)與電路的電阻R(單位:Ω)是反比例函數

關系,∴40a=80b,∴a=2b,∴a>b,故選A.5.

(2024河南開封金華學校月考,6,★☆☆)如圖,點A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)在二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象上,則方程ax2+bx+c=0的解

的一個近似值可能是

(

)

A.2.18

B.2.68

C.-0.51

D.2.45對應目標編號M9121003D解析

D由圖象可得,方程ax2+bx+c=0的解介于2.18和2.68之間,故選D.學科素養幾何直觀6.[一題多解](★☆☆)設A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=-(x+1)2上的三點,則y1,y2,y3的大小關系為

(

)A.y3>y2>y1

B.y3>y1>y2

C.y1>y2>y3

D.y1>y3>y2

對應目標編號M9121002C解析

C解法一(直接代入法):因為A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=-(x+1)2上的三點,所以當x=-2時,y1=-(-2+1)2=-1;當x=1時,y2=-(1+1)2=-4;當x=2時,y3=-(2+1)2=-9,則y1,y2,y3的大小關系為y1>y2>y3,故選C.解法二(函數性質法):拋物線y=-(x+1)2的對稱軸是直線x=-1,所以點A(-2,y1)關于直線x=-1的對稱點為A'(0,y1).因為函數的二次項系數為-1<0,則當x>-1時,y隨x的增大而減小,因為0<1<2,所以y1>y2>y3,故選C.解法三(點到對稱軸的距離法):拋物線y=-(x+1)2的對稱軸是直線x=-1,開口向下,則離對稱軸越近的點相應的函數值越大,點A距離對稱軸1個單位,點B距離對稱軸2個單位,點C距離對稱軸3個單位,所以y1>y2>y3,故選C.方法歸納

二次函數的函數值的大小比較方法(1)直接代入法:將已知點的橫坐標代入二次函數表達式,求出函數值后直接比較

大小;(2)函數性質法:確定二次函數圖象的開口方向和對稱軸,然后將已知點轉化到對

稱軸的同一側,根據二次函數的增減性比較函數值的大小;(3)點到對稱軸的距離法:確定二次函數圖象的開口方向和對稱軸,開口方向向上

(下)時,點到對稱軸的距離越小,相應的函數值越小(大).7.

(2024安徽淮北月考,9,★★☆)如圖所示的是一個橫截面

為拋物線形狀的拱橋,當水位在l時,水面寬為4m,拱頂(拱橋洞的最高點)距離水

面2m,則當水面寬為3m時,水位上升了

(

)

A.0.675m

B.0.875m

C.0.975m

D.1.125m對應目標編號M9121004B情境題現實生活解析

B建立如圖所示的坐標系,設拋物線的表達式為y=ax2+c,由題意得c=2,

將點A(2,0)代入拋物線表達式,得0=4a+2,解得a=-

,故拋物線的表達式為y=-

x2+2.當水面寬為3m,即x=1.5時,y=-

×1.52+2=0.875,故選B.

8.(2024安徽合肥濱湖壽春中學月考,8,★★☆)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖

象如圖所示,下列結論:①abc>0;②2a+b=0;③a-b+c>0;④m為任意實數,則a+b≥

am2+bm.其中正確的個數是

(

)

A.1

B.2

C.3

D.4對應目標編號M9121002B解析

B①拋物線的對稱軸位于y軸右側,則a、b異號,即ab<0.拋物線與y軸交于正半軸,則c>0,所以abc<0.故①錯誤,不符合題意.②∵拋物線的對稱軸為直線x=-

=1,∴b=-2a,即2a+b=0,故②正確,符合題意.③∵拋物線與x軸的一個交點在點(3,0)的左側,對稱軸為直線x=1,∴拋物線與x軸的另一個交點在點(-1,0)的右側,∴當x=-1時,y<0,即a-b+c<0,故③錯誤,不符合題意.④由圖象可知當x=1時,函數取得最大值,∴a+b+c≥am2+bm+c,即a+b≥am2+bm,故④正確,符合題意.故選B.9.(★★★)已知二次函數y=-(x-h)2+4(h為常數),在自變量x

的值滿足1≤x≤4的情況下,與其對應的函數值y的最大值為0,則h的值為

(

)A.2或3

B.2或6

C.-1或3

D.-1或6對應目標編號M9121002D解析

D當x<h時,y隨x的增大而增大,當x>h時,y隨x的增大而減小.分三種情況考慮:①若h<1≤x≤4,當x=1時,y取得最大值0,可得-(1-h)2+4=0,解得h=-1或h=3(舍);②若1≤x≤4<h,當x=4時,y取得最大值0,可得-(4-h)2+4=0,解得h=6或h=2(舍);③若1<h<4,當x=h時,y取得最大值4,不合題意.綜上所述,h的值為-1或6,故選D.學科素養抽象能力10.(2023四川南充中考,10,★★★)拋物線y=-x2+kx+k-

與x軸的一個交點為A(m,0),若-2≤m≤1,則實數k的取值范圍是

(

)A.-

≤k≤1B.k≤-

或k≥1C.-5≤k≤

D.k≤-5或k≥

B解析

B∵拋物線y=-x2+kx+k-

與x軸有交點,∴-x2+kx+k-

=0有實數根,∴Δ=k2+4

=k2+4k-5=(k+2)2-9≥0,解得k≤-5或k≥1.當k≤-5時,如圖所示,

依題意,當x=-2時,-4-2k+k-

≥0,解得k≤-

,當x=1時,-1+k+k-

≤0,解得k≤

,∴k≤-

.當k≥1時,如圖所示,

若1≤k≤2,則拋物線的對稱軸x=

在直線x=

和直線x=1之間,依題意,當x=-2時,-4-2k+k-

≤0,解得k≥-

,∴1≤k≤2;若k>2,則拋物線的對稱軸x=

在直線x=1右側,依題意,當x=-2時,-4-2k+k-

≤0,解得k≥-

,當x=1時,-1+k+k-

≥0,解得k≥

,∴k>2.綜上所述,k≤-

或k≥1,故選B.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,滿分20分)11.

(★☆☆)如圖,用四個全等的直角三角形紙片拼成一個

趙爽弦圖,拼成的正方形ABCD的邊長為2cm.設AE=BF=CG=DH=xcm,四邊形

EFGH的面積為ycm2,則y關于x的函數表達式為

(化為一般形式),其中自變量x的取值范圍是

.

對應目標編號M91210010<x<2y=2x2-4x+4答案

y=2x2-4x+4;0<x<2解析由題意可得,四邊形EFGH的面積=正方形ABCD的面積-4個直角三角形的面積,即y=2×2-4×

x(2-x)=2x2-4x+4,自變量x的取值范圍為0<x<2.情境題數學文化12.(2023青海西寧中考,15,★☆☆)已知蓄電池的電壓恒定,使用蓄電池時,電流I(單位:A)與電阻R(單位:Ω)是反比例函數關系,它的圖象如圖所示,如果以此蓄電

池為電源的用電器,流過的電流是2A,那么此用電器的電阻是

Ω.

18對應目標編號M9121007答案

18解析設反比例函數關系式為I=

,把(9,4)代入,得k=4×9=36,∴反比例函數關系式為I=

,當I=2時,2=

,解得R=18.13.(2023內蒙古赤峰中考,18,★★★)如圖,拋物線y=x2-6x+5與x軸交于點A,B,與y

軸交于點C,點D(2,m)在拋物線上,點E在直線BC上,若∠DEB=2∠DCB,則點E的

坐標是

.

或答案

或

解析在y=x2-6x+5中,當x=0時,y=5,則C(0,5),令y=0,則x2-6x+5=0,解得x1=1,x2=5,∴A(1,0),B(5,0),根據D點坐標,可知m=22-6×2+5=-3,∴D點坐標為(2,-3).設BC所在直線解析式為y=kx+b,∵C(0,5)、B(5,0),∴

解得

∴BC所在直線的解析式為y=-x+5.如圖,當點E在線段BC上時,設E(a,-a+5),可知∠DEB=∠DCE+∠CDE,∵∠DEB=2∠DCB,∴∠DCE=∠CDE,∴CE=DE.∵E(a,-a+5),C(0,5),D(2,-3),∴

=

,解得a=

,所以-a+5=

,∴E點的坐標為

.當E在CB的延長線上時,在△BDC中,BD2=(5-2)2+32=18,BC2=52+52=50,DC2=22+(5+3)2=68,∴BD2+BC2=DC2,∴BD⊥BC.如圖,在直線CB上取一點E',使BE'=BE,則△DEE'為等腰三角形,DE=DE',∴∠DEE'=∠DE'E.又∵∠DEB=2∠DCB,∴∠DE'E=2∠DCB,則E'為符合題意的點,∵OC=OB=5,∴∠OBC=45°,∴E'的橫坐標為5+

=

,縱坐標為-

.∴E'點的坐標為

.易知射線BC上不存在符合條件的點E.綜上所述,E點的坐標為

或

.14.(新獨家原創,★★☆)如圖,矩形OABC的頂點O是坐標原點,且AB=2,BC=4,對

角線AC、BO交于點P,反比例函數y=

的圖象經過點P,并與AB、BC分別交于點D、E,連接OD、DE、OE.

(1)k=

;(2)△ODE的面積為

.

對應目標編號M91210062答案

(1)2

(2)

解析

(1)∵四邊形OABC是矩形,∴OC=AB=2,OA=BC=4,∴B(4,2).∵點P為對角線的交點,∴P(2,1).∵反比例函數y=

的圖象經過點P,∴k=2×1=2.(2)由(1)知反比例函數表達式為y=

.當x=4時,y=

,∴D

.當y=2時,x=1,∴E(1,2),∴S△ODE=S矩形OABC-S△OCE-S△OAD-S△BDE=OA·OC-

k-

k-

BD·BE=2×4-

×2-

×2-×

×3=

.三、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分)15.(★☆☆)作出反比例函數y=

的圖象,并根據圖象解答下列問題:(1)當x=4時,求y的值;(2)當y=-2時,求x的值.對應目標編號M9121006解析列表:x…-6-4-3-22346…y…-2-3-4-66432…描點,連線,如圖所示.

(1)當x=4時,y=3.(2)當y=-2時,x=-6.16.(2024安徽合肥四十六中月考,17,★☆☆)如圖,拋物線y1=ax2-2x+c與x軸交于A(-1,0)和B(3,0)兩點.(1)求此拋物線的表達式;(2)過點A的直線y2=mx+n與拋物線在第一象限交于點D,若點D的縱坐標為5,請直

接寫出當y2<y1時,x的取值范圍.

解析

(1)由題意可設拋物線的表達式為y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,∴ax2-2x+c=ax2-2ax-3a,∴a=1,c=-3,∴拋物線的表達式為y=x2-2x-3.(2)當y=5時,x2-2x-3=5,解得x=-2或x=4,∵點D在第一象限,∴D的坐標為(4,5).由圖象可知,當x>4或x<-1時,y2<y1.四、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分)17.(★☆☆)某種氣球內充滿了一定質量的氣體,當溫度不變時,

氣球內氣體的壓強p(單位:kPa)是氣球的體積V(單位:dm3)的反比例函數.現測得

幾組實驗數據記錄如下:跨學科物理對應目標編號M9121007體積V

(單位:dm3)…1.01.62.02.43.0…壓強p(單位:kPa)…9660484032…(1)求p關于V的函數表達式;(2)當氣球內氣體的壓強大于120kPa時,氣球將爆炸,為了安全起見,求氣球的最

小體積.解析

(1)設p關于V的函數表達式為p=

,將(1,96)代入,得96=

,∴k=96,∴p關于V的函數表達式為p=

.(2)當p=120時,

=120,解得V=0.8.經檢驗,V=0.8是原方程的根.∵96>0,∴當V>0時,氣壓p隨V的增大而減小.∴當p≤120時,V≥0.8,∴氣球的最小體積為0.8dm3.18.(2024安徽安慶宿松期中,17,★☆☆)如圖,已知雙曲線y1=

與直線y2=ax+b相交于A,B兩點,且兩點坐標分別為(1,m),(-3,n).

(1)求a和b的值;(2)直接寫出當y1>y2時對應的x的取值范圍.

對應目標編號M9121006解析

(1)由題意可知A(1,m),B(-3,n)在雙曲線y1=

上,∴m=

=3,n=

=-1,∴A(1,3),B(-3,-1).∵A(1,3),B(-3,-1)在直線y2=ax+b上,∴

解得

(2)根據圖象得當y1>y2時,對應的x的取值范圍為0<x<1或x<-3.五、(本大題共2小題,每小題10分,滿分20分)19.(2024安徽阜陽月考,20,★☆☆)如圖,已知拋物線y=-x2+mx+3與x軸交于A,B兩

點,與y軸交于點C,點B的坐標為(3,0).

(1)求m的值及拋物線的頂點坐標;(2)點P是拋物線對稱軸l上的一個動點,當PA+PC的值最小時,求點P的坐標.

對應目標編號M9121002解析

(1)把B(3,0)代入拋物線y=-x2+mx+3,得0=-32+3m+3,解得m=2,∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴拋物線的頂點坐標為(1,4).(2)如圖,連接BC交拋物線對稱軸l于點P,此時PA+PC的值最小,設直線BC的表達式為y=kx+b,易知C(0,3),∵B(3,0),∴

解得

∴直線BC的表達式為y=-x+3,當x=1時,y=-1+3=2,∴當PA+PC的值最小時,點P的坐標為(1,2).20.

(2024安徽蕪湖無為期中,20,★★☆)某商店十月份銷售一種成本價為50元/件的商品,經市場調查發現,該商品每天的銷售量y(件)是售價x(元/件)的一次函數,其售價、銷售量的兩組對應值如下表:

對應目標編號M9121004售價x(元/件)5565銷售量y(件)9070(1)求銷售量y與售價x之間的函數關系式.(2)該商店十月份銷售該商品時,售價定為多少元/件,每天才能獲取最大利潤?最

大銷售利潤是多少?學科素養應用意識解析

(1)設銷售量y與售價x之間的函數關系式為y=kx+b,把(55,90),(65,70)代入,得

解得

∴銷售量y與售價x之間的函數關系式為y=-2x+200.(2)設總利潤為W元,則W=y(x-50)=(x-50)(-2x+200)=-2x2+300x-10000=-2(x-75)2+1250,∵-2<0,∴當x=75時,W最大,最大值為1250.答:售價定為75元/件時,每天才能獲取最大利潤,最大銷售利潤是1250元.六、(本題滿分12分)21.(2022山東濰坊中考,23,★★☆)為落實“雙減”政策,

老師布置了一項這樣的課后作業:二次函數的圖象經過點(-1,-1),且不經過第一象限,寫出滿足這些條件的一個函

數表達式.【觀察發現】請完成作業,并在直角坐標系中畫出大致圖象.【思考交流】小亮說:“滿足條件的函數圖象的對稱軸一定在y軸的左側.”小瑩說:“滿足條件的函數圖象一定在x軸的下方.”你認同他們的說法嗎?若不認同,請舉例說明.新考向開放性試題【概括表達】小博士認為這個作業的答案有太多種,老師不方便批閱,于是探究了二次函數y=

ax2+bx+c的圖象與系數a,b,c的關系,得出了提高老師作業批閱效率的方法.請你

探究這個方法,寫出探究過程.

解析【觀察發現】y=-x2(答案不唯一).圖象如圖所示.【思考交流】我不認同他們的說法,例如:拋物線y=-x2的對稱軸為y軸,∴小亮的說法不正確;∵拋物線的頂點在x軸上,∴小瑩的說法不正確.【概括表達】由二次函數的圖象經過(-1,-1),可以得到a-b+c=-1,∵圖象不過第一象限,∴a<0且c≤0.①當圖象的對稱軸在y軸及y軸左側時,均符合要求,此時-

≤0,∵a<0,∴b≤0;②當圖象的對稱軸在y軸右側時,則

∵a<0,∴

綜上所述,老師批閱作業的方法:第一步:確認a<0,c≤0,a-b+c=-1;第二步:若b≤0,則表達式正確;若b>0,則需驗證b2-4ac≤0,成立則表達式正確,否

則錯誤.七、(本題滿分12分)22.(★★☆)行駛中的汽車,在剎車后由于慣性的作用,還要向前方滑行一段距離

才能停止,這段距離稱為“剎車距離”,為了了解某型號汽車的剎車性能,對這種

汽車進行了測試,測得數據如下表:

對應目標編號M9121004剎車時車速x/km·h-10102030405060剎車距離y/m00.31.02.13.65.57.8(1)建立平面直角坐標系,以剎車時車速為自變量,剎車距離為因變量,根據上表對

應值作出函數的大致圖象.(2)觀察圖象估計函數的類型,并確定函數表達式.(3)有一輛該型號汽車在高速路上發生了一次交通事故,現場測得剎車距離為46.5m,則該汽車剎車時的車速是多少?請問事故發生時,汽車是超速(該高速路限速120km/h)行駛還是正常行駛?解析

(1)函數圖象如圖所示.(2)該函數為二次函數,設函數表達式為y=ax2+bx+c.把題表內前三對數據代入,得