第15課時

二次函數的圖象與系數a、b、c的關系

內蒙古中考真題及拓展3

考點精講1

重難點分層練2二次函數的圖象與系數a、b、c的關系根據二次函數圖象判斷相關結論根據二次函數圖象判斷a、b、c的關系式與0的關系與一元二次方程的關系與一次函數的關系二次函數與一元二次方程、一次函數的關系二次函數的圖象與系數a、b、c的關系考點精講【對接教材】北師：九下第二章P51～P55；

人教：九上第二十二章P43～P48.1考點二次函數的圖象與系數a、b、c的關系1.根據二次函數圖象判斷相關結論圖象(草圖)結論a＞0；b______0；c______0；b2－4ac______0a______0；b______0；c______0；b2－4ac______0＝＝＝＞＞＝＞圖象(草圖)結論a＜0；b______0；c______0；b2－4ac______0a______0；b______0；c______0；b2－4ac＞0＞＜＜＜＞＝2.根據二次函數圖象判斷a、b、c的關系式與0的關系結論形式聯系知識觀察圖象

結論判定a＞0a＜02a＋b對稱軸x＝－與直線x＝1的位置關系對稱軸x＝－在直線x＝1左側

2a＋b＞02a＋b＜0對稱軸x＝－與直線x＝1重合2a＋b＝0對稱軸x＝－在直線x＝1右側

2a＋b＜02a－b＞0結論形式聯系知識觀察圖象

結論判定a＞0a＜02a－b對稱軸x＝－與直線x＝－1的位置關系對稱軸x＝－在直線x＝－1左側2a－b＜02a－b＞0對稱軸x＝－與直線x＝－1重合2a－b＝0對稱軸x＝－在直線x＝－1右側2a－b＞02a－b＜0結論形式聯系知識觀察圖象

結論判定a＞0a＜0a＋b＋c拋物線與直線x＝1的交點的位置拋物線與直線x＝1的交點在x軸上方a＋b＋c>0拋物線與直線x＝1的交點在x軸上a＋b＋c＝0拋物線與直線x＝1的交點在x軸下方a＋b＋c<0結論形式聯系知識觀察圖象

結論判定a＞0a＜0a－b＋c拋物線與直線x＝－1的交點的位置拋物線與直線x＝－1的交點在x軸上方a－b＋c>0拋物線與直線x＝－1的交點在x軸上a－b＋c＝0拋物線與直線x＝－1的交點在x軸下方a－b＋c<02考點二次函數與一元二次方程、一次函數的關系與一元二次方程的關系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解?二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點的橫坐標值．1.拋物線與x軸有兩個交點?方程ax2＋bx＋c＝0有兩個_________的實數根?b2－4ac＞0；2.拋物線與x軸有且只有一個交點?方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相等的實數根?b2－4ac________0；3.拋物線與x軸無交點?方程ax2＋bx＋c＝0_______________?b2－4ac________0不相等＝無實數根＜與一次函數的關系一次函數y＝kx＋n(k≠0)的圖象l與二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象G的交點個數，由方程組的解的數目確定，方程組有兩組不同的解?l與G有兩個交點；方程組只有一組解?l與G只有一個交點；方程組無解?l與G沒有交點重難點分層練例1已知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝－1，與x軸的一個交點為

B(1，0).結合圖中信息，填空(填“＞”、“＜”或“＝”)．一題多設問例1題圖(1)a________0；

2a－b________0；b________0；

c________0；abc________0；＞＝＞＜＜回顧必備知識(2)b2－4ac________0；(3)a－b＋c________0；(4)4a－2b＋c________0；(5)9a－3b＋c________0；(6)3a＋c________0；(7)b2－c2________0.＞＜＜＝＝＜例1題圖例2已知拋物線y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m(m是常數).(1)若拋物線經過點(0，4)，則其與x軸是否有交點？若有，求出交點的坐標；若沒有，請說明理由；一題多設問解：(1)有交點，理由如下：∵拋物線經過點(0，4)，∴1－3m＝4，解得m＝－1，∴拋物線的解析式為y＝－x2＋3x＋4.提升關鍵能力令y＝0，即－x2＋3x＋4＝0,解得x1＝－1，x2＝4，∴該拋物線與x軸有交點，交點坐標為(－1，0)，(4，0)；(2)若拋物線與x軸交于A、B兩點，求m的取值范圍；(2)∵拋物線與x軸交于A、B兩點，∴m≠0，b2－4ac＝(1－2m)2－4m(1－3m)＝(4m－1)2＞0，解得m≠，∴m的取值范圍為m≠且m≠0;(3)若拋物線與y軸的負半軸交于一點，且該點到x軸的距離為2，P為拋物線上一點，若其到x軸的距離為3，求點P的坐標；(3)由題意知拋物線與y軸交于點(0，－2)，∴1－3m＝－2，解得m＝1，∴拋物線解析式為y＝x2－x－2.∵點P到x軸的距離為3，∴點P的縱坐標為3或－3,當－3＝x2－x－2時，方程無解，

當3＝x2－x－2時，解得x1＝

，x2＝

，

∴點P坐標為(，3)或(，3);(4)若該拋物線與直線y＝－2只有一個交點，求m的值；(4)∵該拋物線與直線y＝－2只有一個交點，∴交點坐標即為頂點坐標，

即

化簡得16m2－16m

＋1＝0，

解得m＝

即m的值為

或(5)若該拋物線與直線y＝2x＋3有兩個交點，其橫坐標分別為x1，x2，且x1＋x2＝3，求m的值．(5)∵該拋物線與直線y＝2x＋3有兩個交點，∴令mx2＋(1－2m)x＋1－3m＝2x＋3，化簡得mx2＋(－1－2m)x－2－3m＝0，∵x1＋x2＝3，∴＝3，解得m＝1.(6)已知點E(－1，0)、F(4，9)，若該拋物線與線段EF只有一個交點，求m的取值范圍．(6)拋物線y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m中，當x＝－1時，y＝m－1＋2m＋1－3m＝0，∴拋物線恒過點E(－1，0)，①當m＞0時，要使拋物線與線段EF只有一個交點，則當x＝4時，F(4，9)在拋物線上方，即16m＋4－8m＋1－3m＜9，解得m＜

，∴m的取值范圍為0＜m＜

；②同理當m＜0時，則有16m＋4－8m＋1－3m＞9，解得m＞

，此時，不符合題意，綜上所述，m的取值范圍為0＜m＜內蒙古中考真題及拓展1命題點二次函數與系數a、b、c的關系1.二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結論：①b＞0；②a－b＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有兩個不相等的實數根；④當x＜－1或x＞3時，y＞0，上述結論中正確的是________．(填上所有正確結論的序號)．第1題圖②③④拓展訓練2.已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的自變量x與函數y的部分對應值見表格，則下列結論：①c＝2；②b2－4ac>0；③方程ax2＋bx＝0的兩根為x1＝－2，x2＝0；④7a＋c<0.其中正確的有(

)A.①④B.②③C.③④D.②④x…－3－2－112…y…1.8753m1.8750…B3.如圖，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經過點(1，2)，且與x軸交點的橫坐標分別為x1、x2，其中－1<x1<0，1<x2<2，下列結論：①abc>0；②2a＋b<0；③4a－2b＋c>0；④當x＝m(1<m<2)時，am2＋bm<2－c；⑤b>1.其中正確的有________．(填寫正確的序號)第3題圖②④⑤2命題點二次函數與一元二次方程4.已知二次函數y＝(a－2)x2－(a＋2)x＋1，當x取互為相反數的任意兩個實數值時，對應的函數值y總相等，則關于x的一元二次方程(a－2)x2－(a＋2)x＋1＝0的兩根之積為(

)A.0B.－1C.－D.－D拓展訓練5.在平面直角坐標系xOy中，若拋物線y＝x2＋2x＋k與x軸只有一個交點，則k＝________．16．如圖，拋物線y＝x2＋mx與直線y＝－x＋b交于點A(2，0)和點B.(1)求m和b的值；第6題圖解：(1)∵拋物線y＝x2＋mx經過點A(2，0)，∴4＋2m＝0，解得m＝－2.∵直線y＝－x＋b經過點A(2，0)，∴－2＋b＝0，解得b＝2；(2)求點B的坐標，并結合圖象寫出不等式