習題課空間向量的應用課標要求素養要求通過對空間向量的學習，能熟練利用空間向量判斷(或證明)空間線、面的位置關系，求點、線、面間的距離、空間角，及解決有關探索性問題.通過空間向量的應用，進一步提升學生的邏輯推理及數學運算素養.新知探究利用向量解決幾何問題具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先將原問題轉化為等價的向量問題，即將已知條件中的角轉化為向量的夾角，線段長度轉化為向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的運算解決該向量問題，從而原問題得解.本節我們對空間向量的應用進行總結，學會利用空間向量的有關知識解決立體幾何中的綜合問題.1.判斷(證明)空間線、面的位置關系問題

主要是判斷(證明)線、面之間的平行、垂直關系，一般是轉化為判斷直線的方向向量與平面的法向量的關系.2.求空間點、線、面的距離與空間角

線線距可轉化為點線距，線面距、面面距可轉化為點面距.求線線、線面、面面角時，注意與向量夾角之間的區別與聯系.3.探究性問題

一般以解答題形式呈現，常涉及線、面平行、垂直位置關系的探究或空間角的計算問題.求解時，應先假設存在，把要成立的結論當作條件，利用空間向量，進行邏輯推理.拓展深化[微判斷]1.直線的方向向量與平面的法向量垂直，則直線與平面平行.()

提示直線也可能在平面內.2.如果a，b與平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一個法向量.(

)

提示當a，b共線時，n就不一定是平面α的一個法向量.3.直線與平面所成的角就是直線的方向向量與平面的法向量所成的角.()

提示直線與平面所成的角的余角等于直線的方向向量與平面的法向量所成的角或其補角.×××[微訓練]1.若直線l∥α，且l的一個方向向量為(m，2m，1)，平面α的一個法向量為(1，2，4)，則m為(

)答案B2.若平面α的一個法向量為u1＝(－3，y，2)，平面β的一個法向量為u2＝(6，－2，z)，且α∥β，則y＋z＝________.答案－33.已知正方形ABCD的邊長為4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分別是AB，AD的中點，則點C到平面GEF的距離為________.[微思考]

利用向量坐標解決立體幾何問題的關鍵、難點是什么？

提示利用向量坐標解決立體幾何問題的關鍵在于找準位置，建立適當、正確的空間直角坐標系，難點是在已建好的坐標系中表示出已知點的坐標，只有正確表示出已知點的坐標，才能通過向量的坐標運算，實現幾何問題的代數化解法.[微思考]

利用向量坐標解決立體幾何問題的關鍵、難點是什么？

提示利用向量坐標解決立體幾何問題的關鍵在于找準位置，建立適當、正確的空間直角坐標系，難點是在已建好的坐標系中表示出已知點的坐標，只有正確表示出已知點的坐標，才能通過向量的坐標運算，實現幾何問題的代數化解法.證明取BC中點H，連接OH，則OH∥BD，又四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，(1)求證：AE∥平面BCF；(2)求證：CF⊥平面AEF.又四邊形BDEF為平行四邊形，即CF⊥AF，CF⊥AE，又AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，∴CF⊥平面AEF.規律方法(1)恰當建立坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關鍵.(2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數量積為零，或證直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉化為向量運算.(3)用向量證明垂直的方法①線線垂直：證明兩直線的方向向量互相垂直，即證它們的數量積為零.②線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或將線面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或將面面垂直的判定定理用向量表示.(3)用向量證明垂直的方法①線線垂直：證明兩直線的方向向量互相垂直，即證它們的數量積為零.②線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或將線面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或將面面垂直的判定定理用向量表示.證明如圖，建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，求證：平面A1AD⊥平面BCC1B1.令y1＝－1，則x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1，0).∴n1⊥n2.∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.平面MCD∩平面BCD＝CD，所以ME⊥平面BCD.因為△BCD是正三角形，所以BE⊥CD，以E點為坐標原點，ED，EB，EM所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖，解設CD的中點為E，連接ME，BE，因為△MCD是正三角形，所以ME⊥CD.又因為平面MCD⊥平面BCD，ME?平面MCD，【訓練2】正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F，G，H分別是棱AB，AD，B1C1，D1C1的中點，則平面EFD1B1和平面GHDB的距離是________.解析因為平面EFD1B1∥平面GHDB，EF∥平面GHDB，所以平面EFD1B1和平面GHDB的距離，就是EF到平面GHDB的距離，也就是點F到平面GHDB的距離.(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且平面MPA與平面CPA的夾角為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC為等腰直角三角形，由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OB，AC?平面ABC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，設平面PAM的法向量為n＝(x，y，z).【訓練3】已知點E，F分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC夾角的余弦值為________.解析如圖，以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系Dxyz.設DA＝1，則A(1，0，0)，易知平面ABC的一個法向量為m＝(0，0，－1)，設平面AEF與平面ABC的夾角為θ，(1)證明因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB?平面

ABCD，所以AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，所以PD⊥平面PAB.(2)解取AD的中點O，連接PO，CO.因為PA＝PD，所以PO⊥AD.因為PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.因為CO?平面ABCD，所以PO⊥CO.因為AC＝CD，所以CO⊥AD.如圖，建立空間直角坐標系Oxyz.由題意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).取x＝1，則y＝－2，z＝2，所以n＝(1，－2，2)為平面PCD的一個法向量.因為BM?平面PCD，所以要使BM∥平面PCD，角度2與空間角有關的探索性問題【例4－2】在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，點D為BC的中點.(1)證明設A1C交AC1于點F，則F為A1C的中點，連接DF.因為點D為BC的中點，所以在△A1BC中，A1B∥DF，而DF?平面AC1D，A1B?平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D.所以存在符合題意的點E，此時點E為A1C的中點.規律方法(1)對于存在判斷型問題的求解，應先假設存在，把要成立的結論當條件，據此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規定范圍內的解”等.(2)對于位置探索型問題，通常借助向量，引進參數，綜合已知和結論列出等式，解出參數.(1)求證：AD⊥PC；(2)試確定點F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等.(2)解因為側面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，側面PAD∩底面ABCD＝AD，PA?側面PAD，所以PA⊥底面ABCD，所以直線AC，AD，AP兩兩垂直，以A為原點，直線AD，AC，AP為坐標軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0，0，0)，D(－2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(－1，1，0)，P(0，0，2)，(1)證明如圖所示，在平行四邊形ABCD中，連接AC，令x＝1，得n＝(1，－1，－1).設平面PDC的法向量為n＝(x，y，z)，

一、素養落地1.通過學習應用空間向量解決線、面位置關系問題，求空間的距離和空間角的大小問題，使學生掌握應用空間向量解決立體幾何常見問題的一般方法，在此過程中提升數學運算素養和直觀想象素養.2.利用空間向量求空間角，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點、線、面的位置關系的判定和計算程序化、簡單化.主要是建系、設點、計算向量的坐標、利用數量積的夾角公式計算.3.利用空間向量求空間的距離首先應掌握點到直線的距離、點到平面的距離的求法，其他的空間中的距離問題一般是轉化為這兩種距離求解.二、素養訓練1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC與B1D所成角大小為(

)答案D2.已知平面α內有一點M(1，－1，2)，平面α的一個法向量為n＝(6，－3，6)，則下列點P中，在平面α內的是(

) A.P(2，3，3) B.P(－2，0，1) C.P(－4，4，0) D.P(3，－3，4)答案A3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD與平面A1C1D所成角的正弦值是(

)答案B4.已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量u＝(1，－3，z)，向量ν＝(3，

－2，1)與平面α平行，則z＝________.解析由題意知u⊥ν，∴3＋6＋z＝0，∴z＝－9.答案－9備用工具&資料3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD與平面A1C1D所成角的正弦值是(

)答案B二、素養訓練1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC與B1D所成角大小為(

)答案D[微訓練]1.若直線l∥α，且l的一個方向向量為(m，2m，1)，平面α的一個法向量為(1，2，4)，則m為(

)答