第二課時用空間向量研究夾角問題課標要求素養要求1.能用向量方法解決簡單夾角問題.2.通過用空間向量解決夾角問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.通過學習空間角的計算步驟和方法，把兩異面直線所成的角、線面角、二面角轉化為向量的夾角求解，培養學生的直觀想象素養和數學運算素養.新知探究1970年4月25日18時，新華社授權向全世界宣布：1970年4月24日，中國成功地發射了第一顆人造衛星，衛星運行軌道的近地點高度439千米，遠地點高度2384千米，軌道平面與地球赤道平面夾角68.5度，繞地球一圈114分鐘.衛星重173千克，用20.009兆赫的頻率播放“東方紅”樂曲.這里的68.5度是軌道平面與地球赤道平面的夾角.問題上述的68.5度是如何計算出來的呢？提示求出兩個平面的法向量，利用法向量的夾角求二面角.1.兩條異面直線所成的角θ與〈u，v〉的關系是相等或互補設異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，2.直線和平面所成的角3.二面角(1)兩平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面

β的夾角.拓展深化[微判斷]1.兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等.()

提示兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等或互補，故錯誤.2.直線與平面所成的角等于直線的方向向量與該平面法向量夾角的余角.()

提示直線與平面所成的角和直線的方向向量與該平面法向量夾角互余或與其補角互余，故錯誤.3.兩個平面的夾角就是該二面角兩個面的法向量的夾角.(

)

提示兩個平面的夾角與該二面角兩個面的法向量的夾角相等或互補，故錯誤.×××[微訓練]1.設兩條異面直線a，b的方向向量分別為a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，則a與b所成的角為________.2.設直線a的方向向量為a＝(－1，2，1)，平面α的法向量為b＝(0，1，2)，則直線a與平面α所成角的正弦值為________.2.設直線a的方向向量為a＝(－1，2，1)，平面α的法向量為b＝(0，1，2)，則直線a與平面α所成角的正弦值為________.3.已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面的夾角的大小為________.答案45°提示60°.提示60°.題型一異面直線所成的角【例1】在三棱錐P－ABC中，△ABC和△PBC均為等邊三角形，且二面角P－BC－A的大小為120°，則異面直線PB和AC所成角的余弦值為(

)法二如圖所示，取BC的中點O，連接OP，OA，法二如圖所示，取BC的中點O，連接OP，OA，答案A建立如圖所示的空間直角坐標系，解建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，0，0)，設平面AMC1的法向量為n＝(x，y，z).(1)證明：AC⊥B1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.設直線B1C1與平面ACD1所成的角為θ，題型三兩平面的夾角【例3】如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1和平面DOB1夾角的余弦值.(1)證明因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD.因為AC∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，所以O1O⊥底面ABCD.【遷移】例3條件不變，求平面BA1C與平面A1CD的夾角的余弦值.規律方法利用向量方法求兩個平面的夾角的大小時，多采用法向量的方法，即求出兩個平面的法向量，然后通過法向量的夾角得到兩個平面的夾角的大小，這種方法思路簡單，但運算量大，所以求解時需特別注意仔細運算.【訓練3】已知正方形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，則平面PAB與平面PCD的夾角為(

) A.30° B.45° C.60° D.90°解析如圖所示，建立空間直角坐標系，設PA＝AB＝1，則A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).答案B一、素養落地1.本節課通過學習利用空間向量求三種空間角的大小或其三角函數值，實現了幾何問題代數化，在此過程中提升了學生的數學運算素養和直觀想象素養.2.利用空間向量求空間角，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點、線、面的位置關系的判定和計算程序化、簡單化.主要是建系、設點、計算向量的坐標、利用數量積的夾角公式計算.3.解決空間角問題，首先要注意熟記公式，其次要注意空間角和對應向量的夾角的區別.答案A答案A3.正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為(

)解析設正方體的棱長為1，建立空間直角坐標系如圖，則D(0，0，0)，答案D4.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為________.解析如圖，建立空間直角坐標系.由已知得A1(4，0，0)，B(4，4，3)，B1(4，4，0)，C(0，4，3).三、審題答題示范(二)利用空間向量求兩個平面的夾角聯想解題看到①想到建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量求二者夾角的余弦值.滿分示范解取AB的中點E，連接DE，DB，因為AB＝2CD，所以CD＝BE，又AB∥CD，CD＝BC，∠ABC＝90°，所以四邊形BCDE為正方形，不妨設CD＝1，則BC＝DE＝BE＝AE＝1，滿分心得(1)利用空間向量求平面的夾角運算量較大，思路簡單，所以需特別仔細，保證運算正確.(2)利用空間向量求兩平面夾角的步驟：建系→寫坐標→求法向量→計算數量積→結論.備用工具&資料3.二面角(1)兩平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面

β的夾角.[微訓練]1.設兩條異面直線a，