第二章一元二次方程專題4一元二次方程根的判別式、根與系數的關系的綜合應用問題數學九年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS數學九年級上冊BS版01專題解讀◎問題綜述

一元二次方程根的判別式、根與系數的關系是一元二次方

程中的兩種重要工具，前者用來判斷根的存在情況，屬于定性

判斷；后者用來研究根之間的關系，屬于定量計算.兩者一般結

合使用，先判斷根的情況，再計算.由于沒有直接求出方程的兩

根，因此大大減少了計算量，熟練運用這兩種工具可以有效提

高解題效率.◎要點歸納1.我們把

叫做一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）的根的判別式，通常用“

”表示.一元二次方程

ax2

＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）的根的情況可由Δ＝

b2－4

ac

來判斷.（1）若

，則方程有兩個不相等的實數根；（2）若

，則方程有兩個相等的實數根；（3）若

，則方程沒有實數根.b2－4

ac

Δ

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

一元二次方程的根與系數的關系中常見的變形公式：

（5）（

x1＋

m

）（

x2＋

m

）＝

x1

x2＋

m

（

x1＋

x2）＋

m2.注意：運用一元二次方程根與系數的關系時要檢查兩個隱含條

件：（1）確定方程一定是一元二次方程；（2）確定方程有實

數根.數學九年級上冊BS版02典例講練類型一

不解方程，判斷根的情況

關于

x

的一元二次方程

x2＋（

k

－3）

x

＋1－

k

＝0的根的情

況是

?.有兩個不相等的實數根

【思路導航】由于一元二次方程的根的情況與判別式Δ存在一個

等價關系，所以只需要判斷判別式與0的大小關系即可.【解析】Δ＝（

k

－3）2－4（1－

k

）＝

k2－6

k

＋9－4＋4

k

＝

k2－2

k

＋5＝（

k

－1）2＋4.∵（

k

－1）2＋4＞0，∴Δ＞0.∴方程總有兩個不相等的實數根.故答案為有兩個不相等的實數根.【點撥】判斷含參的一元二次方程的根的情況，一般有以下幾

種情況：①Δ＞0?原方程有兩個不相等的實數根；②Δ＝0?原方程有兩個相等的實數根；③Δ＜0?原方程沒有實數根.所以，關鍵是確定判別式與0的大小關系.

1.（2023·河南）關于

x

的一元二次方程

x2＋

mx

－8＝0的根的情

況是（

A

）A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根C.只有一個實數根D.沒有實數根A2.直線

y

＝

x

＋

a

不經過第二象限，則關于

x

的方程

ax2＋2

x

＋1

＝0實數解的個數是（

D

）A.0B.1C.2D.1或2D類型二

根據方程根的情況，求待定系數的取值范圍

若關于

x

的方程（

k

－1）2

x2＋（2

k

＋1）

x

＋1＝0有實數

根，則

k

的取值范圍是（

D

）A.

k

＞

且

k

≠1B.

k

≥

且

k

≠1C.

k

＞

D.

k

≥

【思路導航】先分兩類討論：①二次項系數為0；②二次項系數

不為0.再根據根的情況，由判別式列不等式求解.D

【點撥】此題中容易將方程默認為一元二次方程，從而得出“

k

≠1”的錯誤結論.在含參方程問題中，根據根的情況求待定系

數的取值范圍，一般解題步驟：（1）討論二次項系數是否為0.

①若二次項系數等于0，則不是一元二次方程，可能是一元一次

方程；②若二次項系數不等于0，則是一元二次方程.（2）根據

一元二次方程根的情況，判斷判別式的正負性，并列不等式.

（3）求解不等式.（4）對于前述的分類討論，需要寫出總結

語，如“綜上所述，……”.

1.（2023·聊城）若關于

x

的一元二次方程

mx2＋2

x

＋1＝0有實

數解，則

m

的取值范圍是（

D

）A.

m

≥－1B.

m

≤1C.

m

≥－1且

m

≠0D.

m

≤1且

m

≠0D2.已知關于

x

的一元二次方程

x2－3

x

＋

k

＝0有實數根.（1）求

k

的取值范圍；

（2）如果

k

是符合條件的最大整數，且一元二次方程（

m

－1）

x2＋

x

＋

m

－3＝0與方程

x2－3

x

＋

k

＝0有一個相同的根，求此時

m

的值.

類型三

利用根與系數的關系求代數式的值

【思路導航】先由根與系數的關系求出

x1，

x2的和與積；再將

代數式變形，用

x1＋

x2及

x1

x2表示；最后代入求值.也可以先求

出兩根，再代入求值.－18.5

2.已知關于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－

k

＝0有兩個不相等的實

數根.2028

（1）求

k

的取值范圍；解：（1）∵該方程有兩個不相等的實數根，∴Δ＝4＋4

k

＞0.解得

k

＞－1.∴

k

的取值范圍為

k

＞－1.

類型四

利用根與系數的關系求參數的值

若關于

x

的一元二次方程

x2－4

x

＋

m

＝0的兩個實數根分別

為

x1，

x2，且

x1＋3

x2＝5，則

m

的值為（

A

）A.

B.

C.

D.0【思路導航】先根據根與系數的關系求出

x1＋

x2的值；再結合

x1

＋3

x2＝5求出

x2；然后根據根與系數的關系求出

m

的值；最后

把

m

的值代入原方程，檢驗Δ≥0是否成立.A

【點撥】對于根與系數的關系，需要熟練并靈活運用.處理“利

用根與系數的關系求參數的值”問題，核心是列出方程

（組），然后再解方程（組）.需要注意的是，求出參數后，需

要檢驗：把參數的值代入原方程，求出判別式，檢查Δ≥0是否

成立；檢查二次項系數是否為0.

1.已知關于

x

的方程

x2＋2（

m

－1）

x

＋

m2－

m

＝0有兩個實數

根α，β，且α2＋β2＝12，則

m

的值為（

A

）A.－1B.－4C.－4或1D.－1或4A2.（2023·黃岡）已知關于

x

的一元二次方程

x2－3

x

＋

k

＝0的兩

個實數根為

x1，

x2.若

x1

x2＋2

x1＋2

x2＝1，則實數

k

＝

?.3.已知關于

x

的一元二次方程

x2－6

x

＋

m

＋4＝0有兩個實數根

x1，

x2.－5

（1）求

m

的取值范圍；解：（1）∵關于

x

的一元二次方程

x2－6

x

＋

m

＋4＝0有兩個實

數根

x1，

x2，∴Δ＝（－6）2－4（

m

＋4）＝20－4

m

≥0，解得

m

≤5.∴

m

的取值范圍為

m

≤5.（2）若

x1，

x2滿足3

x1＝｜

x2｜＋2，求

m

的值.解：（2）∵關于

x

的一元二次方程

x2－6

x

＋

m

＋4＝0有兩個實

數根

x1，

x2，∴

x1＋

x2＝6，①

x1

x2＝

m

＋4.②∵3

x1＝｜

x2｜＋2，∴有以下兩種情