函數專題二次函數在閉區間上的最值問題(5大題型)(原卷版)_第1頁
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文檔簡介

二次函數在閉區間上的最值問題一、二次函數的三種形式1、一般式:2、頂點式:若二次函數的頂點為,則其解析式為3、兩根式:若相應一元二次方程的兩個根為,,則其解析式為二、二次函數在閉區間上的最值二次函數在區間上的最值,核心是函數對稱軸與給定區間的相對位置討論,一般為:對稱軸在區間的左邊、中間、右邊三種情況.設,求在上的最大值與最小值。將配方,得頂點為,對稱軸為(1)當時,的最小值為,的最大值為與中的較大值;(2)時,若,由在上是增函數,則的最小值為,最大值為;若,由在上是減函數,則的最小值為,最大值為;三、二次函數在閉區間上的最值類型1、定軸定區間型:即定二次函數在定區間上的最值,其區間和對稱軸都是確定的,要將函數配方,再根據對稱軸和區間的關系,結合函數在區間上的單調性,求其最值(可結合圖象);2、動軸定區間型:即動二次函數在定區間上的最值,其區間是確定的,而對稱軸是變化的,應根據對稱軸在區間的左、右兩側和穿過區間這三種情況分類討論,再利用二次函數的示意圖,結合其單調性求解;3、定軸動區間型:即定二次函數在動區間上的最值,其對稱軸確定而區間在變化,只需對動區間能否包含拋物線的定點橫坐標進行分類討論;4、動軸動區間型:即動二次函數在動區間上的最值,其區間和對稱軸均在變化,根據對稱軸在區間的左、右兩側和穿過區間這三種情況討論,并結合圖形和單調性處理。題型一定軸定區間求二次函數最值【例1】(2023秋·河南鄭州·高一校考階段練習)函數的值域是()A.B.C.D.【變式11】(2022秋·新疆烏魯木齊·高一??计谥校┮阎瘮?,則在區間的值域為.【變式12】(2023·全國·高一假期作業)已知函數,則的值域為()A.B.C.D.【變式13】(2023秋·廣西玉林·高一??奸_學考試)已知二次函數.(1)寫出這個二次函數圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標;(2)當時,求函數最大值、最小值.題型二定軸動區間求二次函數最值【例2】(2023秋·江西宜春·高三??茧A段練習)已知函數,不等式的解集為,且.(1)求函數的解析式;(2)設函數在上的最小值為,求的表達式.【變式21】(2023·全國·高一專題練習)已知二次函數,,的最大值為16;(1)求函數的解析式;(2)求函數在區間的最大值.【變式22】(2023秋·貴州黔東南·高三??茧A段練習)已知函數.(1)求的解析式;(2)若為任意實數,試討論在上的單調性和最小值.【變式23】(2023秋·陜西渭南·高一考階段練習)已知函數.(1)若,求函數的最小值和最大值;(2)當,時,求函數的最小值.【變式24】(2023·全國·高一專題練習)已知二次函數滿足,且.(1)求的解析式;(2)求函數在區間,上的最大值.題型三動軸定區間求二次函數最值【例3】(2023秋·陜西咸陽·高三??茧A段練習)已知二次函數.(1)若,求在上的最值;(2)求函數在上的最小值.【變式31】(2022秋·江蘇連云港·高一統考期中)已知函數,.(1)若,求實數的取值范圍;(2)求的最小值.【變式32】(2023·全國·高一專題練習)已知二次函數滿足,且.(1)求的解析式;(2)設函數,當時,求的最小值.【變式33】(2022秋·山東淄博·高一??计谥校┮阎猘,若函數在區間[1,2]上的最小值為(1)求的函數表達式;(2)若求的最大值.題型四動軸動區間求二次函數最值【例4】(2023·全國·高一課堂例題)設是正數,且函數在上的最大值為,求的表達式.【變式41】函數在區間上的最小值為,求的表達式.【變式42】已知二次函數,設對任意的,都有恒成立,求實數的取值范圍.【變式43】設函數在閉區間上的最大值為,最小值為,求與的表達式.題型五逆向型二次函數最值問題【例5】(2023秋·山東淄博·高一統考開學考試)已知二次函數,當時,若該函數的最大值為m,最小值為,則m等于()A.1B.2C.3D.4【變式51】(2022秋·江蘇鎮江·高一??奸_學考試)當時,函數有最大值3,最小值2,則實數的取值范圍是()A.B.C.D.【變式52】(2023·全國·高一專題練習)已知函數,當時,,則實數的取值范圍是()A.B.C.D.【變式53】(2023·全國·高一專題練習)(多選)已知函數在上的值域為,則實數的值可以是()A.1B.2C.

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