2022年中考數學壓軸題

3

1.如圖1,已知經過原點的拋物線歹=以2+&與X軸交于另一點/0),在第一象限內

與直線y=x交于點8(2,/)

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線OB下方的拋物線上有一點C,點C到直線OB的距離為近,求點C的坐標；

(3)如圖2,若點“在拋物線上，且/八四。=/48。，在(2)的條件下，是否存在點

2

將點4、8的坐標代入二次函數表達式得：［0=?(|)+|6；解得：(a=2

故拋物線的表達式為：y=2?-3x…①；

(2)如圖，過點C作CH〃'軸交于點，，

：.ZOHC=45°,

又,.?CATLOB,

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:?/MHC=/MCH=45°,

CM-A/2,

：.HC=V2CA/=2,

設點、H(/,t),則C(32?-3z),

??,點C在直線80的下方，

HC=t-2?+3t=2,解得：t=\,

：.C(1,-1)；

(3)如圖(2)交y軸于點M

,：4MBO=NABO,0B=0B,NN0B=NAOB=45°,

???△BON絲△405(AAS),

：?ON=OA=*,

3

將點8、N(0,-)坐標代入一次函數表達式并解得：

直線8M的表達式為：尸*1■方…②，

QQ45

聯立①②并解得：x=-夕故點M(-g,-),

?：△POCSAMOB,OB=2y/2,OC=近,

OB0M

???—_—_乙,7

0COP

即：OM=2OP,NMOB=NPOC,

①當點P在第一象限時，

過點P作P0LO4于點0,過點/作用GLCW于點G,

ZBON=ZAOC=45°

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:./MON=/POA,

??.△MOGs△尸。0,

?：OM=2OP,

OMMGOG

???------一---------—--------—-O乙,

OPPQOQ

又。G=會，MG=w，

453

???0°=打也=話

即點P17)

6416

②同理當點P在第三象限時，

點尸(一擊一曲；

453R41

綜上，點P(氤痛)或(一話一才

2.在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+fcv+c(a#0)的圖象與x軸的交點為/(-3,0),

B(1,0)兩點，與y軸交于點C(0,-3),頂點為。，其對稱軸與x軸交于點E.

(1)求二次函數解析式；

(2)連接NC,AD,CD,試判斷△/QC的形狀，并說明理由;

(3)點P為第三象限內拋物線上一點，△NPC的面積記為S,求S的最大值及此時點尸

的坐標;

(4)在線段/C上，是否存在點「使?為等腰三角形？若存在，直接寫出點尸的

坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)二次函數表達式為：y—a(x+3)(x-1)—a(7+2x-3),

貝!|-3a=-3,解得：a—\,

函數的表達式為：y=/+2x-3；

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(2)由(I)知，點。(-1,-4),

AC=3CD=y/2,AD=y/(-l+3)2+(-4)2=V20,

：.AD2^AC2+CD2,

故△/￡>€1為直角三角形；

(3)過點P作PH//y軸交AC于點H,

圖2

將點4C的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線AC的表達式為：y=-x-3,

設點P(x,)+2x-3),則點，(x,-X-3),

(-X-3-X2-2X+3)=-1(x+|)2+^,

當x=—|時，S最大值為小此時點P(-|,-竽);

(4),：0A=0C=3,：.ZOAC=ZOCA=45°,

圖3

△NEF為等腰直角三角形，AE=2=EF,

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:.點F（-1,-2）；

②當時，

同理可得：點尸（-3+V2,-V2）；

③當/尸=￡尸時，

同理可得：點尸（-2,-1）；

故點F的坐標為：（-1,-2）或（-3+&，—V2）或（-2,-1）.

3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線Ci：y=ax2+bx-1經過點4（-2,1）和點8（-1,

-1）,拋物線C2：y=2?+x+l,點M為C2上一點，軸交。于點N.

（1）求拋物線Ci的解析式；

（2）①求的最小值；

②當△⑷I/N是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求M的坐標；

（3）請直接寫出當△力8N為銳角三角形時，點N橫坐標x的取值范圍.

解：（1）：拋物線Ci：yuaf+for-1經過點N（-2,1）和點8（-1,-1）,

???，丁”】，解得｛廣：，

IQ—b-1=-13=1

二拋物線Cl的解析式為y=x2+x-1；

（2）①設M（62?+/+1）,則N（/,?+?-1）,

:.MN=4+2,

Vl>0,

.?.當f=0時,九W有最小值為2；

②當//NA/=90°,AN=NM時,AN=t-（-2）=f+2,MN=F+2,

.*.r+2=?+2,解得“=0（舍），）=1,此時點A/坐標為（1,4）,

當/NA/N=90°,時，有汁2=尸+2,解得“=0,2=1（舍），此時點M坐標

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為(0,1),

綜上所述，當是以為直角邊的等腰直角三角形時，用的坐標為(0,1)或(1,

4)；

(3)如圖，過點/作交拋物線于M,過點8作8M_L/8交拋物線于M，

過工作/Q〃x軸，過Ni作NiQ〃y軸，過8作8SL/Q于S,過M作MT,8s于T,

\"A(-2,1),5(-1,-1),

；.NS=1,8s=2,

設M(w,m2+m-1),N2(n>n2+?-1),則

AQ=m+2,N\Q=m2+m-2,NiT=n+\,8T=M+〃，

/AQNi=//S8=NBTN2=ZBANI=NABN2=9Q°

：.NQANi+/BAS=NBAS+NABS=NABS+NNiBT=9&

：.Z.QAN\=NABS,NNzBT=ZBAS

：.叢ANiQs叢BASsZ\N2BT

.N、QBTAS?m2+m-2n2+n1

"AQ~N2T-BS'⑷m+2-n+1-2

.*加1=-2(舍去),m2=I；n\--1(舍去)，“2=4,

1o

故a/BN為銳角三角形時，點N橫坐標x的范圍為：-<X<1.

4.如圖，在RtA48C中，NACB=9G°,。為邊上的一點，以4)為直徑的。。交BC

于點E,交AC于點、F,過點C作CGL/8交力8于點G,交AE于點、H,過點E的弦EP

交于點。(EP不是直徑)，點。為弦EP的中點，連結8P,8P恰好為。。的切線.

(1)求證：8c是。。的切線.

(2)求證：EF^ED.

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3

(3)若sinN48C=^,AC=\5,求四邊形的面積.

(1)證明：連接OE,0P,

,?I。為直徑，點0為弦￡尸的中點，

???依，4"點。為弦"的中點，

，力8垂直平分EP,

:?PB=BE,

°：OE=OP,OB=OB,

:.△BEOQXBPO(SSS),

???/BEO=/BPO,

???8戶為OO的切線，

；?NBPO=90°,

AZBEO=90°,

：.OELBC,

???8C是。。的切線.

(2)證明：?：NBEO=NACB=90°,

：.AC//OE,

：.ZCAE=ZOEA,

9

：OA=OE9

：.NEAO=N4EO,

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：為的。。直徑，點。為弦皮的中點,

：.EPVAB,

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?CG_L/B,

.CG//EP,

9ZACB=ZBEO=90°,

.AC//OE,

?NCAE=/AEO,

?OA=OE,

.ZEAQ=ZAEO,

?NCAE=NEAO,

?NACE=/AQE=90°,AE=AE,

?△ACE冬AAQE(4/S),

?CE=QE,

.NAEC+NCAE=NEAQ^NAHG=90°,

.ZCEH=ZAHG9

?/AHG=/CHE,

./CHE=/CEH,

.CH=CE,

.CH=EQ,

?四邊形CHQE是平行四邊形，

*CH=CE,

.四邊形C7/0E是菱形，

AG3

■sinN48c=sinZJCG==一，

AC5

*JC=15,

?4G=9,

.CG=y/AC2-AG2=12,

?△ACE學AAQE,

.AQ=AC=\5,

?0G=6,

'HQ1=HG2+QG2,

.暗=(12-HQ)2+62,

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解得："。=學，

:.CH=HQ=*

，四邊形CHQE的面積=C〃?GQ=學x6=45.

5.如圖，△/8C中，AB=AC,O。是△/8C的外接圓，8。的延長線交邊4C于點D.

(1)求證：NBAC=2NABD；

(2)當△8CZ)是等腰三角形時，求/BCD的大小；

(3)當工。=2,8=3時，求邊BC的長.

'：AB^AC,

：.AB=AC,

：.OA±BC,

：.ZBAO=ZCAO,

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?：OA=OB,

：.NABD=/BAO,

：.ZBAC=2ZABD.

(2)解：如圖2中，延長/。交6C于〃.

圖2

①若BD=CB,WlJZC=ZBDC=ZABEH-ZBAC=3ZABD9

9：AB=AC,

：./ABC=/C,

???/DBC=2N4BD,

VZDBC+ZC+ZBDC=\80°,

：.8ZABD=180°,

???NC=3N力80=67.5°.

②若CD=CB,則/C8O=NCO8=3N/18。，

：.ZC=4ZABDf

VZZ)5C+ZC+ZCZ>5=180°,

???10/48。=180°,

：.ZBCD=4ZABD=72°.

③若O8=OC,則。與4重合，這種情形不存在.

綜上所述，NC的值為67.5°或72°?

(3)如圖3中，作4石〃8。交8。的延長線于￡.

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A

圖3

/.—=—=一，設。8=。力=4m0H=3a,

OHBH3

*：BH1=AB2-AH1=OB1-OH2,

???25-49〃2=16/-9。2,

-2_25

??。F

4

:.BC=2BH=翌.

6.已知，如圖：△/8C是等腰直角三角形，ZABC^90°,AB=10,D為4ABC外一點、,

連接N。、BD,過。作。垂足為H,交AC于E.

(1)若是等邊三角形，求DE的長；

【解答】解：(1)；△48。是等邊三角形,48=10,

：.NADB=60°,AD=AB=10,

'：DH±AB,

1

：.AH=抻=5,

：.DH=y/AD2-AH2=V102-52=5百，

?.?△/8C是等腰直角三角形，

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，NC48=45°,即N4E〃=45°,

...△/E4是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

(2)?:DHLAB,HtanZHDB=p

可設8H=3A,!J!lJDH=4k,

根據勾股定理得：DB=5k,

,:BD=AB=1Q,

.?.5%=10解得:k=2,

:.DH=8,BH=6,AH=4,

又；EH=AH=4,

：.DE=DH-EH=4.

7.如圖，已知G)O是△/BC的外接圓，是。。的直徑，。是延長線上的一點，AE

，￡>C交DC的延長線于E,交。。于點F,且我=存

(1)試判斷DE與0。的位置關系并加以證