全國初中(初二)數學競賽輔導

第二十二講面積問題與面積方法

幾何學的產生，源于人們測量土地面積的需要.面積不僅是幾何學研

究的一個重要內容，而且也是用來研究幾何學的一個有力工具.

下面，我們把常用的一些面積公式和定理列舉如下.

(1)三角形的面積

(i)三角形的面積公式

S=gah、=Jp(p-a)(p-b)(p-c)=pr,

其中a,b,c是△ABC的三邊長，h.是邊a上的高，p=g(a+

b+c)是半周長，r是aABC的內切圓半徑.

(ii)等底等高的兩個三角形面積相等.

(iii)兩個等底三角形的面積之比等于高之比；兩個等高三角形的面

積之比等于底邊之比；兩個三角形面積之比等于底、高乘積之比.

(iv)相似三角形的面積之比等于相似比的平方.

(2)梯形的面積

梯形的面積等于上、下底之和與高的乘積的一半.

(3)扇形面積

18212

=53r'

其中r為半徑，1為弧長，。為弧1所對的圓心角的度數，a是弧度

數.

1.有關圖形面積的計算和證明

ACB

例1如圖2-127,半圓AB的圓心是C,半徑是1,點D在半圓

AB上，且CD1AB,分別延長BD,AD到E,F,使得圓弧AE和

BF分別以B和A為它們的圓心，圓弧EF以D為圓心，求陰影部分

AEFBDA的面積.

解因為CD_LAB,AC=CB,且4ABD內接于半圓，由此可得

△ABD是一個等腰直角三角形，NABD=NBAD=45。，BD=72.

由作圖知

ZEDF=ZADB=90°,DE=BE-BD=2-72,

所以，陰影部分AEFBDA的面積是

$扇形EDF+$扇形ABF+3扇形BAE-S/IABD—S半圓ADB

=2?C-戈氏-1

例2已知凸四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,且^ABC,△

ACD,AABD的面積分別為Si=5,S2=10,S3=6.求AABO的面積（圖2-128）.

解首先，我們證明aABC與4ACD的面積比等于B0與D0的比.過B,

D分別作AC的垂線，垂足為E,F.于是RtZ\BEO

D

A,

SR"F。，所以祟爵所以

24題-,AC'DF

2

BEBO

=DF=D0,

由題設

BOSA婭。Si51

DO=sZ^=^=W=2r

BO_1

BD=3,

設SAAOB-S,則

SBO1

S7=BD=3'

所以

S=；$3=1X6=2.

例3如圖2-129,AD,BE,CF交于aABC內的一點P,并將aABC分

成六個小三角形，其中四個小三角形的面積已在圖中給出.求4ABC的面

積.

A

分析如果能把未知的兩個小三角形的面積求出，那么AABC的面積

即可得知.根據例1,這兩個面積是不難求出的.

解設未知的兩個小三角形的面積為x和y,則

BD_40_84+x

DC=30=70+yJ

即

又

AE_70_84+x

EC=V-40+30，

即

84+x_70

70=V

①+②得

704y

----------1-=35

70+y370，yv

再由②得x=56.因此

SAABC=84+70+56+35+40+30=315.

A

D

S2\H

B>IE

圖2-130

例4如圖2-130,通過AABC內部一點Q引平行于三角形三邊的直線,

這些直線分三角形為六個部分，已知三個平形四邊形部分的面積為S“S2,

S3,求AABC的面積.

解為方便起見，設

SAQDG=SZ1,SAQIE=S,：>,SAQFH=SZ3,則

3

CEQFiSy

----=s3

C；2&QCE:EIEI忖2，

02

所以

s，2sL廣河①

同理可得

=2②

SJS，2

二3,③

SJS"

從①，②，③中可以解得

s'=S2s3.=S3sl'=S]S.

12Si1物-茗’論一范

所以

十+JV.T+S2，s3,-S-3S-]"T$，應

S-c=Si+S23XOQS

例5在一個面積為1的正方形中構造一個如圖2-131所示的正方形:

將單位正方形的每一條邊n等分，然后將每個頂點和它相對的頂點最接近

的分點連接起來.如果小正方形（圖中陰影部分）的面積恰

為與，的值.

解如圖2-131,過F作BC的平行線交BG于H,則NGHF=NCED,Z

FGH=ZDCE=90°，故

FG_DC

RtZXFGHsRtADCE,FH=DE

DC2

22

FGDE7FH,

n2-n-90=0,

所以n=10.

2.利用面積解題

有的平面幾何問題，雖然沒有直接涉及到面積，然而若靈活地運用面

積知識去解答，往往會出奇制勝，事半功倍.

例6在aABC內部或邊界上任取一點P,記P到三邊a,b,c的距離

依次為x,y,z.求證：ax+by+cz是一個常數.

證如圖2-132,連結PA,PB,PC,把AABC分成三個小三角形，則

S&ABC=S&PAB+SAPCB+S&PCA

111,

=2c?z+5a?x+^b?y,

所以ax+by+cz=2S”Bc,

即ax+by+cz為常數.

說明若4ABC為等邊三角形，則

2S&ABC,

x+y+z=----------=h,

a

此即正三角形內一點到三邊的距離和為常數，此常數是正三角形的高.

例7如圖2-133,設P是AABC內任一點，AD,BE,CF是過點P且分

別交邊BC,CA,AB于D,E,F.求證：

巴+巴以1

ADBECF,

證首先，同例2類似，容易證明

SAPBC_PD

同樣地

SAPCA=PES好心=PF

二=瓦，=

所以

圖2-134

說明本例的結論很重要，在處理三角形內三條線交于一點的問題時,

常常可以用這一結論去解決.

例8如圖2-134,已知D,E,F分別是銳角三角形ABC的三邊BC,CA,

AB上的點，且AD,BE,CF相交于點P,AP=BP=CP=6,設PD=x,PE=y,PF=z,

若xy+yz+zx=28,求xyz的值.

解由上題知

PDPEPF

----H------H--------1,

ADBECF

xyz

即------+-------+-------

x+6y+6z+6

所以

666

----+1------+1------

x+6y+6z+6

x+6y+6z+6

去分母整理得

3(xy+yz+zx)+36(x+y+z)+324

=xyz+6(xy+yz+zx)+36(x+y+z)+216,

所以xyz=108-3(xy+yz+zx)=24.

練習二十二

1.填空：

(1)直角三角形斜邊上的中線為1,周長為2+灰，則它的面積是

(2)一個三角形的三邊長都是整數，周長為8,則這個三角形的面積

是.

(3)四邊形ABCD中，ZA=30°,ZB=ZD=90°,AB=AD,AC=1,則四

邊形ABCD的面積是.

(4)梯形ABCD中，AB/7CD,對角線AC與BD相交于0.若SMBO=P2,S

△CDO=q2,貝USABCD=.

.AE2

6)在△ABC中，D是AB的中點，E是AC上一點，—S

EC3A

ABC=40.若