第03講6.2.2向量的減法運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①借助實例和平面向量的幾何表示，理解相反向量的含義、向量減法的意義及減法法則。②掌握向量減法的幾何意義。③能熟練地進(jìn)行向量的加、減綜合運(yùn)算。1.通過閱讀課本在向量加法的基礎(chǔ)上，理解向量減法與數(shù)量減法的異同，并學(xué)會有加法理解減法的運(yùn)算與意義，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；2.熟練運(yùn)用掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個法則在減法運(yùn)算的題目中靈活的作兩個向量的加法與減法兩種運(yùn)算；3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，深刻掌握兩個或者多個相連接加法，減法的交換律和結(jié)合律，并能作圖解釋向量加法與減法的運(yùn)算律的合理性，把運(yùn)算律的應(yīng)用范圍進(jìn)行拓廣；知識點(diǎn)01：向量的減法（1）相反向量與向量長度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，記作.①零向量的相反向量仍是零向量②任意向量與其相反向量的和是零向量，即:③若,互為相反向量,則，，.（2）向量減法定義向量加上的相反向量，叫做與的差，即.求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義,可以把向量的減法轉(zhuǎn)化為向量的加法進(jìn)行運(yùn)算.（3）向量減法的幾何意義已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示如果把兩個向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.【即學(xué)即練1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

【答案】答案見解析【詳解】如圖，作，則即為，再作，則向量即為．

知識點(diǎn)02：向量三角不等式①已知非零向量，，則（當(dāng)與反向共線時左邊等號成立；當(dāng)與同向共線時右邊等號成立）；②已知非零向量，，則（當(dāng)與同向共線時左邊等號成立；當(dāng)與反向共線時右邊等號成立）；記憶方式：（“符異”反向共線等號成立；“符同”同向共線等號成立）如中，中間連接號一負(fù)一正“符異”，故反向共線時等號成立；右如：中中間鏈接號都是正號“符同”，故同向共線時等號成立；【即學(xué)即練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中，正確的是（）A．若，，則B．若則或C．對于任意向量，有D．對于任意向量，有【答案】D【詳解】對于A，當(dāng)時，滿足，，但不一定平行，故A錯誤；對于B，當(dāng)，時，滿足，但，不成立，故B錯誤；對于C，若非零向量方向相反，則，故C錯誤；對于D，當(dāng)中有零向量時，；當(dāng)為非零向量時，若共線且方向相同時，則，當(dāng)為非零向量時，若共線且方向相反時，則，當(dāng)為非零向量時，且不共線時，如圖所示，，綜上，，故D正確．故選：D．

題型01向量減法及其幾何意義【典例1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖所示，四邊形是平行四邊形，是該平行四邊形外一點(diǎn)，且，，，試用向量、、表示向量與.【答案】，【詳解】解：由平面向量的減法可得，.【典例2】（2023下·四川自貢·高一統(tǒng)考期末）已知非零向量滿足，則與的夾角為．【答案】/【詳解】如圖，設(shè)，因為，即，可知為等邊三角形，所以與的夾角為.故答案為：.【變式1】（2022·高一課時練習(xí)）已知向量，，如圖所示.（1）求作向量；（2）求作向量.【答案】作圖見解析【詳解】解：如圖所示.（1）

（2）【變式2】（2023下·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）在中，，則是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【詳解】因為，，，，所以，所以是等邊三角形．故選：A．題型02利用向量加減法運(yùn)算化簡表達(dá)式【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）化簡(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）【典例2】（2023·高一課前預(yù)習(xí)）化簡下列各式：(1)(＋)＋()；(2)；(3)；(4)；(5)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【詳解】（1）法一：原式；法二：原式；（2）法一：原式法二：原式（3）方法一：；方法二：；（4）（5）【典例3】（2022·高一課時練習(xí)）化簡下列各式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）；（2）【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）化簡下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）.（2）【變式2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）化簡：(1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：；（2）解：.【變式3】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）化簡下列式子：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【詳解】（1）原式（2）原式題型03向量的模【典例1】（2021·高一課時練習(xí)）已知四邊形是邊長為的正方形，求：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖：（2）【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為．【答案】7【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)，反向時，等號成立，所以的最大值為7.故答案為：7.【變式1】（2022·高一課時練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長為1.且，求的值.【答案】【詳解】因為所以【變式2】（2022·高一課時練習(xí)）證明：當(dāng)向量不共線時，.【答案】證明見解析【詳解】證明：因為向量不共線，如圖，在OAB中，由三角形兩邊之和大于第三邊得：，由三角形兩邊之差小于第三邊得：，所以.題型04利用已知向量表示其它向量【典例1】（2022·高一課時練習(xí)）如圖所示，已知，，，，，，試用表示下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）（2）（3）【典例2】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，四邊形ACDE是平行四邊形，且，，，試用，，表示向量，，，及．【答案】；；；；【詳解】解：由四邊形ACDE是平行四邊形，且，，，可得，，，，.【變式1】（2021·高一課時練習(xí)）如圖所示，，，.(1)用表示；(2)用表示.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）.（2）.【變式2】（2019·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且＝，＝，＝，試用表示向量、、、及．【答案】答案見解析.【詳解】∵四邊形為平行四邊形．∴＝＝；＝－＝；＝－＝；＝－＝；＝＋＝．題型05向量加減法運(yùn)算的實際應(yīng)用【典例1】（2021下·高一課時練習(xí)）某人順風(fēng)勻速行走速度大小為，方向與風(fēng)向相同，此時風(fēng)速大小為，則此人實際感到的風(fēng)速為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意，某人順風(fēng)勻速行走速度大小為，方向與風(fēng)向相同，此時風(fēng)速大小為，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得此人實際感到的風(fēng)速為.故選：A.【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）在“向北走”，“向西走”，則，與的夾角的余弦值為．【答案】25/【詳解】如圖，在矩形中，設(shè)，則，空1：；空2：因為，則與的夾角即為，所以.故答案為：25；.

【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，若，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【詳解】因為，，所以，所以為等邊三角形．故選：AA夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·北京順義·高三楊鎮(zhèn)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）化簡等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量加減運(yùn)算法則計算出結(jié)果.【詳解】.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知下列各式：①；②；③.其中結(jié)果為零向量的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的加法、減法運(yùn)算法則，逐一計算即可求得結(jié)果.【詳解】①中；②中；③；即①③結(jié)果為零向量，故選：C.3．（2019下·北京東城·高一統(tǒng)考期末）如圖，向量，，，則向量（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減法求解即可.【詳解】依題意，得，故選：C．4．（2023下·云南西雙版納·高一校考期中）在四邊形中，若，且，則（

）A．在四邊形是矩形B．在四邊形是菱形C．在四邊形是正方形D．在四邊形是平行四邊形【答案】A【分析】由平面向量加法的平行四邊形法則可判斷為平行四邊形，再由向量加法、減法運(yùn)算和模的含義可得對角線相等，然后可判斷四邊形形狀.【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形，又，所以，即對角線相等，所以四邊形為矩形.故選：A5．（2023·高一課時練習(xí)）若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量模長的三角不等式可求得的取值范圍．【詳解】由向量模長的三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)、的方向相同時，等號成立；，當(dāng)且僅當(dāng)、的方向相反時，等號成立，因此，的取值范圍是，故選：A．6．（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校校考階段練習(xí)）在中，若，則的形狀為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)向量的減法法則可得，由三邊相等關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】解：因為，，所以，所以為等邊三角形．故選：D7．（2022下·廣東廣州·高一華南師大附中校考期中）下列向量運(yùn)算結(jié)果錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量加減法的線性運(yùn)算，直接判斷選項即可.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D正確；故選：A8．（2022·高一課時練習(xí)）若，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范圍.【詳解】因為，所以，，即.故選：C.二、多選題9．（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）已知，，，四點(diǎn)不共線，下列等式能判斷為平行四邊形的是（

）A． B．（為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）C． D．（為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）【答案】ABC【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及相等向量的定義判斷即可.【詳解】因為，，，四點(diǎn)不共線，對于A：，所以且，所以為平行四邊形，故A正確；對于B：因為，所以，所以且，所以為平行四邊形，故B正確；對于C：因為，即，所以，所以且，所以為平行四邊形，故C正確；對于D：因為，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，故D錯誤；故選：ABC10．（2022·湖南·模擬預(yù)測）給出下面四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．若線段，則向量B．若向量，則線段C．若向量與共線，則線段D．若向量與反向共線，則【答案】AD【分析】A選項，根據(jù)得到點(diǎn)B在線段上，進(jìn)行判斷A正確；BC選項，可舉出反例；D選項，根據(jù)向量線性運(yùn)算推導(dǎo)出答案.【詳解】選項A：由得點(diǎn)B在線段上，則，A正確：選項B；三角形，，但，B錯誤；對于C：，反向共線時，，故，C錯誤；選項D：,反向共線時，，故D正確．故選：AD．三、填空題11．（2023上·廣東東莞·高二校考階段練習(xí)）簡化．【答案】【分析】根據(jù)向量加減法法則運(yùn)算即可.【詳解】，故答案為：12．（2023下·高一單元測試）任給兩個向量和，則下列式子恒成立的有．①

②③

④【答案】②③【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可判斷①；根據(jù)向量減法的三角形法則可判斷②③④.【詳解】①根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，則①不恒成立；②根據(jù)向量減法的三角形法則，得，則②恒成立；③根據(jù)向量減法的三角形法則，得，則③恒成立；④根據(jù)向量減法的三角形法則，得，則④不恒成立.故答案為：②③.四、解答題13．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量、，求作．(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)平面向量的減法法則可作出向量.【詳解】（1）解：作，，則，即即為所求作的向量.

（2）解：作，，則，即即為所求作的向量.

（3）解：作，，則，即即為所求作的向量.

（4）解：作，，則，即即為所求作的向量.

14．（2023·高一課時練習(xí)）已知，，，求的值．【答案】10【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合矩形的性質(zhì)分析求解.【詳解】在平行四邊形中，設(shè)，，則，，由于，，且，可得，所以，故四邊形為矩形，所以，即．

15．（2020·高一課時練習(xí)）如圖，已知，為兩個非零向量．(1)求作向量及；(2)向量，成什么位置關(guān)系時，？（不要求證明）【答案】(1)作圖見解析；(2)，相互垂直.【分析】（1）將向量起點(diǎn)平移到重合位置，應(yīng)用平行四邊形法則畫出、.（2）由（1）所得的圖，要使即平行四邊形對角線相等，根據(jù)矩形性質(zhì)即可判斷向量的位置關(guān)系.【詳解】（1）將向量，的起點(diǎn)平移到重合的位置，再由向量加減法的平行四邊形法則可得、，如下圖示：（2）要使，由（1）所得圖知：平行四邊形的兩條對角線相等，所以，當(dāng)平行四邊形為矩形時成立，故，相互垂直.B能力提升1．（2022下·河南南陽·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）八卦是中國古老文化的深奧概念，其深邃的哲理解釋了自然、社會現(xiàn)象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則（

）