第10講5.5.2簡單的三角恒等變換課程標準學習目標①會運用三角函數的正弦、余弦、正切的和與差、二倍角公式進行三角函數式的化簡與求值。②會運用相應的三角函數公式進行三角函數式的證明。會運用三角函數的相關公式進行簡單的三角恒等變換，并能解決與三角函數有關的計算、化簡、證明等問題.知識點01：半角公式①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0知識點02：輔助角公式：SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)知識點03：萬能公式①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0題型01降冪公式【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故選：B【典例2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是.【答案】SKIPIF1<0/0.64【詳解】由題得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩邊同時平方可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023春·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】解：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【變式2】（2023春·湖北恩施·高二校考階段練習）函數SKIPIF1<0的最小正周期是．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0，所以，函數SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型02利用半角公式、萬能公式求值【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】方法一：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；方法二：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國·高一專題練習）已知SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．【變式1】（2023·全國·高二專題練習）已知SKIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為銳角，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：D．【變式2】（2023春·高一單元測試）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為.【答案】2【詳解】由題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：2【變式3】（2023秋·高一課時練習）已知SKIPIF1<0，α為第四象限角，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】答案見解析【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0為第四象限角，∴SKIPIF1<0為第二、四象限角．當SKIPIF1<0為第二象限角時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0為第四象限角時，SKIPIF1<0.題型03簡單的三角恒等變換【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）化簡SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【詳解】法1：由倍角公式SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．法2：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【典例2】（2023春·四川瀘州·高一瀘縣五中校考階段練習）已知函數SKIPIF1<0.(1)求函數SKIPIF1<0的最小正周期及SKIPIF1<0的單調遞增區間；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；【答案】(1)最小正周期為SKIPIF1<0，單調遞增區間為SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的單調遞增區間為SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【變式1】（2023秋·河南鄭州·高一?？计谀┮阎瘮礢KIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求函數SKIPIF1<0的最小正周期和對稱軸方程；(2)求SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0的值域.【答案】(1)最小正周期為SKIPIF1<0，對稱軸為SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0.（2）由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0.【變式2（2023秋·北京懷柔·高二北京市懷柔區第一中學?？奸_學考試）已知函數SKIPIF1<0.(1)求函數SKIPIF1<0的最小正周期；(2)求函數SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上的最大值和最小值；(3)若函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)最大值為SKIPIF1<0，最小值是SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，函數的最小正周期SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以函數SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，最小值是SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由題意可知，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.題型04輔助角公式的應用【典例1】（2023秋·高一課時練習）函數SKIPIF1<0的最小正周期是（

）A．π B．SKIPIF1<0 C．2π D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0，故函數的最小正周期為SKIPIF1<0.故選：A【典例2】（2023秋·北京海淀·高三清華附中校考開學考試）已知函數SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求函數SKIPIF1<0的單調遞增區間．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；即函數SKIPIF1<0的單調遞增區間為SKIPIF1<0【典例3】（2023春·廣東佛山·高一佛山市南海區九江中學校考階段練習）已知函數SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)求函數SKIPIF1<0的單調遞增區間．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0（2）因為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的單調遞增區間為SKIPIF1<0【變式1】（2023秋·山東青島·高三統考期末）函數SKIPIF1<0的單調減區間為．【答案】SKIPIF1<0；【詳解】因為SKIPIF1<0，則函數的單調減區間為:SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式2】（2023秋·廣東廣州·高三廣州大學附屬中學?？奸_學考試）函數SKIPIF1<0的最大值為．【答案】3【詳解】依題意，SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.故答案為：3【變式3】（2023秋·廣西百色·高三貴港市高級中學校聯考階段練習）函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有SKIPIF1<0個零點，則SKIPIF1<0的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有SKIPIF1<0個零點，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型05三角函數的實際應用【典例1】（2023春·江蘇泰州·高一泰州中學校考階段練習）如圖，在半徑為SKIPIF1<0、圓心角為SKIPIF1<0的扇形SKIPIF1<0弧上任取一點SKIPIF1<0，作扇形的內接矩形SKIPIF1<0，使點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，則這個矩形面積的最大值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】設SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0扇形SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，圓心角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．化簡得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0．故選：B.【典例2（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學?？计谥校┤鐖D，在凸四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則四邊形ABCD面積的最大值為.

【答案】SKIPIF1<0【詳解】連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，設角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以四邊形的面積為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．

【變式1】（2023春·四川達州·高一?？计谥校┤鐖D所示，已知OPQ是半徑為2，圓心角為SKIPIF1<0的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內接矩形，記SKIPIF1<0，求當角SKIPIF1<0取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積．

【答案】當SKIPIF1<0時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為SKIPIF1<0．【詳解】解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設矩形ABCD的面積為S，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因此，當SKIPIF1<0時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為SKIPIF1<0．【變式2】（2023春·上海青浦·高一?？茧A段練習）已知OPQ是半徑為1，圓心角為SKIPIF1<0的扇形，C是扇形弧上的動點.ABCD是扇形的內接矩形，記SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.(1)當SKIPIF1<0時，求矩形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0的值.(2)求SKIPIF1<0關于角SKIPIF1<0的解析式，并求SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.【詳解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2023秋·四川資陽·高二四川省樂至中學校考開學考試）函數SKIPIF1<0的最小正周期為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由二倍角公式和輔助角公式化簡SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由三角函數的周期公式可得最小正周期SKIPIF1<0.故選：C2．（2023春·甘肅酒泉·高一統考期末）求值：SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<03．（2023春·廣東陽江·高一廣東兩陽中學?？计谀┫铝泻瘮抵?，最小正周期為SKIPIF1<0的偶函數是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】A選項：SKIPIF1<0，函數的周期為SKIPIF1<0，A不正確；因為SKIPIF1<0，函數的周期為SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，不是偶函數，B不正確；因為SKIPIF1<0，函數的周期為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，是偶函數，C正確；因為SKIPIF1<0，函數的周期為SKIPIF1<0，是偶函數，D不正確；故選：C.4．（2023·全國·高二專題練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：A5．（2023秋·高一課時練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．－SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：A.6．（2023春·河南南陽·高一?？茧A段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.7．（2023春·新疆阿勒泰·高二統考期末）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故選：D.8．（2023春·高一課時練習）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．－2 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，兩式相除得SKIPIF1<0.故選：A.二、多選題9．（2023秋·高一課時練習）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0化簡的結果可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【詳解】SKIPIF1<0.故選：BD10．（2023春·高一課時練習）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．－2【答案】CD【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.故選：CD.三、填空題11．（2023秋·高一課時練習）函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域是.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<012．（2023秋·高一課時練習）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0四、解答題13．（2023秋·吉林長春·高三長春外國語學校?？茧A段練習）設常數SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0為偶函數，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求方程SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上的解.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0為偶函數，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.14．（2023·山西大同·統考模擬預測）已知函數SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0圖象的任意兩條對稱軸，且SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0圖象的任意兩條對稱軸，且SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.B能力提升1．（2023春·湖北荊州·高一沙市中學?？茧A段練習）如圖，矩形SKIPIF1<0內接于半徑為1、中心角為SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的扇形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求矩形SKIPIF1<0面積的最大值，并求此時SKIPIF1<0的長．【答案