專題5.3三角函數的圖象與性質（知識點講解）【知識框架】【核心素養】1.與不等式相結合考查三角函數定義域的求法，凸顯數學運算的核心素養．2．與二次函數、函數的單調性等結合考查函數的值域(最值)，凸顯數學運算的核心素養．3．借助函數的圖象、數形結合思想考查函數的奇偶性、單調性、對稱性等性質，凸顯數學運算、直觀想象和邏輯推理的核心素養．4.五點作圖與函數圖象變換、函數性質相結合考查三角函數圖象問題，凸顯直觀想象、數學運算的核心素養．5．將函數圖象、性質及函數零點、極值、最值等問題綜合考查y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用，凸顯直觀想象、邏輯推理的核心素養．【知識點展示】（一）“五點法”作圖“五點法”作圖：先列表，令，求出對應的五個SKIPIF1<0的值和五個值，再根據求出的對應的五個點的坐標描出五個點，再把五個點利用平滑的曲線連接起來，即得到在一個周期的圖象，最后把這個周期的圖象以周期為單位，向左右兩邊平移，則得到函數的圖象.（二）正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象與性質正弦函數,余弦函數,正切函數的圖象與性質性質圖象定義域值域最值當時，；當時，．當時，；當時，．既無最大值，也無最小值周期性奇偶性,奇函數偶函數奇函數單調性在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數．對稱性對稱中心對稱軸，既是中心對稱又是軸對稱圖形.對稱中心對稱軸，既是中心對稱又是軸對稱圖形.對稱中心無對稱軸，是中心對稱但不是軸對稱圖形.【特別提醒】(1)正、余弦函數一個完整的單調區間的長度是半個周期，y＝tanx無單調遞減區間，y＝tanx在整個定義域內不單調．(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的單調區間時，要注意A和ω的符號．盡量化成ω＞0的形式，避免出現增減區間的混淆．（三）常用結論1．對稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個周期．(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．2．函數具有奇、偶性的充要條件(1)函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數?φ＝kπ(k∈Z)；(2)函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(3)函數y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(4)函數y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數?φ＝kπ(k∈Z)．【常考題型剖析】題型一：“五點法”做函數的圖象例1.（2023·山東·高考真題）小明同學用“五點法”作某個正弦型函數在一個周期內的圖象時，列表如下：0030-30根據表中數據，求：（1）實數，，的值；（2）該函數在區間上的最大值和最小值.例2．(2023·全國·模擬預測）已知函數，，.若，，且的最小值為，，求解下列問題.(1)化簡的表達式并求的單調遞增區間；(2)請完善表格并利用五點作圖法繪制該函數在一個周期內的圖象，并求在區間上的最值.【規律方法】用“五點法”作圖應抓住四條：①將原函數化為或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一個周期內的五個特殊點，當畫出某指定區間上的圖象時，應列出該區間內的特殊點．題型二：三角函數的定義域例3.(2023·寧夏·銀川一中高一期中）函數的定義域為（

）A． B．C． D．例4.函數y＝eq\r(sinx－cosx)的定義域為．【總結提升】三角函數定義域的求法(1)求三角函數的定義域常化為解三角不等式(組)．(2)解三角不等式(組)時常借助三角函數的圖象或三角函數線．(3)對于函數y＝Atan(ωx＋φ)的定義域可令ωx＋φ≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z求解．題型三：三角函數的值域(最值)例5.(2023·山東·高考真題（文））函數的最大值與最小值之和為（）A． B．0 C．－1 D．例6.(2023·安徽·碭山中學高一期中）函數，的值域為______．例7．(2023·北京·高考真題（文））函數的部分圖象如圖所示.（1）寫出的最小正周期及圖中、的值；（2）求在區間上的最大值和最小值.【總結提升】求三角函數的值域(最值)的三種類型及解法思路(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數，可先設sinx＝t，化為關于t的二次函數求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數，可先設t＝sinx±cosx，化為關于t的二次函數求值域(最值)．題型四：三角函數的單調性例8．（2023·全國·高考真題）下列區間中，函數單調遞增的區間是（

）A． B． C． D．例9．(2023·全國·高考真題（文））函數=的部分圖像如圖所示，則的單調遞減區間為（）A． B．C． D．例10.(2023·安徽·高考真題（理））已知函數（，，均為正的常數）的最小正周期為，當時，函數取得最小值，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．例11.(2023·西安模擬)已知ω＞0，函數f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調遞減，則ω的取值范圍是()A．(0,2] B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))【規律方法】1.三角函數單調區間的求法(1)將函數化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助誘導公式將ω化為正數．(2)根據y＝sinx和y＝cosx的單調區間及A的正負，列不等式求解．2.已知單調區間求參數范圍的三種方法（1）子集法：求出原函數的相應單調區間，由已知區間是所求某區間的子集，列不等式(組)求解（2）反子集法：由所給區間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區間的子集，列不等式(組)求解（3）周期性法：由所給區間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解.3.比較三角函數值大小.題型五：三角函數的周期性、奇偶性、對稱性例12.(2023·全國·高考真題）記函數的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3例13.（2023·全國·高考真題（文））函數f(x)=在[—π，π]的圖像大致為A． B．C． D．例14.(2023·四川·高考真題（文））下列函數中，最小正周期為且圖象關于原點對稱的函數是（

）A． B．C． D．例15.（2023·全國·高考真題（理））關于函數f（x）=有如下四個命題：①f（x）的圖象關于y軸對稱．②f（x）的圖象關于原點對稱．③f（x）的圖象關于直線x=對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是__________．【規律方法】1.求三角函數周期的常用方法(1)公式法求周期①函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B與f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期為T＝eq\f(2π,|ω|)；②函數f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq\f(π,|ω|).(2)對稱性求最值①兩對稱軸距離的最小值和兩對稱中心距離的最小值都等于eq\f(T,2)；②對稱中心到對稱軸距離的最小值等于eq\f(T,4)；③兩個最大(小)值點之差的最小值等于T.2.三角函數是奇、偶函數的充要條件(1)函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函數?φ＝kπ(k∈Z)；偶函數?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(2)函數y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函數?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；是偶函數?φ＝kπ(k∈Z)．3．如何判斷函數的奇偶性:根據三角函數的奇偶性，利用誘導公式可推得函數的奇偶性，常見的結論如下：(1)若為偶函數，則有;若為奇函數則有；(2)若為偶函數，則有;若為奇函數則有；(3)若為奇函數則有.4.求對稱軸方程(對稱中心坐標)的方法(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱軸方程，只需對ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)整理，對稱中心橫坐標只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.(2)求f(x)＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸方程，只需對ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，對稱中心橫坐標為ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．(3)求f(x)＝Atan(ωx＋φ)的對稱中心的橫坐標，只需對ωx＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，求x.題型六：三角函數的解析式例16．(2023·全國·高考真題（文））函數的部分圖象如圖所示，則（）A．B．C．D．例17．（2023·全國·高考真題（理））設函數在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（

）A． B．C． D．【總結提升】1.由的圖象求其函數式：已知函數的圖象求解析式時，常采用待定系數法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求；由函數的周期確定；確定常根據“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置．2.根據圖象求解析式問題的一般方法是：先根據函數圖象的最高點、最低點確定A，h的值，由函數的周期確定ω的值，再根據函數圖象上的一個特殊點確定φ值．題型七：三角函數的零點問題例18．(2023·浙江·高考真題（理））設函數，則在下列區間中函數不存在零點的是（）A． B． C． D．例19．(2023·全國·高考真題（理））記函數的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．例20．(2023·全國·高考真題（理））函數在的零點個數為________．專題5.3三角函數的圖象與性質（知識點講解）【知識框架】【核心素養】1.與不等式相結合考查三角函數定義域的求法，凸顯數學運算的核心素養．2．與二次函數、函數的單調性等結合考查函數的值域(最值)，凸顯數學運算的核心素養．3．借助函數的圖象、數形結合思想考查函數的奇偶性、單調性、對稱性等性質，凸顯數學運算、直觀想象和邏輯推理的核心素養．4.五點作圖與函數圖象變換、函數性質相結合考查三角函數圖象問題，凸顯直觀想象、數學運算的核心素養．5．將函數圖象、性質及函數零點、極值、最值等問題綜合考查y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用，凸顯直觀想象、邏輯推理的核心素養．【知識點展示】（一）“五點法”作圖“五點法”作圖：先列表，令，求出對應的五個SKIPIF1<0的值和五個值，再根據求出的對應的五個點的坐標描出五個點，再把五個點利用平滑的曲線連接起來，即得到在一個周期的圖象，最后把這個周期的圖象以周期為單位，向左右兩邊平移，則得到函數的圖象.（二）正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象與性質正弦函數,余弦函數,正切函數的圖象與性質性質圖象定義域值域最值當時，；當時，．當時，；當時，．既無最大值，也無最小值周期性奇偶性,奇函數偶函數奇函數單調性在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數．對稱性對稱中心對稱軸，既是中心對稱又是軸對稱圖形.對稱中心對稱軸，既是中心對稱又是軸對稱圖形.對稱中心無對稱軸，是中心對稱但不是軸對稱圖形.【特別提醒】(1)正、余弦函數一個完整的單調區間的長度是半個周期，y＝tanx無單調遞減區間，y＝tanx在整個定義域內不單調．(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的單調區間時，要注意A和ω的符號．盡量化成ω＞0的形式，避免出現增減區間的混淆．（三）常用結論1．對稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個周期．(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．2．函數具有奇、偶性的充要條件(1)函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數?φ＝kπ(k∈Z)；(2)函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(3)函數y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(4)函數y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數?φ＝kπ(k∈Z)．【常考題型剖析】題型一：“五點法”做函數的圖象例1.（2023·山東·高考真題）小明同學用“五點法”作某個正弦型函數在一個周期內的圖象時，列表如下：0030-30根據表中數據，求：（1）實數，，的值；（2）該函數在區間上的最大值和最小值.答案：（1），，；（2）最大值是3，最小值是.【解析】分析：（1）利用三角函數五點作圖法求解，，的值即可.（2）首先根據（1）知：，根據題意得到，從而得到函數的最值.【詳解】（1）由表可知，則，因為，，所以，解得，即，因為函數圖象過點，則，即，所以，，解得，，又因為，所以.（2）由（1）可知.因為，所以，因此，當時，即時，，當時，即時，.所以該函數在區間上的最大值是3，最小值是.例2．(2023·全國·模擬預測）已知函數，，.若，，且的最小值為，，求解下列問題.(1)化簡的表達式并求的單調遞增區間；(2)請完善表格并利用五點作圖法繪制該函數在一個周期內的圖象，并求在區間上的最值.答案：(1)，單調遞增區間為；(2)完善表格見解析；圖象見解析；最大值為，最小值為.【解析】分析：（1）利用最大值點和零點可確定最小正周期，由此可求得；利用可求得，由此可得解析式；令即可求得單調遞增區間；（2）令，利用五點作圖法即可完善表格并得到圖象，結合圖象可求得最值.(1)若，，即是的最大值點，是的零點，且的最小值為，設的最小正周期為，則，即，解得：.由可得：，即有，或，又，，綜上所述：；令，解得：，的單調遞增區間為.(2)根據“五點作圖法”的要求先完成表格：令.0由圖可知：當時，取到最大值；當時，取到最小值.【規律方法】用“五點法”作圖應抓住四條：①將原函數化為或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一個周期內的五個特殊點，當畫出某指定區間上的圖象時，應列出該區間內的特殊點．題型二：三角函數的定義域例3.(2023·寧夏·銀川一中高一期中）函數的定義域為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：利用關于正切型函數的不等式去求函數的定義域【詳解】由，可得，則則函數的定義域為故選：C例4.函數y＝eq\r(sinx－cosx)的定義域為．答案：【解析】法一：要使函數有意義，必須使sinx－cosx≥0.利用圖象，在同一坐標系中畫出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖所示．在[0,2π]內，滿足sinx＝cosx的x為，，再結合正弦、余弦函數的周期是2π，所以原函數的定義域為.法二：sinx－cosx＝sin（）≥0，將視為一個整體，由正弦函數y＝sinx的圖象和性質可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以定義域為【點睛】若定義域中含kπ或2kπ應注明k∈Z.【總結提升】三角函數定義域的求法(1)求三角函數的定義域常化為解三角不等式(組)．(2)解三角不等式(組)時常借助三角函數的圖象或三角函數線．(3)對于函數y＝Atan(ωx＋φ)的定義域可令ωx＋φ≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z求解．題型三：三角函數的值域(最值)例5.(2023·山東·高考真題（文））函數的最大值與最小值之和為（）A． B．0 C．－1 D．答案：A【解析】故選A例6.(2023·安徽·碭山中學高一期中）函數，的值域為______．答案：【解析】分析：由的范圍求出的范圍，再根據二次函數的性質即可得出答案.【詳解】因為，所以，，則當時，，當時，，所以函數的值域為.故答案為：.例7．(2023·北京·高考真題（文））函數的部分圖象如圖所示.（1）寫出的最小正周期及圖中、的值；（2）求在區間上的最大值和最小值.答案：（1），，；（2）最大值0，最小值.【解析】【詳解】試題分析：（1）由圖可得出該三角函數的周期，從而求出；（2）把看作一個整體，從而求出最大值與最小值.（1）由題意知：的最小正周期為，令y=3，則，解得，所以，.（2）因為，所以，于是當，即時，取得最大值0；當，即時，取得最小值.【總結提升】求三角函數的值域(最值)的三種類型及解法思路(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數，可先設sinx＝t，化為關于t的二次函數求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數，可先設t＝sinx±cosx，化為關于t的二次函數求值域(最值)．題型四：三角函數的單調性例8．（2023·全國·高考真題）下列區間中，函數單調遞增的區間是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：解不等式，利用賦值法可得出結論.【詳解】因為函數的單調遞增區間為，對于函數，由，解得，取，可得函數的一個單調遞增區間為，則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數的一個單調遞增區間為，且，，CD選項均不滿足條件.故選：A.例9．(2023·全國·高考真題（文））函數=的部分圖像如圖所示，則的單調遞減區間為（）A． B．C． D．答案：D【解析】【詳解】由五點作圖知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故單調減區間為（，），，故選D.例10.(2023·安徽·高考真題（理））已知函數（，，均為正的常數）的最小正周期為，當時，函數取得最小值，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．答案：A【解析】分析：依題意可求ω＝2，又當x時，函數f（x）取得最小值，可解得φ，從而可求解析式f（x）＝Asin（2x），利用正弦函數的圖象和性質及誘導公式即可比較大小．【詳解】解：依題意得，函數f（x）的周期為π，∵ω＞0，∴ω2．又∵當x時，函數f（x）取得最小值，∴2φ＝2kπ，k∈Z，可解得：φ＝2kπ，k∈Z，∴f（x）＝Asin（2x+2kπ）＝Asin（2x）．∴f（﹣2）＝Asin（﹣4）＝Asin（4+2π）＞0．f（2）＝Asin（4）＜0，f（0）＝AsinAsin0，又∵4+2π，而f（x）＝Asinx在區間（，）是單調遞減的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故選A．例11.(2023·西安模擬)已知ω＞0，函數f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調遞減，則ω的取值范圍是()A．(0,2] B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))答案：D【解析】法一：(反子集法)∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴ωx＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πω,2)＋\f(π,4)，πω＋\f(π,4))).∵f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調遞減，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,4)≥\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，,πω＋\f(π,4)≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω≥4k＋\f(1,2)，k∈Z，,ω≤2k＋\f(5,4)，k∈Z.))又ω＞0，k∈Z，∴k＝0，此時eq\f(1,2)≤ω≤eq\f(5,4)，故選D．法二：(子集法)由2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，得eq\f(2kπ,ω)＋eq\f(π,4ω)≤x≤eq\f(2kπ,ω)＋eq\f(5π,4ω)，k∈Z，因為f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調遞減，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2kπ,ω)＋\f(π,4ω)≤\f(π,2)，,\f(2kπ,ω)＋\f(5π,4ω)≥π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω≥4k＋\f(1,2)，,ω≤2k＋\f(5,4).))因為k∈Z，ω＞0，所以k＝0，所以eq\f(1,2)≤ω≤eq\f(5,4)，即ω的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4))).故選D．【規律方法】1.三角函數單調區間的求法(1)將函數化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助誘導公式將ω化為正數．(2)根據y＝sinx和y＝cosx的單調區間及A的正負，列不等式求解．2.已知單調區間求參數范圍的三種方法（1）子集法：求出原函數的相應單調區間，由已知區間是所求某區間的子集，列不等式(組)求解（2）反子集法：由所給區間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區間的子集，列不等式(組)求解（3）周期性法：由所給區間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解.3.比較三角函數值大小.題型五：三角函數的周期性、奇偶性、對稱性例12.(2023·全國·高考真題）記函數的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3答案：A【解析】分析：由三角函數的圖象與性質可求得參數，進而可得函數解析式，代入即可得解.【詳解】由函數的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數圖象關于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A例13.（2023·全國·高考真題（文））函數f(x)=在[—π，π]的圖像大致為A． B．C． D．答案：D【解析】分析：先判斷函數的奇偶性，得是奇函數，排除A，再注意到選項的區別，利用特殊值得正確答案．【詳解】由，得是奇函數，其圖象關于原點對稱．又．故選D．例14.(2023·四川·高考真題（文））下列函數中，最小正周期為且圖象關于原點對稱的函數是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：求出函數的周期，函數的奇偶性，判斷求解即可．【詳解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函數，函數的周期為：π，滿足題意，所以A正確y＝sin（2x）＝cos2x，函數是偶函數，周期為：π，不滿足題意，所以B不正確；y＝sin2x+cos2xsin（2x），函數是非奇非偶函數，周期為π，所以C不正確；y＝sinx+cosxsin（x），函數是非奇非偶函數，周期為2π，所以D不正確；故選A．例15.（2023·全國·高考真題（理））關于函數f（x）=有如下四個命題：①f（x）的圖象關于y軸對稱．②f（x）的圖象關于原點對稱．③f（x）的圖象關于直線x=對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是__________．答案：②③【解析】分析：利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對稱性的定義可判斷命題③的正誤；取可判斷命題④的正誤.綜合可得出結論.【詳解】對于命題①，，，則，所以，函數的圖象不關于軸對稱，命題①錯誤；對于命題②，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以，函數的圖象關于原點對稱，命題②正確；對于命題③，，，則，所以，函數的圖象關于直線對稱，命題③正確；對于命題④，當時，，則，命題④錯誤.故答案為：②③.【規律方法】1.求三角函數周期的常用方法(1)公式法求周期①函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B與f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期為T＝eq\f(2π,|ω|)；②函數f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq\f(π,|ω|).(2)對稱性求最值①兩對稱軸距離的最小值和兩對稱中心距離的最小值都等于eq\f(T,2)；②對稱中心到對稱軸距離的最小值等于eq\f(T,4)；③兩個最大(小)值點之差的最小值等于T.2.三角函數是奇、偶函數的充要條件(1)函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函數?φ＝kπ(k∈Z)；偶函數?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(2)函數y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函數?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；是偶函數?φ＝kπ(k∈Z)．3．如何判斷函數的奇偶性:根據三角函數的奇偶性，利用誘導公式可推得函數的奇偶性，常見的結論如下：(1)若為偶函數，則有;若為奇函數則有；(2)若為偶函數，則有;若為奇函數則