專題26求動點軌跡方程微點5參數法求動點的軌跡方程專題26求動點軌跡方程微點5參數法求動點的軌跡方程【微點綜述】在高考和數學競賽中有關求動點的軌跡方程題屢見不鮮，就大的范圍來說，求曲線的軌跡方程不外乎直接法與間接（設參消參）法兩種，然而有不少軌跡方程是很難用直接法來求解的，而是需要借助于參數才能間接得以解決．如果動點的流動坐標間不便直接聯系時，可考慮選取參數作橋，先建立參數方程，然后消參得普通方程．一、參數法求動點的軌跡方程有時不容易得出動點應滿足的幾何條件，也無明顯的相關點，但卻較容易發現（或經分析可發現）該動點常常受到另一個變量（角度，斜率，比值，解距或時間等）的制約，即動點坐標中的分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個變量為參數，由此建立軌跡的參數方程，這種方法叫參數法（或設參消參法），如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參數即可，在選擇參數時，選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數量，直線的斜率及點的橫縱坐標等，也可以沒有具體的意義，還要特別注意選定的參變量的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響．二、參數法求動點的軌跡方程一般步驟第一步，選擇坐標系，設動點坐標；第二步，分析軌跡的已知條件，選定參數（選擇參數時要考慮，既要有利于建立方程又要便于消去參數）；第三步，建立參數方程；第四步，消去參數得到普通方程；第五步，討論并判斷軌跡．常用的消參方法有：代人消參，加減消參，整體代換法，三角消參法（）等．要特別注意：消參前后變量的取值范圍不能改變．三、參數法求動點的軌跡方程應用舉例利用參數求動點軌跡方程，關鍵是如何合理地選擇參數，以及使用參數求動點軌跡方程還應注意哪些間題．（一）如何選擇參數求動點軌邊方程利用參數是求動點軌跡的重要方法，而參數選擇的恰當與否，直接影響著解題速度和解題質量．若考察軌跡上點的變動因素，通常可取點的坐標或角度或有向線段作為參數；若所求的軌跡上的點可看作經過某定點的直線束上的點，常以直線束的斜率為參數．1．以點的坐標為參數1．已知過點的直線與圓相交于、兩點，若，則點的軌跡方程是A． B．C． D．2．已知拋物線，定點為拋物線上任意一點，點在線段上，且有，當點在拋物線上變動時，求點的軌跡方程．2．以直線的傾斜角為參數3．如圖，給出定點A(a，0)(a>0)和直線l：x=-1.B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于C.求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系.3．以直線斜率為參數4．如圖，設點A和B為拋物線上原點以外的兩個動點，已知，．求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．5．過拋物線（）的頂點作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點的軌跡方程．（二）注意事項用參數法則求動點軌跡方程，要注意其方程的完各性和純粹性．1．完備性6．等邊，（定長），，兩點分別在軸和軸上運動，求動點的軌跡方程．2．純粹性7．當在內變動時，求拋物線頂點的軌跡．運用參數法則求軌跡方程，應根據參數的取值范圍，求出動點坐標的取值范圍，才能確定其軌跡，否則，不能保證軌跡的純悴性．小結：從上面的典型實例及解析中，我們可以看出，適當運用參數法求動點軌跡方程具有間接、迂回、化繁為簡的優點，應用十分廣泛．選擇參數的幾點注意事項：（1）點的坐標、角、直線斜率等均可選作參數，且選擇的參數越少越好；（2）所選參數最好能表示所有與動點有關的點的坐標或直線方程；（3）若選擇了一個參數，則必須且只需列兩個方程，然后消去參數，即可得到動點軌跡方程；若選擇了兩個參數，則必須且只需列三個方程，然后消去參數，即可得到動點軌跡方程；也就是說，若選擇了個參數，則必須且只需列個方程，然后消去這個參數，即可得到動點軌跡方程．(2023·肥城市教學研究中心）8．已知線段是圓的一條動弦，為弦的中點，，直線與直線相交于點，下列說法正確的是（

）A．弦的中點軌跡是圓B．直線的交點在定圓上C．線段長的最大值為D．的最小值9．已知定點和拋物線，若過點P的直線l與拋物線有兩個不同的交點A、B，求線段AB的中點M的軌跡方程．10．如圖，橢圓（，為常數），動圓，，點分別為的左，右頂點，與相交于四點，求直線與直線交點的軌跡方程.11．已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點．（Ⅰ）若在線段上，是的中點，證明；（Ⅱ）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.(2023·廣東海珠·高二期末）12．已知點，，為直線上的兩個動點，且，動點滿足，（其中為坐標原點），求動點的軌跡的方程．(2023·貴州·二模（理））13．在平面直角坐標系中，橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，點和點為橢圓上兩點，，為橢圓上異于點的兩點，若直線與的斜率之和為，求線段中點的軌跡方程．14．已知橢圓的左?右焦點分別為、，且點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于兩個不同的點、，點為坐標原點，則當的面積最大時，求線段的中點的軌跡方程.15．在平面直角坐標系中，，，是滿足的一個動點．求垂心的軌跡方程.(2023·遼寧撫順·高二期末）16．已知，是拋物線上兩個不同的點，的焦點為．已知點，記直線的斜率分別為，且，當直線過定點，且定點在軸上時，點在直線上，滿足，求點的軌跡方程．17．設橢圓中心為原點O，一個焦點為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．(1)求橢圓的方程；(2)設經過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點為Q，點P在該直線上，且，當t變化時，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．專題26求動點軌跡方程微點5參數法求動點的軌跡方程專題26求動點軌跡方程微點5參數法求動點的軌跡方程【微點綜述】在高考和數學競賽中有關求動點的軌跡方程題屢見不鮮，就大的范圍來說，求曲線的軌跡方程不外乎直接法與間接（設參消參）法兩種，然而有不少軌跡方程是很難用直接法來求解的，而是需要借助于參數才能間接得以解決．如果動點的流動坐標間不便直接聯系時，可考慮選取參數作橋，先建立參數方程，然后消參得普通方程．一、參數法求動點的軌跡方程有時不容易得出動點應滿足的幾何條件，也無明顯的相關點，但卻較容易發現（或經分析可發現）該動點常常受到另一個變量（角度，斜率，比值，解距或時間等）的制約，即動點坐標中的分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個變量為參數，由此建立軌跡的參數方程，這種方法叫參數法（或設參消參法），如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參數即可，在選擇參數時，選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數量，直線的斜率及點的橫縱坐標等，也可以沒有具體的意義，還要特別注意選定的參變量的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響．二、參數法求動點的軌跡方程一般步驟第一步，選擇坐標系，設動點坐標；第二步，分析軌跡的已知條件，選定參數（選擇參數時要考慮，既要有利于建立方程又要便于消去參數）；第三步，建立參數方程；第四步，消去參數得到普通方程；第五步，討論并判斷軌跡．常用的消參方法有：代人消參，加減消參，整體代換法，三角消參法（）等．要特別注意：消參前后變量的取值范圍不能改變．三、參數法求動點的軌跡方程應用舉例利用參數求動點軌跡方程，關鍵是如何合理地選擇參數，以及使用參數求動點軌跡方程還應注意哪些間題．（一）如何選擇參數求動點軌邊方程利用參數是求動點軌跡的重要方法，而參數選擇的恰當與否，直接影響著解題速度和解題質量．若考察軌跡上點的變動因素，通常可取點的坐標或角度或有向線段作為參數；若所求的軌跡上的點可看作經過某定點的直線束上的點，常以直線束的斜率為參數．1．以點的坐標為參數1．已知過點的直線與圓相交于、兩點，若，則點的軌跡方程是A． B．C． D．2．已知拋物線，定點為拋物線上任意一點，點在線段上，且有，當點在拋物線上變動時，求點的軌跡方程．2．以直線的傾斜角為參數3．如圖，給出定點A(a，0)(a>0)和直線l：x=-1.B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于C.求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系.3．以直線斜率為參數4．如圖，設點A和B為拋物線上原點以外的兩個動點，已知，．求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．5．過拋物線（）的頂點作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點的軌跡方程．（二）注意事項用參數法則求動點軌跡方程，要注意其方程的完各性和純粹性．1．完備性6．等邊，（定長），，兩點分別在軸和軸上運動，求動點的軌跡方程．2．純粹性7．當在內變動時，求拋物線頂點的軌跡．運用參數法則求軌跡方程，應根據參數的取值范圍，求出動點坐標的取值范圍，才能確定其軌跡，否則，不能保證軌跡的純悴性．小結：從上面的典型實例及解析中，我們可以看出，適當運用參數法求動點軌跡方程具有間接、迂回、化繁為簡的優點，應用十分廣泛．選擇參數的幾點注意事項：（1）點的坐標、角、直線斜率等均可選作參數，且選擇的參數越少越好；（2）所選參數最好能表示所有與動點有關的點的坐標或直線方程；（3）若選擇了一個參數，則必須且只需列兩個方程，然后消去參數，即可得到動點軌跡方程；若選擇了兩個參數，則必須且只需列三個方程，然后消去參數，即可得到動點軌跡方程；也就是說，若選擇了個參數，則必須且只需列個方程，然后消去這個參數，即可得到動點軌跡方程．(2023·肥城市教學研究中心）8．已知線段是圓的一條動弦，為弦的中點，，直線與直線相交于點，下列說法正確的是（

）A．弦的中點軌跡是圓B．直線的交點在定圓上C．線段長的最大值為D．的最小值9．已知定點和拋物線，若過點P的直線l與拋物線有兩個不同的交點A、B，求線段AB的中點M的軌跡方程．10．如圖，橢圓（，為常數），動圓，，點分別為的左，右頂點，與相交于四點，求直線與直線交點的軌跡方程.11．已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點．（Ⅰ）若在線段上，是的中點，證明；（Ⅱ）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.(2023·廣東海珠·高二期末）12．已知點，，為直線上的兩個動點，且，動點滿足，（其中為坐標原點），求動點的軌跡的方程．(2023·貴州·二模（理））13．在平面直角坐標系中，橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，點和點為橢圓上兩點，，為橢圓上異于點的兩點，若直線與的斜率之和為，求線段中點的軌跡方程．14．已知橢圓的左?右焦點分別為、，且點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于兩個不同的點、，點為坐標原點，則當的面積最大時，求線段的中點的軌跡方程.15．在平面直角坐標系中，，，是滿足的一個動點．求垂心的軌跡方程.(2023·遼寧撫順·高二期末）16．已知，是拋物線上兩個不同的點，的焦點為．已知點，記直線的斜率分別為，且，當直線過定點，且定點在軸上時，點在直線上，滿足，求點的軌跡方程．17．設橢圓中心為原點O，一個焦點為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．(1)求橢圓的方程；(2)設經過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點為Q，點P在該直線上，且，當t變化時，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．參考答案：1．B【詳解】設，，過點的直線為，由得，直線代入得則，即，，所以故選B2．分析：設、，利用定比分點公式求點坐標與點坐標間數量關系，根據點在拋物線上求的軌跡方程．【詳解】設、，則，①，②在拋物線上，，把①②代入得，化簡得，即，軌跡為拋物線.3．答案見解析【解析】記B(-1，b)(b∈R)，易知直線OA和OB的方程分別為y=0和y=-bx，設點C(x，y)，（0≤x<a），根據OC平分∠AOB，利用點C到OA?OB距離相等得到，再根據點C在直線AB上，由，求出b，代入上式化簡求解.【詳解】依題意，記B(-1，b)(b∈R)，則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=-bx.設點C(x，y)，則有0≤x<a，由OC平分∠AOB，知點C到OA?OB距離相等.由點到直線的距離公式得又因為點C在直線AB上，所以，因為，所以，代入上式得，整理得y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0，若y≠0，則(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)；若y=0，則b=0，∠AOB=π，點C的坐標為(0，0)，滿足上式.綜上得點C的軌跡方程為(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a).（i）當a=1時，軌跡方程化為y2=x(0≤x<1).表示拋物線弧段；（ii）當a≠1時，軌跡方程為當0<a<1時，方程表示橢圓弧段；當a>1時，方程表示雙曲線一支的弧段.【點睛】方法點睛：求軌跡方程的常用方法1．直接法：根據題目條件，直譯為關于動點的幾何關系，再利用解析幾何有關公式(兩點距離公式、點到直線距離公式、夾角公式等)進行整理、化簡，即把這種關系“翻譯”成含x，y的等式就得到曲線的軌跡方程了．2．定義法：若動點軌跡滿足已知曲線的定義，可先設定方程，再確定其中的基本量，求出動點的軌跡方程．3．相關點法：當動點是隨著另一動點(稱之為相關點)而運動的，如果相關點所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時我們可以用動點坐標表示相關點坐標，根據相關點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程.4．，M的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，去掉坐標原點．分析：設出點的坐標，根據給出的兩個垂直關系，得到各個坐標間的關系，消去參數得到軌跡方程，并去掉不符合的點．【詳解】設，的斜率分別為．所以由，得由點在上，得直線方程由，得直線方程設點，則滿足②、③兩式，將②式兩邊同時乘，并利用③式整理得由③、④兩式得由①式知，∴因為是原點以外的兩點，所以．所以點M的軌跡方程為，的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，去掉坐標原點．5．分析：根據題意求的坐標，再利用消參法求點的軌跡方程.【詳解】設直線的斜率為，則直線的斜率為．∵直線OA的方程為，聯立方程，解得，即，同理可得．由中點坐標公式得，即，消去得∴點的軌跡方程為6．分析：過點作軸于，設為參數，利用表示點的坐標，消參即可.【詳解】如圖①，過點作軸于，設為參數，動點的坐標為，由，，得，，即參數方程為，消去參數，得．若以此結論作為點的軌跡方程是不完備的．原因是：以上解法只考慮，，的排列順序按順時針方向，如果，，排列順序按逆時針方向，仍以與軸正向夾角為參數，如圖②虛線形，則軌跡的參數方程為，消去參數，得．綜上，所求的動點的軌跡方程為．7．分析：將原式配方，得頂點坐標，將參數方程化為普通方程，最后再注明的范圍即可.【詳解】將原式配方得，，設點的坐標為，則，消去參數，得，即．由于原參數方程中的取值范圍是，而普通方程中的取值范圍是，兩者范圍不一致，所以對于原參數方程的普通方程應為．8．ACD分析：設，，由已知結合垂徑定理求得的軌跡判斷；聯立兩直線方程消去判斷；由選項、及兩圓的位置關系判斷；由數量積運算結合選項求得數量積的最小值判斷．【詳解】對于選項A：設，因為，為弦的中點，所以.而，半徑為，則圓心到弦的距離為.又圓心，所以，即弦中點的軌跡是圓，故選項A正確；對于選項B：由，消去可得，得，選項B不正確；對于選項C：由選項A知，點的軌跡方程為：，又由選項B知，點的軌跡方程為：，所以，線段，故選項C正確；對于選項D：，故，由選項C知，，所以，故選項D正確.故選：．9．（或）分析：由題意，設出點的坐標以及直線方程，聯立方程，由根的判別式以及韋達定理，表示出中點坐標，消去斜率，可得答案.【詳解】設點M的坐標為，點A的坐標為，點B的坐標為．顯然，直線l的斜率存在，故設直線l的方程為，由，得：，，解得：或，則，，而，因此點M的坐標為，，消去參數k，得：．由或，得：或．綜上，點M的軌跡方程（或）．10．分析：表示出直線和直線的方程后可得；結合點在橢圓上，可整理得到所求軌跡方程.【詳解】設，，又，，則直線的方程為…①；直線的方程為…②；由①②得：…③；由點在橢圓上可得：，，代入③得：.11．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．分析：設的方程為．（Ⅰ）由在線段上，又；（Ⅱ）設與軸的交點為（舍去），．設滿足條件的的中點為．當與軸不垂直時．當與軸垂直時與重合所求軌跡方程為．【詳解】由題設，設，則，且．記過兩點的直線為，則的方程為（Ⅰ）由于在線段上，故，記的斜率為的斜率為，則，所以（Ⅱ）設與軸的交點為，則，由題設可得，所以（舍去），．設滿足條件的的中點為．當與軸不垂直時，由可得．而，所以．當與軸垂直時，與重合，所以，所求軌跡方程為【點睛】本題考查了1.拋物線定義與幾何性質；2.直線與拋物線位置關系；3.軌跡求法．12．分析：根據題意將動點的坐標設出，垂直轉化為對應的向量數量積為0，再轉化平行條件從而得到動點的軌跡方程.【詳解】設、、，則，，，由，得，且點、均不在軸上，故，且，．由，得，即．由，得，即．∴，∴動點的軌跡的方程為：.13．分析：根據點與，可得橢圓方程，設直線的方程，聯立直線與橢圓，可得的坐標，同理可得，進而可得點的參數方程，消參即可得軌跡方程.【詳解】設橢圓方程為，因為點和點為橢圓上兩點，所以，解得，所以橢圓方程為，即，設直線的斜率為，直線的方程為，即，與橢圓聯立方程，得，即，點的橫坐標為，縱坐標為，即點的坐標為，因為直線與的斜率之和為，直線的斜率為，同理，可得點的坐標，點的坐標為，點的參數方程為：（為參數）消去參數得點的軌跡方程，由，解得，，點的軌跡方程．14．（1）；（2）.分析：（1）根據已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）設點、、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，利用三角形的面積公式結合基本不等式可求得的面積的最大值，利用等號成立得出，利用為線段的中點，結合中點坐標公式以及韋達定理化簡得出，代入等式，化簡可得點的軌跡方程.【詳解】（1）由題意知，解得，故橢圓的方程為；（2）設、、，由得，，由韋達定理可得，，點