備戰2020年高考數學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第二篇數列與不等式專題01等差與等比數列的基本量的計算類型對應典例利用基本量思想求解等差等比典例1等差等比中項的應用典例2等差等比數列求和中帶絕對值問題典例3等差等比數列的和的最值問題典例4等差等比數列之間的綜合問題典例5等差等比數列的定義應用典例6【典例1】【內蒙古呼和浩特市2019屆高三上學期期中調研考試】已知數列是等差數列，且，．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）若數列是遞增的等比數列且，，求．【思路引導】（Ⅰ）由已知可得，即可求出數列{an}的通項公式an；（Ⅱ）由已知可得可得bn＝2n﹣1，再分組求和即可．【典例2】【黑龍江省大慶市2019-2020學年高三年級第二次教學質量檢測】已知等差數列的公差，其前項和為，若,且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.【思路引導】（1）根據等差數列公式得到，計算得到答案.（2），利用分組求和法計算得到答案.【典例3】【廣東省惠州市2019-2020學年高三第三次調研考試】等差數列的前項和為，已知，公差為大于0的整數，當且僅當=4時，取得最小值.（1）求公差及數列的通項公式；（2）求數列的前20項和.【思路引導】（1）根據等差數列性質得，解不等式得范圍，再根據為大于0的整數得的值，最后根據等差數列通項公式得結果；（2）先根據項的正負去掉絕對值，再分別根據對應等差數列求和公式求和，即得結果.【典例4】【陜西省寶雞中學2019-2020學年高三上學期第一次模擬】已知等差數列滿足且，等比數列的首項為2，公比為.（1）若，問等于數列中的第幾項？（2）若，數列和的前項和分別記為和，的最大值為，試比較與的大小.【思路引導】(1)根據等差數列的通項公式,即可求得數列的通項公式.根據等比數列的首項與公比,求得等比數列的通項公式,進而可求得.即可求出等于數列中項.(2)根據等差數列的求和公式即可求得等差數列前項和的最大值為.由等比數列的前項和公式求得的值,即可比較與的大小.【典例5】【2007年普通高等學校招生全國統一考試理科數學卷（福建)】等差數列的前項和為．（Ⅰ）求數列的通項與前項和；（Ⅱ）設，求證：數列中任意不同的三項都不可能成為等比數列．【典例6】【2020屆湖北省部分重點中學高三第二次聯考】若的前項和為，，數列是公差為6的等差數列.（1）求的通項公式；（2）記，求證：為等比數列，并求前項和.【思路引導】（1）先求出，再利用求出的通項公式；（2）證明為定值即可得為等比數列，再利用等比數列的前項和公式求.【針對訓練】1.已知等差數列的公差，且，的前項和為.（1）求的通項公式；（2）若、、成等比數列，求的值.2.等差數列中，公差，，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.3.【2020屆湖北省荊州中學、宜昌一中等“荊、荊、襄、宜四地七校高三上學期期末】已知等差數列的首項為6，公差為，且成等比數列.（1）求的通項公式；（2）若，求的值.4.【云南省昆明市2019-2020學年高三下學期1月月考】設等差數列公差為，等比數列公比為，已知，，.（1）求數列，的通項公式；（2）記，求數列的前項和.5.【陜西省寶雞市金臺區2019-2020學年高三教學質量檢測數學】在等差數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）設數列是首項為1，公比為的等比數列，求數列的前項和.6.已知等差數列的前項和為，等比數列的前項和為，且，，.（1）若，求的通項公式；（2）若，求.7.【山東省泰安市2019-2020學年高三上學期期末】已知等差數列的前n項和為．(1)求的通項公式；(2)數列滿足為數列的前n項和，是否存在正整數m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請說明理由．8.【山西省運城市2019-2020學年高三上學期期末】設為等差數列的前項和，且.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設數列的前項和為，且，求數列的前項和.9.【廣東省潮州市2019-2020學年高三上學期期末】已知等差數列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設等比數列滿足.若，求的值.10.【四川省綿陽市高中2019-2020學年高三第二次診斷性】已知等差數列的前項和為，且滿足，.各項均為正數的等比數列滿足，.（1）求和；（2）求和：.備戰2020年高考數學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第二篇數列與不等式專題01等差與等比數列的基本量的計算類型對應典例利用基本量思想求解等差等比典例1等差等比中項的應用典例2等差等比數列求和中帶絕對值問題典例3等差等比數列的和的最值問題典例4等差等比數列之間的綜合問題典例5等差等比數列的定義應用典例6【典例1】【內蒙古呼和浩特市2019屆高三上學期期中調研考試】已知數列是等差數列，且，．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）若數列是遞增的等比數列且，，求．【思路引導】（Ⅰ）由已知可得，即可求出數列{an}的通項公式an；（Ⅱ）由已知可得可得bn＝2n﹣1，再分組求和即可．解：（Ⅰ）有已知得：，.（Ⅱ）由已知得：,又是遞增的等比數列，故解得：,,∴===.【典例2】【黑龍江省大慶市2019-2020學年高三年級第二次教學質量檢測】已知等差數列的公差，其前項和為，若,且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.【思路引導】（1）根據等差數列公式得到，計算得到答案.（2），利用分組求和法計算得到答案.解：（1）依題意，得即，整理得.∵，∴，.∴數列的通項公式即數列的通項公式.（2），，故.【典例3】【廣東省惠州市2019-2020學年高三第三次調研考試】等差數列的前項和為，已知，公差為大于0的整數，當且僅當=4時，取得最小值.（1）求公差及數列的通項公式；（2）求數列的前20項和.【思路引導】（1）根據等差數列性質得，解不等式得范圍，再根據為大于0的整數得的值，最后根據等差數列通項公式得結果；（2）先根據項的正負去掉絕對值，再分別根據對應等差數列求和公式求和，即得結果.解：（1）設的公差為，則由題可知：.，即.解得.因為為整數，=2所以數列的通項公式為（2）當時，；當時，=272所以數列的前20項和為272.【典例4】【陜西省寶雞中學2019-2020學年高三上學期第一次模擬】已知等差數列滿足且，等比數列的首項為2，公比為.（1）若，問等于數列中的第幾項？（2）若，數列和的前項和分別記為和，的最大值為，試比較與的大小.【思路引導】(1)根據等差數列的通項公式,即可求得數列的通項公式.根據等比數列的首項與公比,求得等比數列的通項公式,進而可求得.即可求出等于數列中項.(2)根據等差數列的求和公式即可求得等差數列前項和的最大值為.由等比數列的前項和公式求得的值,即可比較與的大小.解：(1)因為等差數列滿足即,所以等差數列的公差又得,代入可得所以當等比數列的首項為2,公比為.當時所以所以當時解得即時等于數列中的第16項(2)等比數列的首項為2,若由可得又等差數列中代入可得所以當時,的最大值為所以【典例5】【2007年普通高等學校招生全國統一考試理科數學卷（福建)】等差數列的前項和為．（Ⅰ）求數列的通項與前項和；（Ⅱ）設，求證：數列中任意不同的三項都不可能成為等比數列．解：（Ⅰ）由已知得，，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．假設數列中存在三項（互不相等）成等比數列，則．即．，．與矛盾．所以數列中任意不同的三項都不可能成等比數列．【典例6】【2020屆湖北省部分重點中學高三第二次聯考】若的前項和為，，數列是公差為6的等差數列.（1）求的通項公式；（2）記，求證：為等比數列，并求前項和.【思路引導】（1）先求出，再利用求出的通項公式；（2）證明為定值即可得為等比數列，再利用等比數列的前項和公式求.解：（1）依題意：，從而，，；（2）由條件知：，當時，，故為公比為8的等比數列.由等比數列求和公式，.【針對訓練】1.已知等差數列的公差，且，的前項和為.（1）求的通項公式；（2）若、、成等比數列，求的值.【思路引導】（1）根據題意得出和的方程組，解出這兩個量，然后求解等差數列的通項公式；（2）求出，利用、、成等比數列，列出方程，即可求解正整數的值．解：（1）因為，解得，因此，；（2），又，，因為、、成等比數列，所以，即，整理得，，解得.2.【2020屆安徽省皖東縣中聯盟上學期高三期末考試】2.等差數列中，公差，，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【思路引導】（1）利用等差數列、等比中項的通項公式即可求解.（2）利用裂項求和法即可求解.解：（1）由題設成等比數列知：即：，又，解得或（舍去），故的通項公式為；（2）由（1）知，則，則數列的前項和.3.【2020屆湖北省荊州中學、宜昌一中等“荊、荊、襄、宜四地七校高三上學期期末】已知等差數列的首項為6，公差為，且成等比數列.（1）求的通項公式；（2）若，求的值.【思路引導】（1）由通項公式寫出，利用成等比數列可求得，從而得數列的通項公式；（2）由（1）得的表達式，確定中哪些項為正，哪些項為負，然后分類求和．解：（1）公差為成等差數列，解得或當時，；當時，，故或.（2）∵0，∴=-1，此時．當時，當時，故4.【云南省昆明市2019-2020學年高三下學期1月月考】設等差數列公差為，等比數列公比為，已知，，.（1）求數列，的通項公式；（2）記，求數列的前項和.【思路引導】（1）將條件均用基本量表示，列方程求解即可；（2）寫出和，作差，利用等比數列的求和公式整理即可．解：（1）∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，解得：，，若，（舍去），若，，∴，∴，.（2），∴，∴，..5.【陜西省寶雞市金臺區2019-2020學年高三教學質量檢測數學】在等差數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）設數列是首項為1，公比為的等比數列，求數列的前項和.【思路引導】（1）根據條件列關于首項與公差的方程，解得結果代入等差數列通項公式得結果；（2）先根據等比數列通項公式得，解得通項公式，再根據分組求和公式得結果.解：（1）設等差數列的公差為，則，∴.∴，解得∴數列的通項公式為；（2）∵數列是首項為1，公比為的等比數列，∴，即.∴.∴.∴.6.已知等差數列的前項和為，等比數列的前項和為，且，，.（1）若，求的通項公式；（2）若，求.【思路引導】（1）設等差數列公差為，等比數列公比為，由已知條件求出，再寫出通項公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出.解：設等差數列公差為，等比數列公比為有，即.（1）∵，結合得，∴.（2）∵，解得或3，當時，，此時；當時，，此時.7.【山東省泰安市2019-2020學年高三上學期期末】已知等差數列的前n項和為．(1)求的通項公式；(2)數列滿足為數列的前n項和，是否存在正整數m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請說明理由．【思路引導】（1）設等差數列的公差為d，由等差數列的通項公式與前項和公式得，解得，從而求出；（2）由（1）得，由，利用裂項相消法得，若，則，整理得，由得，從而可求出答案．解：（1）設等差數列的公差為d，由得，解得，；（2），，，若，則，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在滿足題意．8.【山西省運城市2019-2020學年高三上學期期末】設為等差數列的前項和，且.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設數列的前項和為，且，求數列的前項和.【思路引導】（Ⅰ）將和利用和來表示，構造方程組解得和，根據等差數列通項公式求得結果；（Ⅱ）由等差數列前項和公式求得，可得到，根據和可得；根據通項公式可知當時，；當時，，從而可得：時；時，從而求得結果.解：（Ⅰ）設等差數列的公差為，則：解得：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當時，當且時，經驗證當時，；當時，當時，當時，綜上所述：9.【廣東省潮州市2019-2020學年高三上學期期末】已知等差數列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設等比數列滿足.若，求的值.【思路引導】（1）求出公差和首項，可得通項公式；（2）由得公比，再得，結合通項公