3.3指數運算及指數函數（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現考點呈現例題剖析例題剖析考點一指數運算【例1-1】(2023·江西）化簡___.【例1-2】(2023·江蘇）化簡：________．【一隅三反】1．(2023·河南）_____．2．(2023·全國·高三專題練習）×0＋80.25×＋(×)6－=____________3．（2023·江蘇省）已知，則的值為___________．考點二單調性【例2-1】（2023·安徽）函數的單調遞增區間為（

）A． B．C． D．【例2-2】（2023·北京市）已知函數|在區間上是增函數，則實數的取值范圍是_____.【例2-3】(2023·河南省）已知函數滿足對任意的實數，且，都有成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·遼寧沈陽）已知函數，則函數（

）A．是偶函數，且在上單調遞增B．是奇函數，且在上單調遞減C．是奇函數，且在上單調遞增D．是偶函數，且在上單調遞減2．(2023·全國·高三專題練習）已知函數滿足對任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，則a的取值范圍為（）A． B．(0，1) C． D．(0，3)3．(2023·上海奉賢區致遠高級中學高三開學考試）函數在內單調遞增，則實數的取值范圍是__________.考點三最值（值域）【例3-1】(2023·北京·高三專題練習）已知函數，，則函數的值域為（

）．A． B． C． D．【例3-2】(2023·北京）已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·寧夏）已知的最小值為2，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．(2023·浙江·高三專題練習）已知函數，則函數在區間上的最小值的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·河南）若函數的值域為，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．(2023·全國·高三專題練習）已知，則函數的值域為（

）A． B． C． D．5．(2023·河南焦作·二模（理））已知函數為奇函數，且的圖象和函數的圖象交于不同的兩點A，B，若線段的中點在直線上，則的值域為（

）A． B．C． D．考點四指數式比較大小【例4-1】(2023·河南焦作）若，，，a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【例4-2】(2023·江西·二模（理））設，則(

)A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·河南洛陽）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．2．(2023·河南）已知，，，則（

）A． B．C． D．3．(2023·江蘇蘇州）已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．考點五解不等式【例5-1】(2023·全國·高三專題練習）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【例5-2】(2023·浙江·舟山中學）已知函數，若都有成立，則實數的取值范圍是（

）A．或 B． C．或 D．【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習）已知（為常數）為奇函數，則滿足的實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·山東）已知函數，若對任意的，都有恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．(2023·全國·高三專題練習）設，則的解集為（

）A． B．C． D．考點六定點【例6】(2023·新疆阿勒泰）函數圖象過定點，點在直線上，則最小值為___________.【一隅三反】1．(2023·內蒙古）函數的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為___________.2．(2023·云南）函數恒過定點，則在點處的切線方程為_____.3．(2023·全國·高三專題練習）已知直線方程經過指數函數的定點，則的最小值______________.3.3指數運算及指數函數（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現考點呈現例題剖析例題剖析考點一指數運算【例1-1】(2023·江西）化簡___.答案：214【解析】原式＝＋2－3－2＋1＝214.故答案為：214.【例1-2】(2023·江蘇）化簡：________．答案：【解析】原式故答案為：﹒【一隅三反】1．(2023·河南）_____．答案：【解析】原式=.故答案為：.2．(2023·全國·高三專題練習）×0＋80.25×＋(×)6－=____________答案：110【解析】原式＝.故答案為：1103．（2023·江蘇省）已知，則的值為___________．答案：【解析】因為，所以，所以.故答案為：考點二單調性【例2-1】（2023·安徽）函數的單調遞增區間為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】令，則原函數可化為，該函數在上單調遞增，又在R上單調遞增，當時，，故在上單調遞增，故選：A.【例2-2】（2023·北京市）已知函數|在區間上是增函數，則實數的取值范圍是_____.答案：【解析】由的圖象向右平移1個單位，可得的圖象，因為是偶函數，且在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，因為函數|在區間上是增函數，所以，解得，所以實數的取值范圍是.故答案為：.【例2-3】(2023·河南省）已知函數滿足對任意的實數，且，都有成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因為對任意的實數，且，都有成立，所以，對任意的實數，且，，即函數是上的減函數．因為，令，，要使在上單調遞減，所以，在上單調遞增．另一方面，函數為減函數，所以，，解得，所以實數a的取值范圍是．故選：D．【一隅三反】1．(2023·遼寧沈陽）已知函數，則函數（

）A．是偶函數，且在上單調遞增B．是奇函數，且在上單調遞減C．是奇函數，且在上單調遞增D．是偶函數，且在上單調遞減答案：A【解析】∵∴，∴函數為偶函數，當時，，∵函數在上單調遞增，函數在上單調遞減，∴在上單調遞增，即函數在上單調遞增.故選：A.2．(2023·全國·高三專題練習）已知函數滿足對任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，則a的取值范圍為（）A． B．(0，1) C． D．(0，3)答案：A【解析】因對任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，則f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)為R上的減函數，則函數在上是減函數，有，函數在上是減函數，有，即，并且滿足：，即，解和，綜上得，所以a的取值范圍為.故選：A3．(2023·上海奉賢區致遠高級中學高三開學考試）函數在內單調遞增，則實數的取值范圍是__________.答案：【解析】當時，在上，單調遞增，單調遞增，即單調遞增，符合題意；當時，在內單調遞增，符合題意；當時，，∴若，時，等號不成立，此時在內單調遞增，符合題意；若，時，若當且僅當時等號成立，此時在內單調遞增，不符合題意.綜上，有時，函數在內單調遞增.故答案為：.考點三最值（值域）【例3-1】(2023·北京·高三專題練習）已知函數，，則函數的值域為（

）．A． B． C． D．答案：B【解析】依題意，函數，，令，則在上單調遞增，即，于是有，當時，，此時，，當時，，此時，，所以函數的值域為.故選：B【例3-2】(2023·北京）已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】函數，當時，由反比例函數的性質得：；當時，由指數函數的性質得：因為函數的值域為R，所以，解得，故選；D【一隅三反】1．(2023·寧夏）已知的最小值為2，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】當時，，又因為的最小值為2，所以需要當時，恒成立，所以在恒成立，所以在恒成立，即在恒成立，令，則，原式轉化為在恒成立，是二次函數，開口向下，對稱軸為直線，所以在上最大值為，所以，故選：D.2．(2023·浙江·高三專題練習）已知函數，則函數在區間上的最小值的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】作出的圖象，如圖，結合函數圖象可知：當時，，當時，.所以函數，而時，，所以，綜上，，故選：D3．（2023·河南）若函數的值域為，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因為，且的值域為，所以，解得.故選：C.4．(2023·全國·高三專題練習）已知，則函數的值域為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】函數是R上偶函數，因，即函數在R上單調遞增，而，，令，則，因此，原函數化為：，顯然在上單調遞增，則當時，，所以函數的值域為.故選：A5．(2023·河南焦作·二模（理））已知函數為奇函數，且的圖象和函數的圖象交于不同的兩點A，B，若線段的中點在直線上，則的值域為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】因為為奇函數，所以，即，解得，經檢驗為奇函數，定義域為，符合題意.聯立，消去得到關于y的二次方程，，設，，則，因為的中點的縱坐標為，所以，解得.所以，所以的值域為.故選：B考點四指數式比較大小【例4-1】(2023·河南焦作）若，，，a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為，所以，因為，所以，因為，所以，同時，所以.故選：A．【例4-2】(2023·江西·二模（理））設，則(

)A． B．C． D．答案：B【解析】∵，，，；，令，∴，∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；∴，∴，即，，又，∴．故選：B．【一隅三反】1．(2023·河南洛陽）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】構造，，，在時為減函數，且，所以在恒成立，故在上單調遞減，所以，即，所以，即.故選：D2．(2023·河南）已知，，，則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】，，，即，所以，，，則，即A錯誤；，，所以，，，，即BC都錯誤，D正確.故選：D.3．(2023·江蘇蘇州）已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由，得，令，則，當時，，當時，，所以函數在上遞增，在上遞減，又因，且，所以，即，所以.故選：D.考點五解不等式【例5-1】(2023·全國·高三專題練習）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】函數定義域為R，，則函數是奇函數，是R上增函數，，于是得，解得或，所以所求不等式的解集是.故選：C【例5-2】(2023·浙江·舟山中學）已知函數，若都有成立，則實數的取值范圍是（

）A．或 B． C．或 D．答案：D【解析】當時，則，，當時，則，，，所以為奇函數，因為時為增函數，又為奇函數，為上單調遞增函數，的圖象如下，由得，所以，即在都成立，即，解得.故選：D.【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習）已知（為常數）為奇函數，則滿足的實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為函數為奇函數，所以，，得所以，任取，則，則，所以，，則函數為上的增函數，由，解得.故選：A.2．（2023·山東）已知函數，若對任意的，都有恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】對任意的，，所以，函數的定義域為，由，可得，可知函數為奇函數，又由，當時，函數和單調遞增，任取，則，，可得，即，所以，函數在上單調遞增，則函數在上單調遞增，由于函數在上連續，則函數在上的增函數，由，有，有，可得，由題意可知，不等式對任意的恒成立，有，解得．故選：C.3．(2023·全國·高三專題練習）設，則的解集為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】的定義域為R.因為，所以可化為：令，即.下面判斷的單調性和奇偶性.因為，所以為奇函數；而，因為在R上為增函數，所以在R上單調遞增.所以可化為：，即或，解得：或.所以原不等式的解集為.故選：B考點六定點【例6】(2023·新疆阿勒泰）函數圖象過定點，點在直線上，則最小值為___________.答案：【解析】當時，，過定點，又點在直線上，，即，，，，（當且僅當，即，時取等號），的最小值為.故答案為：.【一隅三反】1．(2023·內蒙古