第4課時概率、統(tǒng)計的綜合問題考點一以統(tǒng)計圖表為載體的概率統(tǒng)計問題[典例1](2022·新高考Ⅱ卷)在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%，從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001)．[解](1)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡x＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(歲)．(2)設(shè)A＝{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間[20，70)}，則P(A)＝1－P(A)＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.(3)設(shè)B＝{任選一人年齡位于區(qū)間[40，50)}，C＝{任選一人患這種疾病}，則由條件概率公式，得P(C|B)＝PBCPB＝0.1%×0.023×1016%該類問題常常借助圖形或表格，將文字、圖表、數(shù)據(jù)等融為一體，考查考生的直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，求解的關(guān)鍵是立足題干提取信息，結(jié)合統(tǒng)計的相關(guān)知識進行數(shù)據(jù)分析或結(jié)合概率模型求解相應(yīng)概率．[跟進訓(xùn)練]1．某學(xué)校號召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時”活動，為了了解學(xué)生參與活動的情況，隨機調(diào)查了100名學(xué)生一個月(30天)完成鍛煉活動的天數(shù)，制成如下頻數(shù)分布表：天數(shù)[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25)[25，30]人數(shù)4153331116(1)由頻數(shù)分布表可以認為，學(xué)生參加體育鍛煉天數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值)，且σ＝6.1，若全校有3000名學(xué)生，求參加“每天鍛煉1小時”活動超過21天的人數(shù)(精確到1)；(2)調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在[15，30]的學(xué)生中有30名男生，天數(shù)在[0，15)的學(xué)生中有20名男生，學(xué)校對當(dāng)月參加“每天鍛煉1小時”活動不低于15天的學(xué)生授予“運動達人”稱號．請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表：性別活動天數(shù)合計[0，15)[15，30]男生女生合計并依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為學(xué)生性別與獲得“運動達人”稱號有關(guān)聯(lián)．如果結(jié)論是有關(guān)聯(lián)，請解釋它們之間如何相互影響．參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.附：χ2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828[解](1)由頻數(shù)分布表知μ＝1100×(4×2.5＋15×7.5＋33×12.5＋31×17.5＋11×22.5＋6×27.5)＝14.9則X～N(14.9，6.12)，∵P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，∴P(X＞21)＝P(X＞14.9＋6.1)≈1?0.68272∴3000×0.15865＝475.95≈476，∴參加“每天鍛煉1小時”活動超過21天的人數(shù)約為476.(2)由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動的天數(shù)在[0，15)的人數(shù)為4＋15＋33＝52，∵參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在[0，15)的學(xué)生中有20名男生，∴參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在[0，15)的學(xué)生中女生人數(shù)為52－20＝32.由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動的天數(shù)在[15，30]的人數(shù)為31＋11＋6＝48，∵參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在[15，30]的學(xué)生中有30名男生，∴參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在[15，30]的學(xué)生中女生人數(shù)為48－30＝18.列聯(lián)表如下：性別活動天數(shù)[0，15)[15，30]合計男生203050女生321850合計5248100零假設(shè)為H0：學(xué)生性別與獲得“運動達人”稱號無關(guān)，χ2＝100×30×32?20×18250×50×52×48≈5.7依據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即可以認為學(xué)生性別與獲得“運動達人”稱號有關(guān)，而且此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到，男生、女生中活動天數(shù)不低于15天的頻率分別為3050＝0.6和1850＝0.36，可見男生中獲得“運動達人”稱號的頻率是女生中獲得“運動達人”稱號頻率的0.60.36≈1.67倍，于是依據(jù)頻率穩(wěn)定與概率的原理，我們可以認為男生獲得“運動達人”的概率大于女生，即男生更容易獲得考點二概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題[典例2](2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．求：(1)第2次投籃的人是乙的概率．(2)第i次投籃的人是甲的概率．(3)已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，則.記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y，求E(Y)．[解](1)記“第2次投籃的人是乙”為事件A，“第1次投籃的人是甲”為事件B，則A＝BA＋BA，所以P(A)＝P(BA＋BA)＝P(BA)＋P(BA)＝(2)設(shè)第i次投籃的人是甲的概率為pi，由題意可知，p1＝12，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝25pi＋所以pi＋1－13＝2又p1－13＝12?13＝16，所以數(shù)列所以pi－13＝1所以pi＝13(3)設(shè)第i次投籃時甲投籃的次數(shù)為Xi，則Xi的可能取值為0或1，當(dāng)Xi＝0時，表示第i次投籃的人是乙，當(dāng)Xi＝1時，表示第i次投籃的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi.Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，則E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由(2)知，pi＝13所以E(Y)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝n3+16×解答此類問題關(guān)鍵是借助概率知識(如相互獨立事件的概率公式、條件概率的公式等)建立Pn＋1與Pn的遞推關(guān)系，然后利用數(shù)列知識(一般是構(gòu)造法)求解．[跟進訓(xùn)練]2．(2024·山東青島開學(xué)考試)某籃球賽事采取四人制形式．在一次戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練中，甲、乙、丙、丁四名隊員進行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三人中的任何一人．n次傳球后，記事件“乙、丙、丁三人均接過傳出來的球”發(fā)生的概率為Pn.(1)求P3；(2)當(dāng)n＝3時，記乙、丙、丁三人中接過傳出來的球的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)當(dāng)n≥4時，證明：Pn＝13+23Pn[解](1)乙、丙、丁三人每次接到傳球的概率均為13，3次傳球后，事件“乙、丙、丁三人均接過傳出來的球”發(fā)生的概率為P3＝A33(2)由題意知，X的可能取值為1，2，3，P(X＝1)＝3×133＝P(X＝3)＝A33×P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝23X的分布列為X123P122E(X)＝1×19＋2×23＋3×29(3)證明：n次傳球后乙、丙、丁三人均接過他人傳球，有兩種情況，第一種：n－1次傳球后乙、丙、丁三人均接過他人傳球，這種情況的概率為Pn－1；第二種：n－1次傳球后乙、丙、丁中只有兩人接過他人傳球，第n次傳球時將球傳給剩余一人，這種情況的概率為1?P所以，當(dāng)n≥4時，Pn＝Pn－1＋1?Pn?1?3×13n?1×1所以Pn＝13+23Pn【教師備選資源】(2019·全國Ⅰ卷)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.(i)證明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)為等比數(shù)列；(ii)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性．[解](1)由題意可知X所有可能的取值為－1，0，1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．則X的分布列為X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)∵α＝0.5，β＝0.8，∴a＝0.5×0.8＝0.4，b＝0.5×0.8＋0.5×0.2＝0.5，c＝0.5×0.2＝0.1.(i)證明：∵pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，即pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1(i＝1，2，…，7)，整理可得：5pi＝4pi－1＋pi＋1(i＝1，2，…，7)，∴pi＋1－pi＝4pi?pi?1(又∵p1－p0＝p1≠0，∴pi+1?pi(i＝0，1，2，…，7)是以(ii)由(i)知：pi＋1－pi＝(p1－p0)·4i＝p1·4i，∴p8－p7＝p1·47，p7－p6＝p1·46，…，作和可得：p8－p0＝p1·40+41+…+47＝1?481?4p1＝∴p4＝p4－p0＝p1·40+41+42+43＝p4表示最終認為甲藥更有效的概率．由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為p4＝1257≈0.0039，此時得出考點三概率、統(tǒng)計與函數(shù)的交匯問題[典例3](12分)根據(jù)社會人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個家庭有X個孩子的概率模型為：X1230Pααα(1－p)α(1－p)2其中α＞0，0＜p＜1．每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為12且相互獨立，事件Ai表示一個家庭有i個孩子(i＝0，1，2，3)，事件B(1)若p＝12，求α及P(B(2)為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)p受到各種因素的影響(例如生育保險的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等)．①若希望P(X＝2)增大，如何調(diào)控p的值？②是否存在p的值使得E(X)＝53[規(guī)范解答](1)由題意得αp＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1，p＝12，解得α＝415又因為P(B|A1)＝12，P(B|A2)＝122P(B|A3)＝C32123↓失分點所以P(B)＝＝12×815+14×(2)①由已知αp＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1↓切入點變形整理得，1α＝p2－3p＋1p＋3.···················可設(shè)f(p)＝p2－3p＋1p＋3，0＜p所以f′(p)＝2p3?3設(shè)g(p)＝2p3－3p2－1，即g′(p)＝6p2－6p＝6p(p－1)＜0，故g(p)在(0，1)上單調(diào)遞減，因為g(0)＝－1，所以g(p)＜0，所以f′(p)＜0，↓關(guān)鍵點：視“p”為變量，建立函數(shù)f(p)，g(p)故f(p)在(0，1)上單調(diào)遞減，所以增加p的取值，1α?xí)p小，α增大，即P(X＝2)增大．······························②假設(shè)存在p使E(X)＝αp＋2α＋3α(1－p)＝53，又因為1α＝p2－3p將上述兩等式相乘，化簡整理得：5p3－6p2＋2＝0，設(shè)h(p)＝5p3－6p2＋2，0＜p＜1，即h′(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4).··················11分所以h(p)在0，45上單調(diào)遞減，在45，1上單調(diào)遞增，故h(p)min＝所以不存在p，使得E(X)＝53.····················該類問題常以實際生活中的概率、統(tǒng)計知識為背景，將概率、統(tǒng)計與函數(shù)建模融合在一起，充分借助函數(shù)的性質(zhì)研究相關(guān)問題的最值，可能涉及函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)等知識，求解時注意合理轉(zhuǎn)化．[跟進訓(xùn)練]3．(2021·新高考Ⅱ卷)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根，求證：當(dāng)E(X)≤1時，p＝1，當(dāng)E(X)>1時，p<1；(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義．[解](1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.(2)法一(常規(guī)求導(dǎo))：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x＞0，令f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，令g(x)＝f′(x)，則g′(x)＝2p2＋6p3x≥0，∴f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1時，注意到x∈(0，1]時，f′(x)≤f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，∴f(x)在(0，1]上單調(diào)遞減，注意到f(1)＝0，∴x＝1，即p＝1.當(dāng)E(X)＝p1＋2p2＋3p3＞1時，注意到f′(0)＝p1－1＜0，f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＞0，∴存在唯一的x0∈(0，1)使f′(x0)＝0，且當(dāng)0＜x＜x0時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x0＜x＜1時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，注意到f(0)＝p0＞0，f(1)＝0，∴f(x0)＜f(1)＝0.∴f(x)在(0，x0)上有一個零點x1，另一個零點為1，∴p＝x1＜1.法二(巧妙因式分解)：由題意知p0＋p1＋p2＋p3＝1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3，由p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x?p0＋p2x2＋p3x3－(1－p1)x＝0，∴p0＋p2x2＋p3x3－(p0＋p2＋p3)x＝0?p0(1－x)＋p2x(x－1)＋p3x(x－1)(x＋1)＝0，(x－1)[p3x2＋(p2＋p3)x－p0]＝0，令f(x)＝p3x2＋(p2＋p3)x－p0，f(x)的對稱軸為x＝－p2注意到f(0)＝－p0＜0，f(1)＝2p3＋p2－p0＝p1＋2p2＋3p3－1＝E(X)－1，當(dāng)E(X)≤1時，f(1)≤0，f(x)的正實根x0≥1，原方程的最小正實根p＝1，當(dāng)E(X)＞1時，f(1)＞0，f(x)的正實根x0＜1，原方程的最小正實根p＝x0＜1.(3)當(dāng)1個微生物個體繁殖下一代的期望小于等于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕，當(dāng)1個微生物個體繁殖下一代的期望大于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能．【教師備選資源】踢毽子在我國流傳很廣，有著悠久的歷史，是一項傳統(tǒng)民間體育活動．某次體育課上，甲、乙、丙、丁四人一起踢毽子．毽子在四人中傳遞，先從甲開始，甲傳給乙、丙、丁的概率均為13；當(dāng)乙接到毽子時，乙傳給甲、丙、丁的概率分別為13，12，16；當(dāng)丙接到毽子時，丙傳給甲、乙、丁的概率分別為13，12，16；當(dāng)丁接到毽子時，丁傳給甲、乙、丙的概率分別為13，16(1)記丁在前2次傳毽子中，接到毽子的次數(shù)為X，求X的分布列；(2)證明an?1[解](1)X的所有可能取值為0，1，P(X＝0)＝2×13×1P(X＝1)＝13＋2×13×所以X的分布列為X01P54(2)當(dāng)n≥2且n∈N*時，an＝13bn－1＋13cn－1＋13dnbn＝13an－1＋12cn－1＋16dcn＝13an－1＋12bn－1＋12ddn＝13an－1＋16bn－1＋16c所以bn＋cn＋dn＝an－1＋23(bn－1＋cn－1＋dn－1)＝an－1＋2an因為an＝13bn－1＋13cn－1＋13dn－1，所以3an＋1＝bn＋cn＋所以3an＋1＝2an＋an－1，所以3an＋1＋an＝3an＋an－1，因為a1＝0，a2＝13，所以3an＋an－1所以an?1所以an?14是首項為－1所以an－14＝－1即an＝－14?1所以a150＝－14?13149＋14＝故經(jīng)過150次傳毽子后甲接到毽子的概率大于14課時分層作業(yè)(七十二)概率、統(tǒng)計的綜合問題1．為調(diào)查我校學(xué)生的用電情況，學(xué)校后勤部門抽取了100間學(xué)生宿舍在某月的用電量，發(fā)現(xiàn)每間宿舍的用電量都在50kW·h到350kW·h之間，將其分組為[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)為降低能源損耗，節(jié)約用電，規(guī)定：當(dāng)每間宿舍的月用電量不超過200kW·h時，按每度0.5元收取費用；當(dāng)每間宿舍的月用電量超過200kW·h時，超過部分按每千瓦時1元收取費用．用t(單位：kW·h)表示某宿舍的月用電量，用y(單位：元)表示該宿舍的月用電費用，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)在抽取的100間學(xué)生宿舍中，月用電量在區(qū)間[200，250)內(nèi)的學(xué)生宿舍有多少間？[解](1)根據(jù)題意，得當(dāng)50≤t≤200時，月用電費用為y＝0.5t；當(dāng)t>200時，月用電費用為y＝200×0.5＋(t－200)×1＝t－100.綜上，宿舍的月用電費用為y＝0.5t(2)因為月用電量在[200，250)內(nèi)的頻率為50x＝1－(0.0060＋0.0036＋0.0024＋0.0024＋0.0012)×50＝1－0.0156×50＝0.22，所以月用電量在[200，250)內(nèi)的宿舍有100×0.22＝22(間)．2．(2024·湖北武漢江漢區(qū)開學(xué)考試)某學(xué)校為了了解老師對“民法典”知識的認知程度，針對不同年齡的老師舉辦了一次“民法典”知識競答，滿分100分(95分及以上為認知程度高)，結(jié)果認知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20，25)，第二組：[25，30)，第三組：[30，35)，第四組：[35，40)，第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這m人年齡的第75百分位數(shù)；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取40人，擔(dān)任“民法典”知識的宣傳使者．①若有甲(年齡23)，乙(年齡43)2人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第一組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人恰有一人被選上的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計這m人中35～45歲所有人的年齡的方差．[解](1)不妨設(shè)第75百分位數(shù)為a，此時5×(0.01＋0.07＋0.06)＋(a－35)×0.04＝0.75，解得a＝36.25.(2)由條件可知，第一、二、三、四、五組應(yīng)分別抽取2人，14人，12人，8人，4人．①第一組應(yīng)抽取2人，記為A，甲，第五組抽取4人，記為B，C，D，乙，此時對應(yīng)的樣本空間為Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，甲)，(A，乙)，(B，C)，(B，D)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(C，D)，(D，甲)，(D，乙)，(甲，乙)}，共15個樣本點，記“甲、乙兩人恰有一人被選上”為事件M，此時M＝{(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(D，甲)，(D，乙)}，共8個樣本點，則甲、乙兩人恰有一人被選上的概率P(M)＝815②設(shè)第四組，第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為x，y，方差分別為s2，s′此時x＝36，y＝42，s2＝1，s′設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為z，方差為s″2，此時z＝8x12+s″2＝8＝81+36?382故這m人中35～45歲所有人的年齡的方差為2833．(2024·黑龍江哈爾濱開學(xué)考試)某校設(shè)置了籃球挑戰(zhàn)項目，現(xiàn)在從本校學(xué)生中隨機抽取了60名男生和40名女生共100人進行調(diào)查，統(tǒng)計出愿意接受挑戰(zhàn)和不愿意接受挑戰(zhàn)的男女生比例情況，具體數(shù)據(jù)如圖表：(1)根據(jù)條件完成下列2×2列聯(lián)表：性別接受挑戰(zhàn)情況合計愿意不愿意男生女生合計(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析該校學(xué)生是否愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān)；(3)挑戰(zhàn)項目共有兩關(guān)，規(guī)定：挑戰(zhàn)過程依次進行，每一關(guān)都有兩次機會挑戰(zhàn)，通過第一關(guān)后才有資格參與第二關(guān)的挑戰(zhàn)，若甲參加第一關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過的概率均為12，參加第二關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過的概率均為13，且每輪每次挑戰(zhàn)是否通過相互獨立．記甲通過的關(guān)數(shù)為X，求參考公式與數(shù)據(jù)：χ2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋α0.10.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828[解](1)根據(jù)條件得2×2列聯(lián)表如表所示．性別接受挑戰(zhàn)情況合計愿意不愿意男生154560女生202040合計3565100(2)零假設(shè)為H0：該校學(xué)生是否愿意接受挑戰(zhàn)與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝100×15×20?20×45235×65×60×40≈6.593<6.635＝x依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，沒有充分理由證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認為H0成立，即認為該校學(xué)生是否愿意接受挑戰(zhàn)與性別無關(guān)．(3)記甲第i次通過第一關(guān)為Ai(i＝1，2)，第i次通過第二關(guān)為Bi(i＝1，2)，由題意得，X的可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝P(A1A2)＝12×P(X＝1)＝P(A1B1B2)＋P(A1A2B1B2)＝12×23×23＋P(X＝2)＝P(A1B1)＋P(A1B1B2)＋P(A1A2B1)＋P(A1A2B＝12×13＋12×23×13＋12×12×13＋12故X的分布列為X012P115所以E(X)＝0×14＋1×13＋2×5124．(2023·廣東茂名二模)馬爾可夫鏈是因俄國數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第n＋1次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關(guān)，與第n－1，n－2，n－3，…次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”．現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球．從兩個盒子中各任取一個球交換，重復(fù)進行n(n∈N*)次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為Xn，甲盒中恰有1個黑球的概率為an，恰有2個黑球的概率為bn.求：(1)X1的分布列；(2)數(shù)列{an}的通項公式；(3)Xn的期望．[解](1)由題可知，X1的可能取值為0，1，2．由相互獨立事件概率乘法公式可知：P(X1＝0)＝13×23＝29，P(X1＝1)＝13×13+23故X1的分布列為X1012P252(2)由全概率公式可知：P(Xn＋1＝1)＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1＝1|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝1|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝1Xn＝13×13+23×23P(Xn＝1)＋23＝59P(Xn＝1)＋23P(Xn＝2)＋23P(即an＋1＝59an＋23bn＋23(1－an－所以an＋1＝－19an＋2所以an＋1－35＝－1又a1＝P(X1＝1)＝59，a1－35＝－所以數(shù)列an?35為以－所以an－35＝－245·即an＝35(3)由全概率公式可得：P(Xn＋1＝2)＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1＝2|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝2|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝2|Xn＝0)＝23×13·P(Xn＝1)＋13×1·P(Xn＝2)＋0×即bn＋1＝29an＋13b又an＝35所以bn＋1＝13bn＋2所以bn＋1－1＝13又b1＝P(X1＝2)＝29所以b1－15+1所以bn－15所以bn＝15所以E(Xn)＝an＋2bn＋0×(1－an－bn)＝an＋2bn＝1.5．(2024·廣東實驗中學(xué)模擬)為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗．研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示，試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只，假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立．(1)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及α＝0.05的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關(guān)．抗體指標值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體．①用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p；②以①中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進行人體接種試驗，記n個人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機變量X.試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)X＝99時，P(X)取最大值，求參加人體接種試驗的人數(shù)n.參考公式：χ2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝a＋α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828[解](1)由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標值分布為：在[0，20)內(nèi)有0.0025×20×200＝10(只)；在[20，40)內(nèi)有0.00625×20×200＝25(只)；在[40，60)內(nèi)有0.00875×20×200＝35(只)；在[60，80)內(nèi)有0.025×20×200＝100(只)，在[80，100]內(nèi)有0.0075×20×200＝30(只)．由題意，有抗體且指標值小于60的有50只，而指標值小于60的小白鼠共有10＋25＋35＝70只，所以指標值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，同理，指標值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如表所示．抗體指標值合計小于60不小于60有抗體50110160沒有抗體202040合