第7課時指數與指數函數[考試要求]1．掌握根式與分數指數冪的互化，掌握指數冪的運算性質.2．通過實例，了解指數函數的實際意義，會畫指數函數的圖象.3．理解指數函數的單調性、特殊點等性質，并能簡單應用．1．根式(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)式子na叫做根式，其中n叫做根指數，a(3)(na)n＝a當n為奇數時，nan＝當n為偶數時，nan＝|a2．分數指數冪正數的正分數指數冪，amn＝nam(a>0，m，n∈N正數的負分數指數冪，a?mn＝1amn＝1nam(a>0，0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義．3．指數冪的運算性質aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指數函數及其性質(1)概念：函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R，a是底數．(2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k還應滿足k≠1；a＞0且a≠1)的函數叫做指數型函數，不是指數函數．(3)指數函數的圖象與性質項目a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x<0時，y>1；當x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數在(－∞，＋∞)上是減函數[常用結論]指數函數圖象的特點(1)指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點(0，1)，(1，a)，?1，(2)函數y＝ax與y＝1ax(a＞0，且a≠1)的圖象關于(3)在第一象限內，指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象越高，底數越大．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)nan＝(na)n＝a(2)函數y＝a－x是R上的增函數． ()(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，則m＜n． ()[答案](1)×(2)×(3)×二、教材經典衍生1．(人教A版必修第一冊P109習題4.1T1改編)化簡3?5A．5 B．5C．－5 D．－5B[原式＝35232．(人教A版必修第一冊P114例1改編)若函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象經過點2，13A．1 B．2C．3 D．3C[依題意可知a2＝13，解得a＝33，所以f(x)＝33x，所以f(－1)＝3．(多選)(人教A版必修第一冊P117例3改編)下列各式比較大小正確的是()A．1.72.5＞1.73 B．1C．1.70.3＞0.93.1 D．233BCD[因為y＝1.7x為增函數，所以1.72.5＜1.73，故A錯誤；因為2?43＝1243，y＝12x為減函數，所以1223＞1243＝2?43，故B正確；因為1.70.3＞1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.4．(人教A版必修第一冊P120習題4.2T9改編)已知函數f(x)＝a12x+b的圖象過原點，且無限接近直線y＝1，但又不與該直線相交，則34[因為f(x)的圖象過原點，所以f(0)＝a120＋b＝0，即a＋b＝0．又因為f(x)的圖象無限接近直線y＝1，但又不與該直線相交，所以b＝1，a＝－1，所以f(x)＝－12x＋1，所以f考點一指數冪的運算[典例1](1)(多選)已知a＋a-1＝3，則下列正確的是()A．a2＋a-2＝7 B．a3＋a-3＝18C．a12+a?12＝±5 D．a(2)計算：14?12·4ab(1)ABD(2)85[(1)因為a＋a-1＝3，所以a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝9－2＝7，故選項A正確；因為a＋a-1＝3，所以a3＋a-3＝(a＋a-1)(a2－1＋a-2)＝(a＋a-1)·[(a＋a-1)2－3]＝3×6＝18，故選項B正確；因為a＋a-1＝3，所以(a12+a?12)2＝a＋a-1＋2＝5，且a＞0，所以a12+a?12＝5，故選項C錯誤；因為a3＋a-3＝18，且a＞0，所以aa(2)原式＝2·43指數冪運算的一般原則(1)將根式、分數指數冪統(tǒng)一為分數指數冪，以便利用法則計算．(2)先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數．(3)底數是小數，先化成分數；底數是帶分數，先化成假分數．(4)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數，形式要求統(tǒng)一．[跟進訓練]1．(1)已知x<0，y>0，化簡49A．－3x2y B．3x2yC．－3x2y D．3x2y(2)計算：278?23＋0.002?(1)B(2)－1679[(1)由題意得49x8y4＝914x814(2)原式＝32?2＋50012－105+25?2考點二指數函數的圖象及應用[典例2](1)(多選)已知實數a，b滿足等式2022a＝2023b，則下列式子可以成立的是()A．a＝b＝0 B．a<b<0C．0<a<b D．0<b<a(2)若直線y＝2a與函數y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍為________．(1)ABD(2)0，12[(1)如圖，觀察易知，a<b<0或0<b<a或a(2)y＝|ax－1|的圖象是由y＝ax的圖象先向下平移1個單位長度，再將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的．當a>1時，如圖①，兩個圖象只有一個交點，不合題意；當0<a<1時，如圖②，要使兩個圖象有兩個交點，則0<2a<1，得0<a<12.綜上可知，a的取值范圍為0](1)對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．(2)掌握函數y＝f(|x|)，y＝f(x)，y＝|f(x)|的圖象之間的變換與聯(lián)系．(3)定點與漸近線是作圖的關鍵．[跟進訓練]2．(1)(2023·棗莊二模)指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則y＝ax2＋x圖象頂點的橫坐標的取值范圍是()A．?∞，?12C．0，12(2)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則實數b的取值范圍是________．(1)A(2)[－1，1][(1)由圖象知函數為減函數，則0＜a＜1，二次函數y＝ax2＋x圖象的頂點的橫坐標為x＝－12a∵0＜a＜1，∴12a＞12，－12a即橫坐標的取值范圍是?∞，(2)曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得：如果曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b應滿足的條件是b∈[－1，1].]【教師備選資源】在同一平面直角坐標系中，指數函數y＝bax，二次函數y＝ax2－ABCDB[指數函數y＝bax圖象位于x軸上方，據此可區(qū)分兩函數圖象．二次函數y＝ax2－bx＝(ax－b)x有零點ba，0.A，B選項中，指數函數y＝bax在R上單調遞增，故ba>1，故A錯誤，B正確．C，D選項中，指數函數y＝考點三指數函數的性質及應用比較指數式的大小[典例3](1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，b，c的大小關系為()A．c＞a＞b B．c＞b＞aC．a＞b＞c D．b＞a＞c(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有()A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0(1)D(2)B[(1)由y＝1.01x在R上單調遞增，則a＝1.010.5＜b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上單調遞增，則a＝1.010.5＞c＝0.60.5．所以b＞a＞c.故選D.(2)設函數f(x)＝2x－5－x，易知f(x)為增函數．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故選B.]【教師備選資源】已知函數f(x)＝x2－bx＋c滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，則f(bx)與f(cx)的大小關系為()A．f(cx)≥f(bx) B．f(cx)≤f(bx)C．f(cx)>f(bx) D．f(cx)＝f(bx)A[根據題意，函數f(x)＝x2－bx＋c滿足f(x＋1)＝f(1－x)，則有b2＝1，即b＝又由f(0)＝3，得c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x.若x<0，則cx<bx<1，而f(x)在(－∞，1)上單調遞減，此時有f(bx)<f(cx)；若x＝0，則cx＝bx＝1，此時有f(bx)＝f(cx)；若x>0，則有1<bx<cx，而f(x)在(1，＋∞)上單調遞增，此時有f(bx)<f(cx)．綜上可得f(bx)≤f(cx)．]解簡單的指數方程或不等式[典例4](1)已知實數a≠1，函數f(x)＝4x，x≥0，2a?x，x<0，(2)設函數f(x)＝12x?7，x<0，x(1)12(2)(－3，1)[(1)當a<1時，41-a＝21，解得a＝1當a>1時，2a－(1-a)＝4a-1無解，故a的值為12(2)當a<0時，原不等式化為12則2－a<8，解得a>－3，所以－3<a<0.當a≥0時，則a<1，0≤a<1.綜上，實數a的取值范圍是(－3，1)．]指數函數性質的綜合應用[典例5](1)(2023·新高考Ⅰ卷)設函數f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，1)單調遞減，則a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)(2)(2023·全國乙卷)已知f(x)＝xexeaxA．－2 B．－1C．1 D．2(3)不等式4x－2x+1＋a>0對任意x∈R都成立，則實數a的取值范圍是________．(1)D(2)D(3)(1，＋∞)[(1)法一(復合函數法)：因為y＝2x在R上單調遞增，所以y＝x(x－a)在區(qū)間(0，1)單調遞減，所以x＝a2≥1，解得a≥2.故法二(特值法)：取a＝3，則y＝x(x－3)＝x?322－94在(0，1)單調遞減，所以f(x)＝2x(x(2)法一：f(x)的定義域為{x|x≠0}，因為f(x)是偶函數，所以f(x)＝f(－x)，即xexeax?1＝?xe?xe?ax?1，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e－x，即e(1-a)x＋e(a-1)x＝ex＋e－法二：f(x)＝xexeax?1＝xea?1x?e?x，f(x)是偶函數，又y＝x是奇函數，所以y＝e(a-1)(3)原不等式可化為a>－4x＋2x+1對x∈R恒成立，令t＝2x，則t>0，∴y＝－4x＋2x+1＝－t2＋2t＝?t?12＋1≤1，當t＝1，即x＝0時，ymax＝1，∴a【教師備選資源】在人工智能領域的神經網絡中，常用到在定義域D內單調遞增且有界的函數f(x)，即?M＞0，?x∈D，|f(x)|≤M.則下列函數中，所有符合上述條件的序號是________．①f(x)＝x；②f(x)＝x1+x2；③f(x)＝ex?e?x③④[對于①，f(x)＝x無界，不符合題意；對于②，f(x)＝x1+x對于③，f(x)＝ex?e?xex+e?x＝e2x?1e2x+1對于④，f(x)＝11+e?x單調遞增，且f(x)∈(0，1)，則|(1)利用指數函數的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．(2)求解與指數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷．[跟進訓練]3．(1)(2024·江蘇沭陽模擬)設12＜12bA．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa(2)若函數f(x)＝13ax2+2x+3(1)C(2)(－∞，－1][(1)∵12＜12b＜12a＜1且y∴0＜a＜b＜1.當0＜a＜1時，指數函數y＝ax在R上是減函數，∴ab＜aa.當0＜a＜1時，冪函數y＝xa在[0，＋∞)上單調遞增，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故選C.(2)∵y＝13t是減函數，且f(x)的值域是0，19，∴t＝則a>0且12a?224a因此t＝x2＋2x＋3的單調遞減區(qū)間是(－∞，－1]，故f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，－1].]課時分層作業(yè)(十二)指數與指數函數一、單項選擇題1．已知指數函數f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上單調遞減，則實數a的值為()A．12 C．32 A[由題意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝12當a＝2時，f(x)＝2x在(0，＋∞)上單調遞增，不符合題意；當a＝12時，f(x)＝12x符合題意，∴a＝122．設a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關系是()A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<aC[由指數函數y＝0.6x在(0，＋∞)上單調遞減，可知0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，所以b<a<c.]3．若函數f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，則()A．a>1，b>1 B．a>1，0<b<1C．0<a<1，b>1 D．0<a<1，0<b<1D[根據題圖知，函數f(x)＝ax－b是減函數，所以a∈(0，1)，根據圖象的縱截距，令x＝0，y＝1－b∈(0，1)，解得b∈(0，1)，即a∈(0，1)，b∈(0，1)．]4．若2x2＋1≤14x?2，則函數y＝2A．18，2C．?∞，18 B[因為2x2＋1≤14x?2＝24-2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函數y＝2x的值域是5．(2023·全國甲卷)已知函數f(x)＝e?x?12.記a＝f22，b＝f32，A．b>c>a B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>bA[函數f(x)＝e?x?12是由函數y＝eu和u＝－(x－1)2復合而成的復合函數，y＝eu為R上的增函數，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，所以由復合函數的單調性可知，f(x)在(－∞，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減．易知f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以c＝f62＝f2?62，又22<2－62<32<1，所以f22<f2?6．當x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實數m的取值范圍是()A．(－2，1) B．(－4，3)C．(－3，4) D．(－1，2)D[原不等式變形為m2－m<12因為函數y＝12x在(－所以12當x∈(－∞，－1]時，m2－m<12x恒成立等價于m2－m<2，解得－1<m<2二、多項選擇題7．已知函數y＝ax(a>0且a≠1)的圖象如圖所示，則下列四個函數圖象與函數解析式對應正確的是()ABCDABD[由題圖知，函數y＝ax為增函數，即a>1，且當x＝1時，y＝2，即a＝2.則A項，y＝12B項，y＝x-2＝1xC項，y＝2|x|，當x>0時，函數y＝2x單調遞增，不滿足條件，D項，y＝|log2x|的圖象，滿足條件．故選ABD.]8．(2024·重慶巴蜀中學模擬)若f(x)＝e1?A．f(x)在(0，＋∞)上單調遞增B．f(x)在(0，＋∞)上單調遞減C．f(x)的圖象關于直線x＝0對稱D．f(x)的圖象關于點(0，0)中心對稱BC[因為y＝1－x2在(0，＋∞)上單調遞減，在(－∞，0)上單調遞增，y＝ex在定義域R上單調遞增，所以f(x)＝e1?x2在(0，＋∞又f(－x)＝e1??x2＝e1?x2＝f(x)，所以f(x)＝e1?x2三、填空題9．(2021·新高考Ⅰ卷)已知函數f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數，則a＝________．1[法一(定義法)：因為f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數，所以f(－x)＝f(x)對任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)對任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0對任意的x∈R恒成立，所以a＝1.法二(取特殊值檢驗法)：因為f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數，所以f(－1)＝f(1)，所以－a2?2＝2a－12，解得a＝1，經檢驗，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數，所以法三(轉化法)：由題意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數．設g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因為g(x)＝x3為奇函數，所以h(x)＝a·2x－2－x為奇函數，所以h(0)＝a·20－2-0＝0，解得a＝1，經檢驗，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數，所以a＝1．]10．若函數y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，1]上的最大值與最小值的和為54，則函數y＝3a2x-112[因為指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)在定義域上是單調函數，又y＝ax在[0，1]上的最大值與最小值的和為54，所以a0＋a1＝1＋a＝54，解得a＝14，所以y＝3a2x-1＝3×142x?1＝12×116x.因為函數y＝116x在定義域上為減函數，所以y＝12×116x在[0，1]上單調遞減，所以四、解答題11．已知函數f(x)＝b·ax(其中a，b為常數，且a>0，a≠1)的圖象經過點A(1，6)，B(3，24)．(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式1ax＋1bx－m≥0在(－[解](1)因為f(x)的圖象過點A(1，6)，B(3，24)，所以b所以a2＝4.又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，則當x∈(－∞，1]時，12x＋13x即m≤12x＋13又因為y＝12x與y＝13x在(－∞，1]上均單調遞減，所以y＝12x＋13x在(－∞，1]上也單調遞減，所以當x＝1時，y＝12x＋1312．已知定義域為R的函數f(x)＝?2(1)求a，b的值；(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求