第八章

平面解析幾何第三節圓的方程·考試要求·1.掌握圓的標準方程與一般方程．2．會根據已知條件求圓的方程．3．能夠根據圓的方程解決相關問題．

必備知識落實“四基”√×√

√

√

√1．圓的定義及方程定義平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標準方程___________________________圓心：(a，b)半徑：r一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F＜0

√點與圓的位置關系已知點M(x0，y0)，圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理論依據點到圓心的距離與半徑的大小關系三種情況________________________?點在圓上________________________?點在圓外________________________?點在圓內(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2

(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2【常用結論】1．確定圓的方程時，常用到的圓的兩個性質：(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上．(2)圓心在任意弦的中垂線上．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)·(y－y2)＝0.應用1已知A(1，0)，B(0，3)，則以AB為直徑的圓的方程是(

)A．x2＋y2－x－3y＝0 B．x2＋y2＋x＋3y＝0C．x2＋y2＋x－3y＝0 D．x2＋y2－x＋3y＝0A

解析：圓的方程為(x－1)(x－0)＋(y－0)(y－3)＝0，即x2＋y2－x－3y＝0.√

√1．(2024·桂林模擬)已知圓C的圓心為(1，0)，且與直線y＝2相切，則圓C的方程是(

)A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x＋1)2＋y2＝2A

解析：因為圓心(1，0)到直線y＝2的距離d＝2，所以r＝2，故圓C的方程為(x－1)2＋y2＝4.核心考點提升“四能”√圓的方程

√

反思感悟求圓的方程的兩種方法(1)幾何法根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．(2)待定系數法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設出圓的標準方程，依據已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值．②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則設出圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，從而求出D，E，F的值．提醒：解答圓的有關問題時，應注意數形結合，充分運用圓的幾何性質．【例1】已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B.(1)求圓C1的圓心坐標；(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程．解：(1)由x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，所以圓C1的圓心坐標為(3，0)．與圓有關的軌跡問題

反思感悟求與圓有關的軌跡方程的方法

√與圓有關的最值問題

反思感悟

反思感悟形如ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線ax＋by＝d的截距，通過截距的范圍求d的范圍，進而得到d的最值．

√反思感悟形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值．

反思感悟建