第二章

函數第三節函數的奇偶性、周期性、對稱性第2課時函數性質的綜合應用單調性與奇偶性結合【例1】(1)若定義在R上的奇函數f(x)在(－∞，0)上單調遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是(

)A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]核心考點提升“四能”√D

解析：由題意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調遞減，且f(－2)＝－f(2)＝0，f(0)＝0.當x>0時，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；當x<0時，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x<0，所以－1≤x<0；當x＝0時，顯然符合題意．綜上，滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪[1，3].故選D.(2)已知函數f(x)的定義域為R，且f(2x＋1)既是奇函數又是增函數，f(3)＝2，則f(2x－1)<－2的解集為(

)A．{x|x<－2} B．{x|x<－3}C．{x|x<－1} D．{x|x<0}D

解析：因為f(2x＋1)是奇函數，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)．令x＝1，則f(－1)＝－f(3)．又f(3)＝2，所以f(－1)＝－2.由

f(2x－1)<－2，可得

f(2x－1)<f(－1)．令t＝2x＋1，則函數t＝2x＋1是R上的增函數，所以由復合函數的單調性，可知函數f(t)是R上的增函數，即函數f(x)是R上的增函數，所以2x－1<－1，解得x<0，所以f(2x－1)<－2的解集為{x|x<0}．故選D.√[變式]若本例(1)條件中“奇函數”變為“偶函數”，則不等式xf(x－1)≥0的解集為__________．[－1，0]∪[3，＋∞)

解析：由題意知f(－2)＝f(2)＝0.當x>0時，由xf(x－1)≥0，得f(x－1)≥f(2)．又偶函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，所以|x－1|≥2，解得x≥3或x≤－1，所以x≥3.當x<0時，由xf(x－1)≥0，得f(x－1)≤f(－2)，所以x－1≥－2，解得x≥－1，所以－1≤x<0.當x＝0時顯然成立．綜上，滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪[3，＋∞)．反思感悟1．比較大小問題一般解法是利用函數的奇偶性，把不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值轉化為在同一單調區間上的有關自變量的函數值，然后利用函數的單調性比較大小．2．解抽象不等式(1)將所給的不等式轉化為兩個函數值的大小關系．(2)利用函數的單調性脫去符號“f”，轉化為解不等式(組)的問題．

√2．已知定義在R上的偶函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞增．若f(lnx)<f(2)，則x的取值范圍是(

)A．(0，e2) B．(e-2，＋∞)C．(e2，＋∞) D．(e-2，e2)D

解析：根據題意知，f(x)為偶函數且在[0，＋∞)上單調遞增，由f(lnx)<f(2)，得|lnx|<2，即－2<lnx<2，解得e-2<x<e2，即x的取值范圍是(e-2，e2)．√

奇偶性與周期性結合【例2】(2024·菏澤模擬)已知函數f(x)是R上的偶函數，且f(x)的圖象關于點(1，0)對稱，當x∈[0，1]時，f(x)＝2－2x，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)的值為(

)A．－2 B．－1C．0 D．1√D

解析：因為函數f(x)是R上的偶函數，所以f(－x)＝f(x)．因為f(x)的圖象關于點(1，0)對稱，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，即f(x)＋f(2＋x)＝0，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以函數f(x)的周期為4.當x∈[0，1]時，f(x)＝2－2x，所以f(0)＝1，f(1)＝0.又f(2)＝－f(0)＝－1，f(3)＝－f(1)＝0，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)＝f(2024)＝f(0)＝1.故選D.反思感悟已知函數的周期性、奇偶性求函數值，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所有函數值的自變量轉化到已知解析式的區間內，把未知區間上的函數性質轉化為已知區間上的函數性質求解．1．設f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數，已知當x∈[2，3]時，f(x)＝x，則當x∈[－2，0]時，f(x)＝(

)A．x＋4 B．2－xC．3－|x＋1| D．2－|x＋1|C

解析：因為f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數，當x∈[2，3]時，f(x)＝x，所以當x∈[－2，－1]時，2＋x∈[0，1]，4＋x∈[2，3]，此時f(x)＝f(4＋x)＝4＋x；當x∈[－1，0]時，－x∈[0，1]，2－x∈[2，3]，此時f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x.綜上可得，當x∈[－2，0]時，f(x)＝3－|x＋1|.√2．設函數f(x)的定義域為R，且f(x＋2)是奇函數，f(2x＋1)是偶函數，則一定有(

)A．f(4)＝0B．f(－1)＝0C．f(3)＝0D．f(5)＝0A

解析：因為函數f(2x＋1)為偶函數，所以f(1－2x)＝f(1＋2x)．令t＝2x，則f(1－t)＝f(1＋t)，即f(1－x)＝f(1＋x)，則f(x)＝f(2－x)．因為函數f(x＋2)為奇函數，所以f(2－x)＝－f(x＋2)，所以函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，也關于點(2，0)對稱，則f(2)＝－f(2)，可得f(2)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，故函數f(x)為周期函數，且周期為4.對于A選項，f(4)＝f(0)＝f(2)＝0，A正確；對于B，C，D選項，f(－1)＝f(3)＝－f(1)，f(5)＝f(1)，但f(1)的值無法確定．故選A.√

奇偶性、周期性與對稱性的結合【例3】已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區間[0，2]上單調遞增，則(

)A．f(－15)<f(21)<f(90)B．f(90)<f(21)<f(－15)C．f(－15)<f(90)<f(21)D．f(21)<f(－15)<f(90)√D

解析：因為f(x－4)＝－f(x)?f(x＋4－4)＝－f(x＋4)?f(x)＝－f(x＋4)?f(x＋4)＝－f(x＋8)，所以f(x)＝f(x＋8)，因此函數f(x)的周期是8，f(－15)＝f(－15＋16)＝f(1)，f(21)＝f(24－3)＝f(－3)＝－f(1)，f(90)＝f(88＋2)＝f(2)．因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(0)＝0.又因為f(x)在區間[0，2]上單調遞增，所以f(2