2020-2021學年新教材人教A版必修第二冊8.6.1直線與直線

垂直作業

一、選擇題

PA=PB=PC=Z

1、如果P是等邊AABC所在平面外一點，且3,AABC邊長為

1,那么個與底面ABC所成的角是（）.

A.30。B.45。c.60。D.90。

2、如圖，在棱長為1的正方體A8C°-44GA中，P,。分別為叫網上的動

點,則AGPQ周長的最小值為（）

2后_____118爪2V13

A.3B."+2丁C.V3D.3

3、已知正方體-中，E是CO的中點，直線4E與平面8/C所成

角的正弦值為（）

1L顯B

A.2B.3c.2D.2

4、如圖，在六邊形MCOE/中，四邊形是邊長為2的正方形，和

△COE都是正三角形，以8E和CE為折痕，將六邊形ABC。瓦'折起并連接

BD,DF,AC,AE得到如圖所示的多面體ABFDCE,其中平面ABF〃平面CDE,

二面角A-BE-C的余弦值為3,則折疊后得到的多面體的體積為（）

8—10近

A.2&B.3c.38D.3

5、在四棱錐石一瓶8中，已知鉆=1,BC=—2,CD=-2,Dp4,A=-Wfl.,三角

形BOE是邊長為2的正三角形，當四棱錐E-MCD的外接球的體積取得最小值

時，則以下判斷正確的是（）

6+收

A.四棱錐E-MCD的體積取得最小值為12,外接球的球心必在四棱錐

E—ABCD內

6+不

B.四棱錐￡一筋8的體積取得最小值為4,外接球的球心可在四棱錐

￡_ABCD內或外

6+⑨

C.四棱錐E-MCD的體積為12,外接球的球心必在四棱錐E-ABCD內

6+不

D.四棱錐E-MCO的體積為4,外接球的球心可在四棱錐E-ABC。內或

外

6、在正三棱柱ABC-AMG中，4—2,。是處的中點，則異面

直線A。與A。所成的角為（）

7T2L￡￡

A.6B.4c.3D.2

7、下列命題中，加，〃表示兩條不同的直線，a、B、/表示三個不同的平面.

①若〃z_La,〃//a,則加J_〃；②若。工丫,八丁,則。/力；

③若m//a,”//a,貝（］〃〃/〃；④若分，ml.af則機

正確的命題是（）

A.①③B.（2X3）C.①④D.②?

8、已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球。的球面上，平面ABC,

PA=AB=BC=2,總與平面P4C所成的角為30。，則球。的表面積為（）

A.6萬B.8萬c.12乃D.24萬

9、在正方體八8C0—A4GR中，點血N分別是直線AD,BC上的動點，點P是

71

△A&A內的動點（不包括邊界），記直線AP與MN所成角為e,若0的最小值為i,

則點P的軌跡是（）

A.圓的一部分B.橢圓的一部分

C.拋物線的一部分D.雙曲線的一部分

10、如圖，在各棱長均為2的正三棱柱（底面為正三角形且側棱垂直底面的棱柱）

ABC-44c中，p,E,F分別是AA|,4G,AC的中點.則四棱錐"一石"'片的

體積為（）

V3V326473

A.3B.2c.3D.3

11、已知三棱錐尸一至。的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,AA6c是

邊長為2的正三角形，E、尸分別是0A、依的中點，NCEF=90,則球。的體

積為（）

A兀B4娓兀c2屈兀口瓜兀

12、正方體MCD-EFG”的棱長為1,點M在正方體的表面瓦6”上，定義每

一點均在正方體表面上的一條路線為一條路徑.已知點M到A的最短路徑

”（M,A）等于點M到點G的最短路徑"（”，G）.則"（M，G）的最大值為（）

石21+650

A.5B.4c.2D.6

二、填空題

13、若三棱錐P-MC的所有頂點都在球0的球面上，平面ABC,

473

AB=AC=2,NBAC=90°,且三棱錐尸-的體積為3，則球0的體積

為.

14、在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為

鱉儒.如圖，在鱉麝MCQ中，A3,平面BCD,其三視圖是三個全等的等腰直角

三角形，則異面直線AC與3。所成的角的余弦值為.

15、已知三棱錐尸一瓶。的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,AABC是

BE=—PB

邊長為2的正三角形，E為PA中點,2,則球。的體積為.

16、如圖，已知AB是平面a的一條斜線，8為斜足，AOla,。為垂足，BC為

a內的一條直線，44BC=6（r,N08C=45。，則斜線A3和平面a所成角是

三、解答題

17、（本小題滿分10分）如圖，ABCD是圓柱的一個軸截面，點E是上底面圓周上的

一點，己知AB=BC=5,AE=3.

（1）求證：DEJ_平面ABE.

（2）求直線BE與平面ADE所成角的正切值.

18、（本小題滿分12分）如圖所示，在正方體中，M,N分別是

棱A4和A3上的點，若"MN是直角,則NGMN=.

19、（本小題滿分12分）如圖，已知三棱錐P-ABC中，平面P4Cj_平面ABC,

AB=AC=BC=PA=2fNPAC=120,PM=3MC

（D證明：BM1/，c；

（2）求直線A8和平面PBC所成角的正弦值.

參考答案

1、答案A

解析詳解

如圖，易知尸-A5C為正三棱錐，P0*L面ABC,

出與底面ABC所成的角，即為乙4P0,

AO=—AB=—PA=2

33,3,

AO73

cos/PAO=---=——

PA2,

故/R4O=30°.

故選A.

點睛：線線角找平行，通過平行將異面直線轉化為兩個相交直線，再通過解三角形求夾

角，最后根據異面直線所成角范圍求角的大小

線面角找垂線，即通過線面垂直關系確定射影，再根據解直角三角形確定大小

二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可

2、答案B

解析由題意構造出三棱錐，求解展開圖中三角形邊長，即可得出結論.

詳解：連接BCI，BR,將三棱錐展開得到如圖所示的平面展開圖，

則AGPQ周長的最小值為GG的距離.

在四邊形BBRG中，易知BBi=DC,BR=BC]

所以四邊形為平行四邊形.

又易知BB'1B'D',所以四邊形BBRG為矩形，

所以陰即=9()。

又BC)=45。，所以/C|，G=135。，

,AgC巾CC=1BC；+BC：-2BC/BC；.cos135。=,4+2立

Tl-*1''，?

故選：B.

點睛

本題考查了幾何體的展開圖，考查了學生的空間想象能力，屬于基礎題.

3、答案B

解析直線片后與平面BiBC所成角即直線4E與平面A,所成角，根據定義找出線面

角即可.

詳解

在正方體ABS-ABCQ中，平面8/C〃平面

所以直線A"與平面片8C所成角即直線4"與平面所成角,

連接4比4。，CDJL與平面AAO,

所以NEA°就是直線AE與平面AA°所成角，

DE1

tanZEA.D=---=—產

在MAE4,。中，4。20,

sinZ￡AD=-

所以3.

故選：B

點睛

此題考查求直線與平面所成角的大小，根據定義找出線面角即可.

4、答案B

解析多面體ABFDCE的體積轉化為兩個相等的四棱錐的體積和.

詳解:

圖⑴

如圖(1),設B￡CE的中點分別為卜［和N,連接40，"N

由題意得A"LBF,MN±BF,故NNM4為二面角A-BE-C的平面角,

cosZ.NMA=

所以3

過A作A”,MN于H,易證A"，平面BCM,

AM=2x—=V3AH=AM-sinZWA=V5x—=72

因為2,所以3

^A-BCEF

所以

r472_872

2x---=----

故多面體ABFDCE的體積為33.

故選：B

點睛

本題考查平面圖形翻折成立體圖形、二面角、求多面體體積等基本知識，考查了空間想

象能力，數學運算能力，屬于中檔題.

5、答案C

解析根據A3?+4)2=802+82=502,得到BCLCD,說明四邊形

ABCO有一個外接圓，且圓心為8。的中點設為°、設外接球的球心為°,利用截面

圓的性質，則°。,平面ABCD,設°q=x,同理過。作平面3DE的垂線，垂足為產，

F為正三角形BDE的外心，設。”=',外接球的半徑為一，則有

產=12+%2=(4]+/

73),然后根據當四棱錐￡一鉆8外接球的體積取得最小時，外

接球的半徑最小求解.

詳解：當四棱錐E-ABCD外接球的體積取得最小時，外接球的半徑最小.

由已知得，AB2+AD2=BC2+CD-^BD2,所以BC1CD,

所以四邊形A3CD有一個外接圓，且圓心為B。的中點設為,

設外接球的球心為°，則°9，平面ABC。，設。q=x,

過°作平面8OE的垂線，垂足為尸，則尸為三角形8DE的外心，

222

r=1+x+/x2=y2+l>l

設°尸=>\外接球的半徑為「，則"3)，所以-33,

X〉且

所以-3,當且僅當丁二°時，外接球的體積取得最小值，此時平面8DEJL平面

戶_3

ABCD,r-3

11f./rV2714"1/r_6+V2i

可得四棱錐E-MCO的體積為32I22J12，且外接球

的球心必在四棱錐E-ABCD內.

故選：C

點睛

本題主要考查球的截面性質，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.

6、答案C

解析取用G中點E,連接AE,CE,根據正棱柱的結構性質，得出4E//A。，則

CE

tanZCAjE=---

NCRE即為異面直線A￡＞與4。所成角，求出AE,即可得出結果.

詳解：解：如圖，取4G中點E,連接A",CE,

由于正三棱柱AB。—AGG,則即,底面AgG,而AEu底面MG,所以

BBi

由正三棱柱的性質可知，4G為等邊三角形，所以且

所以A八平面網"，

而ECu平面BgCC,則AE,成1,則AIE〃AD,ZA,EC=90°

AZCA'￡即為異面直線與4。所成角，

lI-tanACA.E=——^―=5/3

又A￡=2,AA、=2版,A1E=yl3CE=3,則4七\/3,

ZCAE=——

???i3.所以異面直線A。與4。所成的角為3.

故選：C.

點睛

本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計算能力，屬于基礎題.

7、答案C

解析對于①，由線面垂直的判定定理知，直線m與平面a內的任意一條直線垂直，由

知，存在直線》ua內，使〃12，所以“工。,機J-”，故①正確；對于②，平面a

與平面￡可能相交，比如墻角的三個平面，故②錯誤；對于③，直線m與n可能相交,

可能平行，可能異面，故錯誤；對于④，由面面平行的性質定理有及,正

確.故正確命題為①④，選C.

8、答案C

解析取AC中點。，連接80，P。，證明8。_L平面PAC,故尸8為心與平面P4C

所成的角為3。°,球心。在平面ABC的投影為AABC的外心。，計算得到答案.

詳解：取AC中點0,連接BD,PDAB=3C=2,則BOIAC.

PAL平面ABC,BOu平面ABC,故R4J_5D.

PAAAC=A>故8。J_平面PAC,故/。尸5為P8與平面PAC所成的角為30。.

71

PB=2^,故8。=夜，PD=#),AC=2血，故'=5.

球心。在平面ABC的投影為AABC的外心D,

OH人AP,AH=HP,OD==AP=1,,,

根據04=0尸知，2，故R-=OZ>+A/y=3,

故球的表面積為4萬斤=12萬.

故選：C.

點睛

本題考查了三棱錐的外接球問題，確定球心°在平面A8C的投影為AABC的外心。是

解題的關鍵，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

9、答案B

解析直線N與MN所成角的最小值是直線與面ABCD所成角，即原問題轉化為:

71

直線4尸與面ABCO所成角為5,求點P的軌跡.延長40交面A8CO于點K,則K

在面3CD內的軌跡為圓的一部分，則將點P的軌跡轉化為平面截圓錐面所得曲線.

詳解：解：

直線AP與MN所成角的最小值是直線4尸與面ABCZ)所成角，

71

即原問題轉化為：直線40與面ABC。所成角為5,求點P的軌跡.

延長4P交面ABCD于點K,因為AAJ?面ABC。，

所以24必就是直線AP與面ABCO所成角，

ZA]KA=-=>ZAA]K=-=KA=-A{A

36.AK3

&A

則K在面ABC。內的軌跡為以A為圓心，3為半徑的圓的一部分,

4K的軌跡是以為軸的圓錐面的一部分,

...點p是AAg'內的動點（不包括邊界），其在AA與D內的軌跡，等價于平面4旦°截

圓錐面所得的曲線，

172

An日A。=—4。］=---

取“臼的中點。，連接設正方體的棱長為1,22

tanZAiAO=>tanNA41K=

7T

->^\A0>AAA.K

2,即圓錐的軸與截面所成的角大于軸與母線的夾角，小于直角,

二平面ABR截圓錐面所得的曲線為橢圓的一部分.

故選：B.

點睛

本題考查線線角、線面角及空間軌跡問題，求解時注意判斷截面與圓錐的軸所成角與圓

錐母線與軸所成角的大小關系，中檔題.

10、答案C

解析先證明ACJ?平面EFBB,從而得到p到平面EFBB,的距離為AF=1,再利用四

棱錐的體積公式，即可得到答案。

詳解

因為AC_L3F,ACA.EF,BFcEF=F,

所以AC工平面EFBBI,所以p到平面EFBB,的距離為AF=1,

2G

又因為比四

2G

Vp-EFBB、=-xlx2V3

所以33

故選：c.

點睛

本題考查四棱錐體積的求解，求解時注意先證明線面垂直，找到高，再代入體積公式求

得答案，考查空間想象能力和運算求解能力。

n、答案D

解析先證得尸3,平面PAC,再求得PA=PB=PC=y^,求得APAC的外接圓半徑

「，利用公式VI2J可求得球。的半徑，利用球體的體積公式可求得球°的

體積.

詳解：取AC的中點。，連接產。、BD,

.；PA=PB=PC,AA3c為邊長為2的等邊三角形，二尸一ABC為正三棱錐，

:.PDLAC,BDLAC,iPDcBDuD,；.AC工平面PBD,

?.?依<=平面尸6￡>,二尸3_1_71。，

又E、F分別為PA、AB中點，..EF//PB,:.EF工AC,

又EFLCE,CEriAC=C,/"L平面P4C,則平面PAC,

?.?2(=平面尸4°,，24,95,即ZPAB=90°,易知Q4、PB、尸。兩兩垂直，

-.AB=2,PA=PB,由勾股定理得以2+依2=.2,則PA=PB=0,

所以，PA=PB=PC=V2,

用APAC的外接圓直徑為2r=AC=2,即廠=1,

所以，三棱錐P—ABC的外接球半徑為YV2)2,

V=-7rR3=—Xf=逐兀

所以，該三棱錐的外接球的體積為3312)

故選:D.

點睛

本題考查三棱錐外接球體積的計算，解答的關鍵就是推導出線面垂直，考查推理能力與

計算能力，屬于中等題.

12、答案B

解析將正方形ABFE和正方形FEHG展開成平面圖形，根據d(M,A)等于d(M,G),

求得d(M,G)的最大值.

詳解：將正方形ABFE和正方形FEHG展開成平面圖形如下圖所示.

連接AG交EE于°,根據矩形的對稱性可知°是線段環的中點，且O4=OG.

過0作PQLAG,分別交A77,BG于P,Q

由于d(M,A)等于d(M,G),所以M點的軌跡為線段°P,

則d(",G)的最大值為PG=PA.

在RtAAOP中，OELAP,由射影定理得OE2=PEAE,所以

(1Y1

-=PExl=PE=-

⑴4

PG=PA=I+-^-

所以44.

故選：B

點睛

本小題主要考查正方體的側面展開圖，屬于中檔題.

13、答案祖叵乃

3

解析根據幾何體特征補圖成長方體，長方體的體對角線就是該錐體外接球的直徑，即可

求得體積.

詳解

4出

PAL平面ABC,A8=AC=2,ZBAC=90\且三棱錐產一ABC的體積為3,

-x-x2x2xPA=^^

即323解得PA=26,

由題可得PA，.，AC兩兩互相垂直，

對幾何體補圖成如圖所示的長方體，不共面的四點確定一個球，

所以長方體與三棱錐有同一個外接球，球的直徑為長方體體對角線長,

即V^42+AB2+AC2=J12+4+4=2卡),

所以外接球半徑為逐，

2075

V----------71

體積

2075

----------71

故答案為：3

點睛

此題考查求三棱錐外接球的體積，關鍵在于準確求出外接球的半徑，解決此類問題，多

做積累，特殊幾何體常見的處理辦法.

14、答案且

3

解析取8C,CD,BD,的中點“，MQ，P,連接MN,PM,PN,PQ,MQ,根據

三視圖可設鉆=B°=CD=a,在APMN中，利用余弦定理即可求解.

詳解：取8C,CD,BD,AO的中點”，N，Q，P,

連接MN,PM,PN,PQ,MQ,

則肱V//8D,PN//AC,

即異面直線AC與①）所成的角為NPMW,

根據題意，由三視圖可知46=80=8,

在APMN中,由余弦定理可得

3a2a2a2

222

/DKJ..PN+MN-PM丁+“一萬6

cosNPNM=--------------------------=———；=?———=—

2PN-MN'上aa3

/.,------,—

22.

且

故答案為：3

點睛

本題考查了求異面直線所成的角、余弦定理，屬于中檔題.

15、答案G

解析由題意畫出圖形，證明三棱錐為正三棱錐，且三條側棱兩兩互相垂直,

再由補形法求外接球球0的體積.

詳解:解:如圖，由PA=P6=PC,△鉆c是邊長為2的正三角形，可知三棱錐P-MC

為正三棱錐，

則頂點P在底面的射影。為底面三角形的中心，取AB的中點/，連接8°并延長，交

AC于G,

則ACJ_BG,又尸。_LAC,POC\BG=OfBGu平面PBG,尸Ou平面P8G,可

得AC,平面PBG,則尸

”,F分別是必，AB的中點，：?EF〃PB,

BE=—PB-

又2,所以「夕+^爐二臺爐即PBLQA,-.■ACC\PA=AtPAu平面

PAC,ACu平面PAC,所以PB_L平面PAC,

???正三棱錐「一ABC的三條側棱兩兩互相垂直，

把三棱錐補形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，

其直徑，2R=7^百麗萬N="，

夫=逅V^-7rR3=—/rf—=瓜兀

所以一2,則球。的體積為33(2)

故答案為：娓冗.

點睛

本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，屬

于中檔題.

16、答案45。

解析在平面a內作8八8C,垂足為點。，連接AO,設08=2,計算出3￡>、AB,

可求得cos443°的值，由此可求得斜線和平面a所成的角的大小.

詳解：如下圖所示，在平面〃內作8人8。，垂足為點。，連接AZ),

設08=2,在心△03。中，ZOBD=45°,則8。=0Bcos45=&，

vAO±a,BCua,/.AO±BC,又,.,OZ)_L3C,AOr>OD=OfBC_L平面

AOD

QADu平面AOD,BC±AD;

AB=-BD=2J2

ZABD=60tcos60,

?.?A8_La,所以，直線A5與平面a所成的角為NA8O,

c°sNABO=喲=也

在H/AABO中，AB2,ZABO=45\

因此，直線A6與平面a所成的角為45二

故答案為：45。.

點睛

本題考查直線與平面所成角的計算，考查計算能力，屬于中等題.

17、答案（1）證明見解析；（2）|.

（2）根據線面角的定義證出NAE3為直線5E與平面AOE所成角，在R/AA8E中即可

求解.

詳解

（1）?.?ABCD是圓柱的一個軸截面，

二A3,平面ADE,又￡>Eu平面ADE,

.-.ABIDE，又E是上底面圓周上的一點，A。為直徑，

\AEADE,又AEIAB=A,

DE_L平面ABE.

（2）4?_1_平面4。￡,

ZAEB為直線BE與平面ADE所成角，

在H/AA8E中，AB=5,AE=3,

點睛

本題考查了線面垂直的判定定理以及求線面角，考查了學生的推理能力，屬于基礎題.

解