2021屆新高考“8+4+4”小題狂練(28)

一、單項選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4={1,3"},B={a,b},若=則AU8=()

人{I'"B.國A"1$}邛有

【答案】C

【解析】

【分析】

由=求出。=一1,b=；,由此能求出4U8.

【詳解】?.?集合A={1,3"},B={a,b},AcBI

a=—\,b，

3

A={1,g},B={-1,1}.

：,A\JB={-}91,1).

故選：C.

【點睛】本題考查并集的求法，考查交集、并集定義等基礎知識，考查運算求解能力，屬于容易題.

2.若實數x>y,貝I]()

Xy

A.log(,5x>log05yB.|x|>|^|C.Y>孫D.2>2

【答案】D

【解析】

【分析】

根據對數的單調性可知％<y,并且x、y都大于o,A選項不成立；當x、y都是負數的時候，絕對值符

號是相反的，可判斷B錯誤；舉反例，x=o的時候選項c就不成立了；根據指數函數的單調性可判斷選項

D中x>y成立.

【詳解】A.對數函數的底數是在o到1之間，所以是減函數，因此％<y,并且要保證真數>o,因此不

成立;

B.取x=—l,y=T,顯然不成立；

C.當x=0時，式子不成立；

D.指數函數的底數大于1,所以是增函數，即有*<丁，因此成立；

故選：D.

【點睛】本題考查了不等式的基本性質，結合了對數函數、指數函數的單調性，考查學生的邏輯推理能力,

屬于中檔題.

3.設隨機變量X~N（〃,7）,若P（X<2）=P（X>4）,則（）

A.〃=3,O（X）=7B.〃=6,￡）（%）=V7

C.〃=3,￡）（%）=77D.〃=6,D（X）=7

【答案】A

【解析】

【分析】

根據正態分布及尸（X<2）=P（X>4）可知期望與方差.

【詳解】因為隨機變量X~N（〃,7）,且尸（X<2）=P（X>4）,

2+4

所以由對稱性知〃=三一=3,

由正態分布X~N（〃,7）知方差O（X）=7.

故選：A

【點睛】本題主要考查了正態分布N（〃,b2）中，的含義，屬于容易題.

4.設xeR,則“|x+l|<2”是“愴了<0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

解出不等式根據充分條件和必要條件定義分別進行判斷即可.

【詳解】由題解k+”<2,解得：—3<X<1,解lgx<0可得：0<x<l；

則一3v工v1不能推出0vxv1成立，0vxv1能推出一3vx<1成立,

所以卡+1|<2”是“lgx<0"的必要不充分條件，

故選：B.

【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵，

屬于基礎題.

5.設x>y>0,x+y=l,若"(J,"=%閨肛，c=log；x,則實數叫人，c的大小關系是

()

A.a<b<cB.h<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】c

【解析】

【分析】

利用指數函數、對數函數的性質直接求解.

【詳解】vx>y>0,x+y=l,

八111

/.一1>?1,0<xy<1i,—>—>->1,

xxyyx

a=(―)'>(-)°=1,

xx

0=11>c=log!x>log!y=-\

———>

yyy

,實數a,b.c的大小關系為b<c<a.

故選：C.

【點睛】本題考查三個數的大小的判斷，考查指數函數、對數函數的性質等基礎知識，考查運算求解能力,

屬于中檔題.

6.設a、￡為兩個不同的平面，/、陽為兩條不同的直線，且/ua,加u△，則下列命題中真命題是()

A.若/則。，月B.若/，加，則

C.若a_L￡,貝D.若&//夕，則〃/加

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平面與平面垂直的判定定理，平面與平面垂直、平行的性質定理判斷選項的正誤即可.

【詳解】由a,力為兩個不同的平面，/、加為兩條不同的直線，且/ua,mu/3,知：

在A中，11/3,則滿足平面與平面垂直的判定定理，所以A正確；

在3中，若/_L〃z,不能得到/也不能得到所以得不到故3錯誤；

在。中，若a_L尸，則/與加可能相交、平行或異面，故C不正確；

在。中，若a//〃，則由面面平行的性質定理得///￡,不一定有〃/“，也可能異面，故。錯誤.

故選：A-

【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求

解能力，是中檔題.

7.函數/(%)=(3V+3-)但國的圖象大致為()

【答案】D

【解析】

【分析】

先確定函數的定義域，再判斷函數的奇偶性和值域，由此確定正確選項。

【詳解】解：函數的定義域為卜卜聲0},*)=(3'+3一)聞乂=〃力,

則函數/(x)為偶函數，圖象關于y軸對稱，排除B,

當％>1時,/(%)>0,排除A,

當0<%<1時，/(x)<0,排除C,

故選：D.

【點睛】本題通過判斷函數圖像考查函數的基本性質，屬于基礎題。

8.已知一組數據點（小兇），（9，%），（&，％），…，（3，%），用最小二乘法得到其線性回歸方程為

7

y=-2x+4，若數據再，々，毛，…與的平均數為1，則Z%=（）

1=1

A.2B.11C.12D.14

【答案】D

【解析】

【分析】

7

根據（元歹）在回歸直線上，代入求歹，再求Z%.

/=1

【詳解】Vx=l-且何可在線性回歸直線y=—2x+4上，

y=-2x+4=-2x1+4=2,

7_

則ZK=7）=7x2=14.

/=1

故選：D.

【點睛】本題考查回歸直線方程的應用，意在考查基礎知識，本題的關鍵是知道回歸直線必過樣本中心點

（網

9.用平面夕截一個球，所得的截面面積為了，若a到該球球心的距離為1,則球的體積為（）

A.^B.粵C./D.等

【答案】B

【解析】

【分析】

求出小圓的半徑，利用球心到該截面的距離為1,小圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑，即可求出球的

體積.

【詳解】用一平面去截球所得截面的面積為7,則截面圓的半徑為1,

已知球心到該截面的距離為1,則球的半徑為「=五,

,球的體積為：9乃/=雙身.

33

故選：B.

【點睛】本題考查球的小圓的半徑，球心到該截面的距離，球的半徑之間的關系，考查計算能力，是中檔

題.

2/(%)+/(工2)

10.在y=3工，y~log3x,y=x,y=，四個函數中，當0＜玉vx2Vl時，使/士上電

2

恒成立的函數的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

根據條件結合凸凹函數的定義進行判斷即可.

【詳解】滿足/（土也）＞/3）+/3）為凸函數,

22

分別作出四個函數在（0,1）上的圖象，

由圖象知，在四個函數中，只有y=log3》是凸函數，其余三個為凹函數，

故選：B.

【點睛】本題主要考查函數圖象的判斷，結合凸凹函數的定義，利用數形結合是解決本題的關鍵，屬于中

檔題.

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題4分，共12分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求的，全部選對的得4分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

11.某地某所高中2019年的高考考生人數是2016年高考考生人數的1.5倍，為了更好地對比該校考生的升

學情況，統計了該校2016年和2019年的高考升學情況，得到如下柱圖：

40%

40%—40%

32%’

35%—35%

30%―30%

25%

—25%

20%—20%

15%—15%

10%—10%

5%

5%

0%

不上線率

一本二本藝體0%?本二本藝體不上線率

達線率達線率達線率達線率達線率達線率

2016年高考數據統計

2019年高考數據統計

則下列結論正確的是()

A.與2016年相比，2019年一本達線人數有所增加

B.與2016年相比，2019年二本達線人數增加了0.5倍

C.與2016年相比，2019年藝體達線人數相同

D.與2016年相比，2019年不上線的人數有所增加

【答案】AD

【解析】

【分析】

根據柱狀圖給定的信息，作差比較，即可求解.

【詳解】依題意，設2016年高考考生人數為X,則2019年高考考生人數為1.5尢,

由24%?L5x—28%?x=8%?尤>(),所以A項正確；

7

由(40%15x-32%?x)+32%-x=—,所以B項不正確；

8

由8%」.5x—8%-x=4%?x>(),所以C項不正確；

由28%4.5x-32%-x=10%-x>0,所以D項正確.

故選：AD.

【點睛】本題主要考查了統計圖表的識別和應用，其中解答中熟記柱狀圖表表示的含義是解答的關鍵，屬

于基礎題.

12.已知空間中兩條直線。，Z?所成的角為50°,P為空間中給定的一個定點，直線/過點P且與直線。和

直線〃所成的角都是伙0°<”,90。)，則下列選項正確的是()

A.當，=15°時，滿足題意的直線/不存在

B.當。=25°時，滿足題意的直線/有且僅有1條

C.當8=40。時，滿足題意的直線/有且僅有2條

D.當6=60°時，滿足題意的直線/有且僅有3條

【答案】ABC

【解析】

【分析】

為了討論：過點。與所成的角都是8（0°效890°）的直線/有且僅有幾條，先將涉及到的線放置在同一

個平面內觀察，只須考慮過點。與直線％、々所成的角都是。（0°效890°）的直線/有且僅有幾條即可，再

利用cos6=cos用?cos%進行角之間的大小比較即得.

【詳解】過點。作bj/b,則相交直線q、4確定一平面a.4與仿夾角為50°或130。，

設直線Q4與4、乙均為夕角，

作43_1_面1于點B,8。_1_4于點（7,BD上b］于點D，

記Z-A.OB—a,NBOC-0-,（仇=25°或65°）,則有cos0-cos仇?cos0-,.

因為0啜匕90°,所以。效Jcosecos%.

當％=25。時，由（^i：osecos25°,得25°效B90°；

當%=65。時，由噴電os。cos65°,得65。顆J990°.

故當8＜25°時，直線/不存在；

當6=25°時，直線/有且僅有1條；

當25°＜。＜65°時，直線/有且僅有2條；

當。=65°時，直線/有且僅有3條；

當65°＜。＜90。時，直線/有且僅有4條；

當6=90。時，直線/有且僅有1條.

故A，B,C均正確，O錯誤.

故選：ABC.

【點睛】本題考查線面角大小的判斷，處理技巧上，將直線〃轉化成共面直線非常關鍵，考查了數形結合,

分類討論的數學思想，屬于中檔題

13.德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，是解析數論的創始人之一，以其名命名的函數

1x為有理數

二4PlM她成為狄利克雷函數，則關于/(X)，下列說法正確的是()

0,x為無理數

A.VXGRJ(/(X))=1

B.函數/(x)是偶函數

C.任意一個非零有理數T，/(x+7)=/(x)對任意xeR恒成立

D.存在三個點A(M,/(西)),502，/(/)),。(工3，/*3))，使得AABC為等邊三角形

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

依次判斷每個選項：/(X)G{0,1},故/(/(初=1；判斷/(一x)=〃x),為偶函數；判斷

/(x+T)=/(%)；取A(*,o],8(O,l),C_冬0為等邊三角形，得到答案.

【詳解】VXGG{0,1}=A正確;

L-x為有理數Lx為有理數

〃一力=<=/(%),偶函數,3正確;

0,-x為無理數10/為無理數

l,x+T為有理數[x為有理數

小+7)=<=/(x),C正確;

0,x+T為無理數'0,x為無理數

易知B(0,1),C三點構成等邊三角形，O正確;

故選：ABCD

【點睛】本題考查了函數的新定義問題，意在考查學生對于函數性質的應用能力.

三、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在對應題號的橫線上

14.命題“VxeR,/一萬xzo”的否定「，是.

［答案】三叫)wR,X；-萬/<0

【解析】

【分析】

根據含有量詞的命題的否定即可得到結論.

【詳解】命題為全稱命題，則命題的否定為萬Xo<O,

故答案為：3x0eR,Xg-^x0<0.

【點睛】本題主要考查含有量詞的命題的否定，屬于容易題.

15.已知“X)為偶函數，當xWO時，〃x)=四二“，則曲線在點(1,0)處的切線方程是.

X

【答案】y=一%

【解析】

【分析】

由己知求得函數f(x)在(0,+8)上的解析式，求其導函數，得到((1),再由直線方程點斜式得答案.

【詳解】???/(X)為偶函數，且當％,0時，/。)=如⑹，

X

.??當》>。時，一x<o,則/(幻=，(一幻=也，

-XX

f(1)=—1.

曲線y=f(x)在點(1,0)處的切線方程是y-0=-lx(x-l),

即x+y—1=0.

故答案為：x+y—l=O.

點睛】本題考查函數解析式的求解及常用方法，利用導數研究在曲線上某點處的切線方程，是中檔題.

16.甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加“慶國慶70周年，愛國主義知識大賽”活動，決出第1名到第5名的

名次.甲乙兩名同學去詢問成績，回答者對甲說“雖然你的成績比乙好，但是你倆都沒得到第一名“；對乙說“你

當然不會是最差的''從以上回答分析，丙是第一名的概率是.

I

【答案】

3

【解析】

【分析】

根據提示可知丙、丁、戊獲得第一名的概率時一樣的，故可求其概率.

【詳解】:?甲和乙都不可能是第一名，

，第一名只可能丙、丁或戊，

又考慮到所有的限制條件對丙、丁、戊都沒有影響，

...這三個人獲得第一名是等概