第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年廣東省茂名市高一下學期教學質量監測數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|y=x}，B={x|y=1x?1A.{x|x≥0} B.{x|x≥1}

C.{x|0≤x<1} D.{x|x≥0，且x≠1}2.若復數z滿足(4+3i)z=5i，則|z|=(

)A.1 B.5 C.3 D.3.設a∈R，則“a<0”是“2a<18A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.已知函數f(x)=x|x|，則y=f(x)的大致圖象為(

)A. B.

C. D.5.已知x>?3，則x+9x+3的最小值為(

)A.6 B.5 C.4 D.36.將函數f(x)的圖象向左平移π5個單位，再將所得圖象上各點的縱坐標不變、橫坐標變為原來的12倍，得到函數g(x)的圖象.已知g(x)=sin(2x+πA.f(x)=?sin4x B.f(x)=sinx

C.7.若△ABC是銳角三角形，A=45°，b=22，則邊cA.(0,2) B.(2,2) C.(2,28.在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E為線段PB的中點，F為線段BC上的動點.若tan∠EAF=102，則A.1 B.2 C.5 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知△ABC是邊長為1的正三角形，M，N分別為BC，AC的中點，則(

)A.AB與MN不能構成一組基底 B.AN+MB=NM

C.AC?CB=10.某學校開展“國學知識競賽”，共有“詩經組”、“論語組”、“春秋組”、“禮記組”4個小組參賽，每組10位選手，若該組每位選手的失分不超過6分，該組獲得“優秀”稱號，則根據每組選手的失分情況，下列小組一定獲得“優秀”稱號的是(

)A.詩經組中位數為3，眾數為2 B.論語組平均數為3，方差為1

C.春秋組平均數為3，眾數為2 D.禮記組中位數為2，極差為411.已知f(x)是定義域為R的偶函數，f(x2+1)為奇函數，當x∈[?1,0]時，f(x)=3A.當x∈[0,1]時，f(x)=3?x?13 B.當x∈[1,2]時，f(x)=?3x+2+1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知棱長為3的正方體的所有頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為

．13.若復數1?i是關于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個根，則p+2q=

．14.在海面上，乙船以40km/?的速度朝著北偏東30°的方向航行，甲船在乙船的正東方向30km處.甲船上有應急物資需要運送上乙船，由于乙船有緊急任務不能停止航行，所以甲船準備沿直線方向以v?km/?的速度航行與乙船相遇.為了保證甲船能在2小時內和乙船相遇，甲船航行速度的最小值為

(km/?)．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知?ABCD的頂點A(?1,0)，B(1,?1)，D(3,3)．(1)若單位向量n與AD方向相同，求n的坐標;(2)求向量AC與BD的夾角．16.(本小題15分)已知函數f(x)=ax(1)若f(1)=4，求f(x)與g(x)=4x+4交點的橫坐標;(2)若f(x)在區間(1,2)上恰有一個零點，求a的取值范圍．17.(本小題15分)如圖1，菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=π3，將△ABC沿著AC翻折到三角形ACE的位置，連接DE，形成的四面體ACDE如圖(1)證明：AC⊥DE;(2)若四面體ACDE的體積為66，求二面角E?AC?D18.(本小題17分)某市體質健康測試標準包括身體形態、身體機能、軀體素質、運動能力等方面.為了了解學生體質健康情況，某校隨機抽取了200名學生進行測試，測試成績的頻率分布直方圖如下圖所示，其中成績不超過80分的有108人．(1)求圖中a，b的值;(2)并根據頻率分布直方圖，估計該校學生測試分數的平均數和上四分位數(同一組中的數據以該組區間的中點值為代表);(3)若抽取的200名學生中，男生120人，女生80人，其中男生分數的平均數為x，方差為s12;女生分數的平均數為y，方差為s22?①s2=120200(19.(本小題17分)

如圖所示，在△ABC中，AB=3AC，AD平分∠BAC，且AD=kAC．

(1)若DC=2，求BC的長度;(2)求k的取值范圍;(3)若S△ABC=1，求k為何值時，BC最短．答案解析1.D

【解析】解：∵A={x|x≥0}，B={x|x≠1}

∴A∩B={x|x≥0，且x≠1}．

故選D．2.A

【解析】解：∵(4+3i)z=5i，

∴z=5i(4+3i)=5i?(4?3i)(4+3i)?(4?3i)=15+20i253.B

【解析】解：∵2a<18，∴a<?3，

由a<?3可以推出a<0，而a<0不可以推出a<?3．

所以“a<0”是“24.C

【解析】解：

根據f(x)=x?|x|=x2,x≥0?x5.D

【解析】解：∵x>?3，∴x+3>0，x+9x+3=(x+3)+9x+3?3≥2(x+3)?9x+36.B

【解析】解：函數g(x)=sin(2x+π5)的圖象上各點的縱坐標不變、橫坐標變為原來的2倍，

得到y=sin(x+π57.D

【解析】解：∵bsinB=csinC，∴c=22sinCsinB=

22sin(135°8.C

【解析】解：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC，

∵BC⊥AB，PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥AE，

又∵AE⊥PB，PB∩BC=B，

∴AE⊥平面PBC，

∵tan∠EAF=EFAE=102，

∵AE=9.ABD

【解析】解：△ABC是正三角形，由題意可知，NM是AB的中位線，

所以NM//AB，所以AB與MN不能構成一組基底，A正確;

由向量的線性運算可知，AN+MB=12AC+12CB=12AB=NM，B正確;

因為AC?CB10.BD

【解析】解：對于A數據為：1，2，2，2，2，4，6，7，8，9時，滿足中位數為3，眾數為2，

但不滿足每位選手的失分不超過6分，故A錯誤；

對于B，假設有一位同學失7分，則方差s2≥(7?3)210=1.6與方差為1矛盾，

∴假設不成立，故B正確;

對于C，數據為：1，2，2，2，2，2，2，3，5，9時，滿足平均數為3，眾數為2，

但是不滿足每位選手失分不超過6分，故C錯誤;

對于D，中位數為2，極差為4，所以最大值不超過611.ACD

【解析】解：對于A:當x∈[0,1]時，則?x∈[?1,0]，因為f(x)是定義域為R的偶函數，所以f(x)=f(?x)=3?x?13，故A正確：

對于B，由f(x2+1)為奇函數得f(?x2+1)+f(x2+1)=0，即f(x+1)+f(1?x)=0，所以f(x)的圖象關于點(1,0)對稱.當x∈[1,2]時，則2?x∈[0,1]，所以f(x)=?f(2?x)=?(3x?2?13)=?3x?2+13，故B錯誤;

對于C，由選項AB知，當x∈[0,1]時，f(x)=3?x?13，當x∈[1,2]時，f(x)=?3x?2+13，又因為函數y=3?x，y=?3x?2在R上單調遞減，所以f(x)在[0,2]上單調遞減.又f(x)為偶函數，所以f(x)在[?2,0]上單調遞增12.9π

【解析】解：∵棱長為3的正方體的八個頂點都在同一個球面上，

∴球的直徑是正方體的體對角線，

體對角線的長度為3×3=3

∴球的半徑是r=32，

13.2

【解析】解：∵復數1?i是方程x2+px+q=0的一個根，

∴(1?i)2+p(1?i)+q=0，即(p+q)?(2+p)i=0，解得p=?2，q=2，

∴p+2q=214.20【解析】解：設甲船航行行了t小時和乙船相遇，

由題意可得，(vt)2=(40t)2+302?2×40t×30cos(90°?30°)，0<t≤2，

即v2=100(9t2?1215.解：(1)根據向量n與AD方向相同，故設n=λAD，λ>0，

∵AD=(4,3)，∴n=(4λ,3λ)，

又∵|n|=1，∴(4λ)2+(3λ)2=1，解得λ=±15．

又∵λ>0，∴λ=15．

∴n=(45,35).

(2)設向量AC與BD的夾角為θ，

∵AB=(2,?1)，AD=(4,3)【解析】本題考查了向量共線關系的坐標表示和利用向量數量積的坐標運算求向量的夾角，是基礎題．

(1)設n=λAD，λ>0，由|n|=1，得λ，可得n的坐標;

(2)得出16.解：(1)設f(x)與g(x)=4x+4交點的橫坐標為x0，

∵f(1)=4，即3a+1=4，∴a=1，

∴f(x)=x2+2x+1．

∵x0是f(x)與g(x)=4x+4交點的橫坐標，

∴x0是方程x2+2x+1=4x+4的根，

即x02?2x0?3=0，解得x0=?1或x0=3．

所以f(x)與g(x)=4x+4交點的橫坐標為?1和3．

(2)?①當a=0時，f(x)=1，f(x)不存在零點;

?②當a>0時，f(x)圖象開口向上，

∵f(x)的對稱軸是x=?1，∴f(x)在區間(1,2)單調遞增，

∵f(x)在區間(1,2)上恰有一個零點．

∴f(1)<0f(2)>0解集為?．

所以當a>0時不滿足題意．

?③當a<0時，函數f(x)圖象開口向下，

∵f(x)的對稱軸是x=?1【解析】本題考查了一元二次函數的圖象與性質，是中檔題．

(1)由f(1)=4，得a=1，將f(x)與g(x)=4x+4聯立可得交點的橫坐標;

(2)分a=0、a>0和a<0三種情況，研究函數零點，可得a的取值范圍．17.解：(1)取AC的中點O，連結OE，OD．

∵AE=CE，AD=CD，O為AC的中點．∴AC⊥OE，AC⊥OD．

∵OE，OD?平面ODE，且OE∩OD=O．∴AC⊥平面ODE．

∵DE?平面ODE，∴AC⊥DE．

(2)由(1)知AC⊥OE，AC⊥OD，

所以∠EOD是二面角E?AC?D的平面角．

∵VE?ACD=VA?COE+VC?ODE，AC⊥平面ODE，

∴13S△ODEOA+13S△ODEOC=13S△ODEAC=66．

又【解析】本題考查了線面垂直的判定、線面垂直的性質和二面角，是中檔題．

(1)取AC的中點O，連結OE，OD先證明AC⊥平面ODE，由線面垂直的性質可得AC⊥DE，

(2)由(1)知AC⊥OE，AC⊥OD，所以∠EOD是二面角E?AC?D的平面角，計算即可．18.解：(1)因為隨機抽取了200名學生進行測試，其中成績不超過80分的有108人，

所以(0.005+a+0.035)×10=108200，解得a=0.014，

因此(0.005+0.014+0.035+b+0.016)×10=1，解得b=0.030．

(2)設平均數為x，上四分位數為t，

則x=55×0.05+65×0.14+75×0.35+85×0.30+95×0.16=78.8．

因為(0.005+0.014+0.035)×10=0.54<0.75，而(0.005+0.014+0.035+0.030)×10=0.84>0.75，

所以上四分位數t位于[80,90)內，因此(t?80)×0.03+0.54=0.75，解得t=87．

綜上所述，估計該校學生測試分數的平均數為78.8，上四分位數為87．

(3)公式?①和公式?②相等．

證明如下：

因為s2=120200[s12+(x?z)2]+80200【解析】本題考查了頻率分布直方圖，百分位數，平均數和方差，屬于中檔題．

(1)利用頻率分布直方圖，計算得結論；

(2)利用頻率分布直方圖，結合百分位數和平均數，計算得結論；

(3)利用方差，計算得結論．19.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，

在△ACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，

因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，又∠ADB+∠ADC=π，所以ABAC=BDDC，

因為AB=3AC，且DC=2，所以BD=6.所以BC=8．

(2)方法一;由AD是∠BAC的平分線得DBDC=ABAC=3，則BC=4DC，

在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=BCsin∠BAC?①，

在△ACD中，由正弦定理得ADsinC=DCsin∠BAC2?②，

由?①?②得ADAB=DCBC?sin∠