第1節(jié)函數(shù)的概念及其表示高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025領(lǐng)航備考路徑新課標(biāo)核心考點(diǎn)2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.函數(shù)的概念與表示

第11題

2.函數(shù)的單調(diào)性

第7題

第4題第6題3.函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用第8題第8題第13題第8題第12題第8題

第4題4.指對冪運(yùn)算及大小比較

第7題第7題

5.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)

6.函數(shù)的圖象

7.函數(shù)與方程

第10題

8.函數(shù)模型及其應(yīng)用第6題

第10題

優(yōu)化備考策略考情分析:1.函數(shù)模塊是高考考查的核心內(nèi)容之一,主要以基本初等函數(shù)或者基本初等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)為載體,考查定義域、值域、性質(zhì)、圖象、零點(diǎn)等相關(guān)知識,近幾年高考對抽象函數(shù)考查的頻率明顯增加,重點(diǎn)考查函數(shù)的奇偶性、周期性與單調(diào)性等,常與導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等交匯命題,考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,以客觀題的形式出現(xiàn),難度中等,分值5~10分.2.高考對函數(shù)知識的考查,重在交匯融合,還多有隱性考查,滲透在整卷的考查中.復(fù)習(xí)策略:1.明晰重要概念,熟練掌握常見基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì):定義域、值域、最值、奇偶性、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)等概念是解決函數(shù)問題的基礎(chǔ),應(yīng)明確;二次函數(shù)、指對冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)貫穿在解決函數(shù)問題的全過程,應(yīng)熟練掌握.2.強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練:數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法在解決函數(shù)問題中具有重要應(yīng)用,應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用意識.3.注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升:解決函數(shù)問題的過程中,代數(shù)推理、變形化簡、數(shù)值計(jì)算等貫穿其中,是影響解題成敗的關(guān)鍵因素,因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視運(yùn)算能力的訓(xùn)練與提升.4.善于運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)的二級結(jié)論快速、簡潔地解決相關(guān)問題.5.涉及抽象函數(shù)問題,注意尋找函數(shù)原型幫助分析和解決問題.課標(biāo)解讀1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域.2.理解函數(shù)的三種表示方法:圖象法、列表法、解析法.會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?3.通過具體實(shí)例,了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用.1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識梳理1.函數(shù)的概念

概念一般地,設(shè)A,B是非空的

,如果對于集合A中的

,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有

確定的數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)

三要素對應(yīng)關(guān)系y=f(x),x∈A定義域

的取值范圍A

值域與x的值對應(yīng)的y值的集合{f(x)|x∈A}同一個(gè)函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)的

相同,且

完全一致,那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)

實(shí)數(shù)集

任意一個(gè)數(shù)x唯一x定義域?qū)?yīng)關(guān)系微思考定義域與值域相同的兩個(gè)函數(shù)一定是同一個(gè)函數(shù)嗎?值域與對應(yīng)關(guān)系相同的兩個(gè)函數(shù)一定相等嗎?提示

不一定是同一個(gè)函數(shù).如函數(shù)y=3x和y=2x-1,二者的定義域均為R,值域也均為R,但兩個(gè)函數(shù)不同.值域與對應(yīng)關(guān)系相同的兩個(gè)函數(shù)也不一定相等.如函數(shù)y=x2,x∈[0,2)和函數(shù)y=x2,x∈(-1,2),兩函數(shù)解析式相同,值域也相同,但定義域不同,所以不是相等函數(shù).2.函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有

、圖象法、列表法.

微思考直線x=a(a為常數(shù))與函數(shù)f(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是多少?解析法提示

直線x=a(a為常數(shù))與函數(shù)f(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1或0.若設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈,則當(dāng)a∈D時(shí),有1個(gè)交點(diǎn),當(dāng)a?D時(shí),有0個(gè)交點(diǎn).3.分段函數(shù)如果一個(gè)函數(shù),在其定義域內(nèi),對于自變量的不同取值區(qū)間,有不同的對應(yīng)方式,則稱其為分段函數(shù).微點(diǎn)撥1.分段函數(shù)只是在定義域的不同區(qū)間上解析式不同,但它表示的是同一個(gè)函數(shù).2.分段函數(shù)的定義域是各段區(qū)間的并集,值域是各段值域的并集.3.分段函數(shù)定義域的各段區(qū)間的交集一定是空集.4.解析式中含有絕對值的函數(shù)一般都可以化為分段函數(shù).5.分段函數(shù)的圖象中,橫坐標(biāo)相同的地方不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn).常用結(jié)論常見函數(shù)的定義域如下:(1)分式中分母不能等于0;(2)偶次根式的被開方數(shù)大于或等于0;(3)零次冪的底數(shù)不能為0;(4)一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)、正弦函數(shù)y=sin

x、余弦函數(shù)y=cosx的定義域均為R;(5)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的定義域?yàn)?0,+∞);自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.對于函數(shù)f:A→B,其值域是集合B.(

)××√×題組二回源教材5.(人教B版必修第一冊3.1.1節(jié)練習(xí)B第8題)已知函數(shù)f(x+1)=2x-3,求f(4),f(x).解

令x+1=4,解得x=3,代入得f(4)=3;設(shè)x+1=t,則x=t-1,代入得f(t)=2t-5,因此f(x)=2x-5.6.(人教A版必修第一冊74頁習(xí)題3.1第17題)探究是否存在函數(shù)f(x),g(x)滿足條件:(1)定義域相同,值域相同,但對應(yīng)關(guān)系不同;(2)值域相同,對應(yīng)關(guān)系相同,但定義域不同.解

(1)存在,例如f(x)=2x+1與g(x)=3x-1的定義域和值域均為R,但對應(yīng)關(guān)系不同.(2)存在,例如f(x)=x2,x∈R與g(x)=x2,x∈[0,+∞)的值域和對應(yīng)關(guān)系相同,但定義域不同.題組三連線高考

(-∞,0)∪(0,1]

2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一函數(shù)的概念及應(yīng)用例1(1)(多選題)(2024·浙江衢州模擬)已知函數(shù)f(x)與g(x),若存在f(x)使得f(g(x))=x2,則g(x)不可能為(

)A.x2-2023x

B.sin

x C.2x-1

D.|x|AB解析

對于A選項(xiàng),若g(x)=x2-2

023x,當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,當(dāng)x=2

023時(shí),f(0)=2

0232,相當(dāng)于1個(gè)x值對應(yīng)兩個(gè)y值,不符合函數(shù)定義,即A錯(cuò)誤;對于B選項(xiàng),取x=0和x=π,有f(g(0))=f(0)=0,f(g(π))=f(0)=π2,不符合函數(shù)定義,所以B(2)(2024·浙江寧波模擬)已知函數(shù)f(x)滿足:對任意的非零實(shí)數(shù)x,y,都有f(x+y)=()f(x)f(y)成立,且f(1)=2,若f(n)=f(n+1),n∈Z,n≠0,則n=(

)A.-3 B.-2 C.2

D.3B[對點(diǎn)訓(xùn)練1](多選題)(2024·廣東深圳模擬)下列式子中,不存在函數(shù)f(x)使其對任意x∈R都成立的是(

)A.f(x)=xB.f(sin

x)=xC.f(cosx)=xD.f(sin

x)=cosxBCD解析

對于A,對任意x∈R,f(x)=x都成立;對于B,取x=0和x=π,得到f(0)=0,

函數(shù)的定義;對于D,取x=0和x=π,得到f(0)=1,f(0)=0,不符合函數(shù)的定義,故選BCD.考點(diǎn)二函數(shù)的定義域B(-1,2)

解析

要使函數(shù)有意義,應(yīng)滿足

解得-1<x<2,故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,2).[對點(diǎn)訓(xùn)練2](1)(2024·安徽安慶模擬)若函數(shù)y=+ln(x+2)的定義域?yàn)閇1,+∞),則a=(

)A.-3 B.3C.1 D.-1A(2)(2024·河北衡水中學(xué)檢測)已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇0,4],則函數(shù)

的定義域是(

)A.(1,5] B.(1,2)∪(2,5)C.(1,2)∪(2,3] D.(1,3]C考點(diǎn)三函數(shù)的解析式例3根據(jù)下列條件求函數(shù)的解析式:(1)已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x)-2f(x-1)=2x+5,求f(x)的解析式;(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(cosx-1)=cos2x-1,求f(x)的解析式;解

(1)依題意設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),則由3f(x)-2f(x-1)=2x+5可得3(ax+b)-2[a(x-1)+b]=2x+5,(2)函數(shù)f(x)滿足f(cos

x-1)=cos

2x-1=2cos2x-1-1=2cos2x-2,設(shè)cos

x-1=t,則cos

x=t+1,由cos

x∈[-1,1]知t∈[-2,0],故原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為f(t)=2(t+1)2-2=2t2+4t,t∈[-2,0],即f(x)的解析式為f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0).(4)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x)的解析式.立,故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x2-2(x≥2).(4)因?yàn)閒(x)+2f(-x)=x2+2x,①所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②考點(diǎn)四分段函數(shù)(多考向探究預(yù)測)考向1分段函數(shù)的求值問題

例4(1)(2024·廣西南寧模擬)已知函數(shù)f(x)=那么f(f(-1))=(

)A.7 B.6

C.5

D.4D解析

因?yàn)閒(x)=所以f(-1)=-(-1)+1=2,所以f(f(-1))=f(2)=22=4,故選D.(2)(2024·陜西安康模擬)已知函數(shù)f(x)=則f(log23)=

.

(3)(2024·北京海淀區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=若f(m)=-1,則實(shí)數(shù)m的值為

.

1考向2分段函數(shù)與不等式例5(2024·浙江嘉興模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=若f(a)≥0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(-∞,-2]∪[0,+∞)

解析

當(dāng)a≤0時(shí),f(a)=a2+2a,由f(a)≥0,得a2+2a≥0,解得a≥0或a≤-2,又因?yàn)閍≤0,所以得a=0或a≤-2;當(dāng)a>0時(shí),f(a)=lg(a2+1),由f(a)≥0得lg(a2+1)≥0,解得a∈R,又因?yàn)閍>0,所以得a>0.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2]∪[0,+∞).變式探究1(變條件)本例中,函數(shù)解析式不變,將“f(a)≥0”改為“f(a-1)≤3”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

解析

當(dāng)a-1≤0即a≤1時(shí),f(a-1)=(a-1)2+2(a-1),由f(a-1)≤3得(a-1)2+2(a-1)≤3,解得-2≤a≤2,