八年級數學專題培優競賽總結方法

八年級數學專題培優競賽總結方法專題一：相似三角形

一、基礎檢測：

1.如圖1,ZADC=ZACB=9OO,Z1=ZB,AC=5,AB=6J1|JAD=.

2.如圖2,AD〃EF〃BC,則圖的相似三角形共有對

3.如圖3,正方形ABCD中,E是AD的中點,BMJ_CE,AB=6,CE=3

4.AABC的三邊長為,,2,&\上（，的兩邊為1和，則BM=.，若△ABCsAYB'C,則

△A，B，C'的笫三邊長為.

5.兩個相似三角形的面積之比為1：5,小三角形的周長為4,則另一個三角形的周長為.

6.如圖4,RtAABC中,NC=900,D為AB的中點,DE_LAB,AB=20,AC=12廁四邊形ADEC的

面積為.

7.如圖5,RtAABC中,NACB=900,CD_LAB,AC=8,BC=6,則

AD=CD=.

8.如圖6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,則EF=.

9.如圖7,AABC中,/A=NDBC,BC=,SABCD:SAABC=2：3,則CD=.

10.如圖8,梯形ABCD中,AD〃BC,兩腰BA與CD的延長線相交于P,PF_LBC,AD=3.6,-

BC=6,EF=3,則PF=.

11.如圖9,AABC中,DE〃BC,AD:DB=2：3,則SAADE:SAABE

12.如圖10,正方形ABCD內接于等腰APQR,/P=900,則PA:AQ=.

13.如圖11,AABC中,DE〃FG〃BC,AD：DF：FB=1：2：3,

則S四邊形DFGE：S四邊形FBCG=.

14.如圖12,AABC中，中線BD與CE相交于O點,SAADE=1廁S四邊形BCDE=.

二、簡單解答：

15.已知:如圖,AABC中,CEJ_AB,BFJLAC.

求證:AAEFSAACB.

16.已知:如圖,AABC中,NABC=2NC,BD平分NABC.

求證:AB-BC=ACCD.

17.已知:AACB為等腰直角三角形，NACB=900延長BA至E,延長AB至F,ZECF=1350

求證：AEAC^ACBF

18.已知:如圖,AABC中,AD=DB,/l=/2.求證:AABCsA

EAD.

19.已知:如圖,CE是RtAABC的斜邊AB上的高,BGJ_AP.

求證:(1)CE2=AE-EB;

(2)AE-EB=ED-

EP

專題二：多邊形與平行四邊形

1、我們給出如下定義：如果四邊形中一對頂點到另一對頂點所連對角線的距離相等，則

把

這對頂點叫做這個四邊形的一對等高點.

例如：如圖1,平行四邊形ABCD中，可證點A、C到BD的距離相等，所以點A、C是

平行四邊形ABCD的一對等高點，同理可知點B、D也是平行四邊形ABCD的一對等高

點.

（1）如圖2,已知平行四邊形ABCD,請你在圖2中畫出一個只有一對等高點的四邊形

ABCE（要求：畫出必要的輔助線）；

（2）已知P是四邊形ABCD對角線BD上任意一點（不與B、D點重合），請分別探究圖

3、圖4中S1,S2,S3,S4四者之間的等量關系（S1,S2,S3,S4分別表示△ABP,ACBP,ACDP,

△ADP的面積）：

①如圖3,當四邊形ABCD只有一對等高點A、C時,你得到的一個結論是；

②如圖4,當四邊形ABCD沒有等高點時，你得到的一個結論是

AA

B

BS1S2S4S

1DBPS4S2

2、四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到

另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點、如圖1,點P為四

邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD=PB,PA彳PC,則點P為四邊形ABCD的準

等距點.

(1)如圖2,畫出菱形ABCD的一個準等距點.

(2)如圖3,作出四邊形ABCD的一個準等距點(尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法).

(3)如圖4,在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PArPC,延長BP交CD于點E,延長

DP交BC于點F,且NCDF=NCBE,CE=CF,試說明：點P是四邊形ABCD的準等距

點.

(4)試研究四邊形的準等距點個數的情況(說出相應四邊形的特征及準等距點的個數，不必

證明).

3、如圖1,P為RtZ\ABC所在平面A

4、如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm,ZA=60°,BD±AD.一動點P從A出發,

以每秒1cm的速度沿ATB—C的路線勻速運動，過點P作直線PM,使PMLAD.

(1)當點P運動2秒時，設直線

PM與

AD相交于點

E

,求aAPE的面積；

(2)當點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發沿ATBTC的路線運動，且在AB上以

每秒1cm的速度勻速運動，在BC上以每秒2cm的速度勻速運動.過Q作直線QN,使QN

〃PM.設點Q運動的時間為t秒(OMRO),直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的

面積為Scm2.

①求S關于t的函數關系式；

②求S的最大值.

M圖1BEMMM

5、如圖，ABCD是矩形紙片，翻折/B、ND,使BC、AD恰好落在AC上、設F、H分

別是B、D落在AC上的兩點，E、G分別是折痕CE、AG與AB、CD的交點、(1)試說明：

四邊形AECG是平行四邊形；

口6(2)若人8=?01,BC=3cm,求線段EF的長、

F

C

專題三：不等式與不等式組

一、基礎探究

1、下列四個命題①若a>b,則a+l>b+l；②若a>b,則a—〉b-1；③若a>b，則

2a<-2b；④若a>b,則2a<2b.其中正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

2、如果2m、m、l-m這三個實數在數軸上所對應的點從左到右依次排列，那么m的取

值范圍是()A.m>0B.m>0.5C.m<0D.0<m<0.53>

若不等式組

有解，則

a的取值范圍是

()

A.?.a<lD.

,和點，0),直線過點A,則不等式4、如圖，直線經過點

()

A.

的

B.

解C.

集D.

為

5、不等式組的解集是

6、如果不等式組的解集是，那么的值為

7、已知.（1）若，則a的取值范圍是.（2）若，且，則

______「8、已知關于x的不等式組

2

2

只有四個整數解，則實數a的取值范圍是

9、已知關于x、y的方程組的解滿足x<y<O,求m的范圍.

10、小剛想給小東打電話，但忘了電話號碼中的一位數字，只記得號碼是284口9456（□表

,示忘記的數字）.若口位置的數字是不等式組的整數解，求□可能表示的數

字.

11、已知不等式組，求（x+y）（x-xy+y）的值.3的整數解a滿足

12、我國東南沿海某地的風力資源豐富，一年內日平均風速不小于3m/s的時間共約160天,

其中日平均風速不小于6m/s的時間約占60天，為了充分利用風能這種“綠色能源”，該地擬

建一個小型風力發電場，決定選用A、B兩種型號的風力發電機.根

A

型風力發電機一年的發電總量至少為kWh；

（2）已知A型風力發電機每臺0.3萬元,B型風力發電機每臺0.2萬元，該發電場擬購置風力

發電機共10臺，希望購置的費用不超過2.6萬元，而建成的風力發電場每年的發電總量不少于

102000kW.h,請你提供符合條件的購機方案。

13、我縣農業結構調整取得了巨大成功，今年水果又喜獲豐收，某鄉組織30輛汽車裝運

A、

B、C三種水果共64噸到外地銷售，規定每輛汽車只裝運一種水果，且必須裝滿；又裝運

每種水果的汽車不少于4輛；同時，裝運的B種水果的重量不超過裝運的A、C兩種水果

重量之和.

（1）設用x輛汽車裝運A種水果，用y輛汽車裝運B種水果，根據下表提供的信息，求

y與x之間的函數關系式并寫出自變量的取值范圍.

（2）最大利潤時的車輛分配方案.

二、能力提升

14、解方程由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數軸上與1

和一2的距離之和為5的點對應的x的值.在數軸上，1和一2的距離為3,滿足方程的x

對應點在1的右邊或一2的左邊，若x對應點在1的右邊，由圖（17）可以看出x=2；同理,

若x對應點在一2的左邊，可得x=-3,故原方程的解是x=2

或x=—3

012參考閱讀材料，解答下列問題：-2

（1）方程的解為

（2）解不等式；

（3）若對任意的x都成立，求a的取值范圍

15、小杰到學校食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊的人一樣多(設為a人，a>8),

就站在A窗口隊伍的后面，過了2分鐘，他發現A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊伍上，

B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人。

(1)此時，若小杰繼續在A窗口排隊，則他到達窗口所花的時間是多少(用含a的代數

式表示)？

(2)此時，若小杰迅速從A窗口隊伍轉移到B窗口后面重新排隊，且到達B窗口所花的

時間比繼續在A窗口排隊到達A窗口所花的時間少，求a的取值范圍(不考慮其它因素)。

16、“5T2”四川汶川大地震的災情牽動全國人民的心，某市A、B兩個蔬菜基地得知四川

C、D兩個災民安置點分別急需蔬菜240噸和260噸的消息后，決定調運蔬菜支援災區.已

知A蔬菜基地有蔬菜200噸，B蔬菜基地有蔬菜300噸，現將這些蔬菜全部調往C、D兩個

災民安置點.從A地運往C、D兩處的費用分別為每噸20元和25元，從B地運往C、D

兩處的費用分別為每噸15元和18元.設從B地運往C處的蔬菜為x噸.

請填寫下表，并求兩個蔬菜基地調運蔬菜的運費相等時x的值；

設A、B兩個蔬菜基地的總運費為元，寫出與之間的函數關系式，并求總運費最小的調運

方案；

經過搶修，從B地到C處的路況得到進一步改善，縮短了運輸時間，運費每噸減少m元

(m>0),其余線路的運費不變，試討論總運費最小的調運方案.

17、某公司有A型產品40件，B型產品60件，分配給下屬甲、乙兩個商店銷售，其中

70件給甲店,30

(1)設分配給甲店A型產品件，這家公司賣出這100件產品的總利潤為W(元)，求W

關于x的函數關系式，并求出x的取值范圍；

(2)若公司要求總利潤不低于17560元，說明有多少種不同分配方案，并將各種方案設

計出來；

(3)為了促銷，公司決定僅對甲店A型產品讓利銷售，每件讓利a元，但讓利后A型產

品的每件利潤仍高于甲店B型產品的每件利潤.甲店的B型產品以及乙店的A,B型產品

的每件利潤不變，問該公司又如何設計分配方案，使總利潤達到最大？

專題四：綜合幾何總結方法

一、幾何證明題中的幾種基本方法：

1、等量代換法：

如圖，已知中，，，點P為BC邊上的一動點(BP<CP),

分別過點B,C作BEJ_AP于E,CF_LAP于F。

(1)求證：EF=CF-BE

(2)若點P為BC延長線上一點，其它條件不變，則線段BE、CF、EF是否存在某種確

定

的數量關系？畫圖并直接寫出你的結論。

E

2、倍長中線法：

(1)如圖，AD是的角平分線，M為BC中點，ME〃AD交AB,CA的延長線于

E,

F,求證：BE=CF

BMDC

(2)如圖，AD是的中線，AE1AC,AF±AB,且AE=AC,AF=AB,求證:

AD=1EF2

E

B

3、截長補短法：

(1)如圖，正方形ABGE(四邊相等，四個角都等于90。)，點D在BG上，且

求證：CD=CE+CB

EDG

C

AB

(2)如圖，在上題中，若點D在EG的延長線上，點C在GB的延長線上，其余條件

不變，

求證：DE=BC+CD

G

D

C

綜合運用：

1、點C為線段AB上一點，分別以AC,BC為邊在線段AB同側作4ACD和aBCE,且

CA=CD,CB=CE,,,直線AE與BD交于點F。

E

DACB

E

ACB

AF

CB

2

圖3

0(1)如圖1,若,則

(2)如圖2,若,則(用含的式子表示)

(3)將圖2中的4ACD繞點C順時針旋轉任意角度(交點F至少在BD、AE中的一

條

線段上)，如圖3,試探究與的數量關系，并證明。

2.如圖，等腰Rt^ABC中，/BAC=900,AB=AC,點A、C分別在y軸、x軸上.且

點

A、點C的坐標分別為A(0,2)、(5,0).

(1)如圖24,求點B的坐標；

(2)如圖25,點P是第一、三象限的平分線PQ上的一動點，是否存在點P,使得aPAC

的面積是12,若存在，求出P點的坐標，若不存在，說明理由；

(3)如圖26,BF在AABC內部且過B點的任意一條射線，分別過A作AMJ_BF于M

點，過C作NCLBF于N點，寫出BM、AM與NC之間的數量關系，并證明你的結論.

3、在平面直角坐標系中，點B的坐標為(-1,0),點C的坐標為(1,0),點D為第一

象限內一點，且/ABD=NACD.AE_LCD于E點.

(1)求證：DA平分NBDE；

(2)判斷BD-CD與DE之間的數量關系，并證明你的結論；

(3)若BD=5,AE=CD=3,求4ACE的面積。

4.如圖1,0A=2,0B=4,以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt^ABC.

(1)求C點的坐標；

圖2

(2)如圖2,P為y軸負半軸上一個動點，當P點向y軸負半軸向下運動時，以P為頂點,

PA為腰作等腰Rtz^APD,過D作DE_Lx軸于E點，求OP-DE的值；

(3)如圖3,已知點F坐標為(-4,-4),當G在y軸的負半軸上沿負方向運動時，作

RtAFGH,始終保持NGFH=900,FG與y軸負半軸交于點G(0,m),FH與x軸正半軸

交于點H(n,0),當G點在y軸的負半軸上沿負方向運動時，求m+n的值.

二、基礎篇：

1、如圖，4ABC的頂點均在坐標軸上，A(-4,0),D(0,1),且OD=OC,AD±BC,

則AADB的面積是

圖1圖2

2、如圖，AD是4ABC的角平分線，DF_LAB于F,DE1AC于E,AB+AC=18,

求DF的長？

3、如圖，點P為NABC角平分線上一點，D點和E點分別在AB和BC上，且PD=PE,

試探

究/BDP和NBEP的數量關系，并給出證明。

A

C

C

圖4

圖3

4、如圖，ZXABC中，ZD=90°,DE垂直平分AB交CE于E,AB=2AC,BC=18cm,則

BE的長度是

5、已知：如圖所示，BD為/ABC的平分線，AB=BC,點P在BD上，PMJ_AD于M,

?PN_LCD于N,判斷PM與PN的關系.

AMCDN

圖5

6、.AD是^ABC的邊BC上的中線，AB=12,AC=8,則邊BC的取值范圍是；

中線AD的取值范圍是.

三、提高篇：

7、如圖，^