第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年青海省西寧十四中高一（下）月考數學試卷（6月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復數1?2i3?i在復平面內對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設l是直線，α，β是兩個不同平面，則下面命題中正確的是(

)A.若l/?/α，l/?/β，則α/?/β B.若l/?/α，l⊥β，則α⊥β

C.若l⊥β，α⊥β，則l/?/α D.若l/?/α，α⊥β則l⊥β3.已知{a,b,c}是空間的一個基底，若p=a+bA.r=2b?3c B.r=a4.如右圖，△A′B′C′是水平放置△ABC的直觀圖，其中B′C′=C′A′=1，A′B′//x′軸，A′C′//y′軸，則BC=(????)．A.2

B.2

C.6

5.12名跳高運動員參加一項校際比賽，成績分別為1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75(單位：m)，則比賽成績的75%分位數是(

)A.1.72 B.1.73 C.1.74 D.1.756.如圖，一艘船向正北方向航行，航行速度為每小時1039海里，在A處看燈塔S在船的北偏東θ(sinθ=34)的方向上.1小時后，船航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東3θ的方向上，則船航行到B處時與燈塔A.103海里

B.203海里

C.107.如圖，半球內有一內接正四棱錐S?ABCD，該四棱錐的體積為423，則該半球的體積為A.23π

B.429π8.在銳角三角形ABC中，sin2B+sin2C?sinA.(1,22) B.(1,2)二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列命題中，正確的是(

)A.在△ABC中，A>B，則sinA>sinB

B.在銳角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在△ABC中，若acosA=bcosB，則△ABC必是等腰直角三角形

D.在△ABC中，若B=60°，b2=ac，則10.某公司生產甲、乙、丙三種型號的轎車，產量分別為1200輛、6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產品質量，公司質監部門用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，則(

)A.在每一種型號的轎車中可采用抽簽法抽取

B.抽樣比為1200

C.三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛

D.11.已知平面向量a=(1,0)，b=(1,23A.|a+b|=16 B.(a+b)?a=2

C.向量a+b12.在三棱錐P?ABC中，三條棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=2，若點P，A，B，C均在球O的球面上，M為球面上的一個動點，則(

)A.球O的表面積為8π

B.O到平面ABC的距離為33

C.三棱錐M?PAB體積的最大值為23+23

D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.某學校有男生400人，女生600人．為了調查該校全體學生每天睡眠時間，采用分層抽樣的方法抽取樣本，計算得男生每天睡眠時間均值為7.5小時，方差為1，女生每天睡眠時間為7小時，方差為0.5.若男、女樣本量按比例分配，則可估計總體方差為______．14.若向量a，b滿足|a|=32，|b|=1，15.如圖，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為2cm，高為5cm，一質點自A點出發，沿著三棱柱的側面繞行一周到達16.若z∈C，且滿足|z+1?i|=1，則|z?1?i|的最大值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知e1,e2是平面內兩個不共線的非零向量，AB=2e1+e2，BE=?e1+λe2，EC=?2e1+e2，且A，E，C三點共線．

(1)求實數λ18.(本小題12分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°．

(1)證明：直線BC/?/平面PAD；

(2)若△PCD的面積為2719.(本小題12分)

某地統計局就本地居民的月收入調查了10000人，并根據所得數據畫了樣本數據的頻率分布直方圖(每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在[1000,1500))．

(1)求居民月收入在[3000,3500)的頻率；

(2)根據頻率分布直方圖算出樣本數據的中位數；

(3)為了分析居民的收入與年齡、職業等方面的關系，必須按月收入再從這10000人中用分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，則月收入在[2500,3000)的這段應抽多少人？20.(本小題12分)

三角形三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知3ba=1?cosBsinA．

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC的面積等于3，D為BC21.(本小題12分)

如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中(注：塹堵是一長方體沿不在同一面上的相對兩棱斜解所得的幾何體，即兩底面為直角三角形的直三棱柱，最早的文字記載見于《九章算術》商功章)，已知AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，點M、N分別是線段B1A、A1C的中點．

22.(本小題12分)

著名的費馬問題是法國數學家皮埃爾?德?費馬(1601?1665)于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小”費馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當△ABC的三個內角均小于120°時，則使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點P即為費馬點.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cosB=2acosAc?sinBtanC.若P是△ABC的“費馬點”，a=23,b<c．

(1)求角A，若PA?PB+PB?PC+PC?答案解析1.【答案】D

【解析】解：∵1?2i3?i=(1?2i)(3+i)(3?i)(3+i)=3+i?6i?2i29?i2=5?5i10=1【解析】解：根據題意，依次分析選項：

對于A，若l/?/α，l/?/β，則α/?/β或平面α與平面β相交，故A錯誤；

對于B，由直線與平面垂直的判斷方法，若l/?/α，l⊥β，則α⊥β，故B正確；

對于C，若l⊥β，α⊥β，則l/?/α或l?α，故C錯誤；

對于D，若l/?/α，α⊥β則l與平面β相交或l/?/β或l?β，故D錯誤．

故選：B．

3.【答案】A

【解析】解：對于選項A，設r=xp+yq，所以2b?3c=x(a+b)+y(a+c)，

整理得，2b?3c=(x+y)a+xb+yc，

因為{a,b,c}是空間的一個基底，所以x+y=0x=2y=?3，無解，

所以p，q與r可以構成一組空間基底；

對于選項B，因為r=a?b+2c，所以r=2q?p，

即r與p，q共面，所以p，q與r不能構成一組空間基底，排除B；

對于選項C，因為r=a+2b?c，所以r=2p?q，

即r與p，q共面，所以p，q與【解析】解：在△A′B′C′中，B′C′=C′A′=1，∠B′A′C′=45°，

由余弦定理得：B′C′2=A′C′2+A′B′2?2A′C′?A′B′cos45°，

即A′B′2?2A′B′=0，而A′B′>0，

解得A′B′=2，

由斜二測畫圖法知：AB=A′B′=5.【答案】B

【解析】解：由題意，將12名學生的成績，從小到大排序：1.55，1.59，1.60，1.65，1.67，1.68，1.69，1.70，1.72，1.74，1.758，1.78，

又由12×75%=9，所以這組數據的第75%分位數是1.72+1.742=1.73．

故選：B．

6.【答案】【解析】解：由題意可知AB=1×1039=1039海里，∠SAB=θ，∠SBA=π?3θ，

所以∠ASB=π?θ?(π?3θ)=2θ，

所以sinθ=34，cosθ=134，所以sin2θ=2sinθcosθ=398，

在△ABS中，由正弦定理可得BSsinθ【解析】解：依題意，設半球的半徑為R，

連接AC，BD交于點O，連接SO，如圖所示：

則有AO=BO=SO=R，易得AB=2R，

所以正四棱錐S?ABCD的體積為：VS?ABCD=13×|AB|2×SO=13×28.【答案】D

【解析】解：由sin2B+sin2C?sin2(B+C)=2sinBsinC可得：b2+c2?a2=2bc，

所以cosA=b2+c2?a22bc=2bc2bc=22，

又因為A∈(0,π2)，

所以A=π4，

所以B+C=3π4，C=3π4?B，

又因為三角形ABC為銳角三角形，

所以9.【答案】ABD

【解析】解：對于A，由A>B，可得：a>b，利用正弦定理可得：sinA>sinB，故A正確；

對于B，在銳角△ABC中，A，B∈(0,π2)，∵A+B>π2，∴π2>A>π2?B>0，∴sinA>sin(π2?B)=cosB，因此不等式sinA>cosB恒成立，故B正確

對于C，在△ABC中，由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，

∴sin2A=sin2B，

∵A，B∈(0,π)，

∴2A=2B或2A=π?2B，

∴A=B或A+B=π2，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，故C錯誤．

對于D，由于10.【答案】BCD

【解析】解：因每一種型號的轎車數量較多，不適合用抽簽法，故A錯誤；

在按比例分配的分層隨機抽樣中，抽樣比為461200+6000+2000=1200，故B正確；

在按比例分配的分層隨機抽樣中，三種型號的轎車應依次抽取6輛、30輛、10輛，故C正確；

在按比例分配的分層隨機抽樣中，每一輛被抽到的概率是相等的，故D正確．

故選：BCD．

【解析】解：已知平面向量a=(1,0)，b=(1,23)，

對于選項A，a+b=(2,23)，則|a+b|=22+(23)2=4，即選項A錯誤；

對于選項B，(a+b)?a=2×1+23×0=2，即選項【解析】解：如圖，將三棱錐補成正方體，則該三棱錐的外接球與該正方體的外接球相同，

所以球O的半徑為4+4+42=3，則球O的表面積為12π，A錯誤；

由正方體的性質可知AB⊥PE，AB⊥DE，

又DE∩PE=E，可得AB⊥平面PED，故PD⊥AB，同理可得PD⊥AC，

又AB∩AC=A，可得PD⊥平面ABC，

設P到平面ABC的距離為?，因為AB=AC=BC=22，

所以由VP?ABC=VC?ABP，得13×34×(22)2?=13×12×2×2×2，得?=233，

所以O到平面ABC的距離為3?233=33,B正確；

由題可知O到平面PAB的距離為13.【答案】0.76

【解析】解：由題意可知，樣本總體的均值為4001000×7.5+6001000×7=7.2小時，

則總體方差為4001000×[1+(7.5?7.2)2]+【解析】解：根據題意，向量a，b滿足|a|=32，|b|=1，a⊥(a?b)

則a?(a15.【答案】61【解析】解：正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為2cm，高為5cm，

沿著正三棱柱ABC?A1B1C1的側棱AA1剪開，如圖，

把正三棱柱的側面展成一個平面圖形，可得一個長為3×2=6cm16.【答案】3

【解析】解：設z=a+bi(a,b∈R)，

|z+1?i|=1，

則|a+1+(b?1)i|=1，即(a+1)2+(b?1)2=1，表示以(?1,1)為圓心，1為半徑的圓，

|z?1?i|=|a?1+(b?1)i|=(a?1)2+(b?1)217.【答案】解：(1)AE=AB+BE

=(2e1+e2)+(?e1+λe2)

=e1+(1+λ)e2．

∵A，E，C三點共線，

∴存在實數k，使得AE=kEC，

即e1+(1+λ)e2=k(?2e1+e2)，

得(1+2k)e1=(k?1?λ)e2．

∵e1，e2是平面內兩個不共線的非零向量，

【解析】

(1)可以利用三點共線，得到向量的線性關系，解出λ的值，即可得到結果；

(2)由已知條件得到BC的坐標，再由AD=BC，得到18.【答案】證明：(1)四棱錐P?ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°，

∴BC/?/AD，

∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，

∴直線BC/?/平面PAD．

解：(2)由AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°．

設AD=2x，則AB=BC=x，CD=2x，

設O是AD的中點，連接PO，OC，

設CD的中點為E，連接OE，

則OE=22x，

由側面PAD為等邊三角形，則PO=3x，且PO⊥AD，

平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，且PO?平面PAD，

故PO⊥底面ABCD，

又OE?底面ABCD，故PO⊥OE，

則PE=PO2+OE2=7x2，

又由題意可知，PC=PD，故PE⊥CD【解析】

(1)由BC/?/AD，利用直線與平面平行的判定定理證明即可．

(2)利用已知條件轉化求解幾何體的線段長，然后求解幾何體的體積V?P?ABCD19.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可知，居民月收入在[3000,3500)內的頻率為0.0003×500=0.15；

(2)由頻率分布直方圖可知，

0.0002×(1500?1000)=0.1，0.0004×(2000?1500)=0.2，0.0005×(2500?2000)=0.25，

∵0.1+0.2+0.25=0.55>0.5，

∴樣本數據的中位數2000+0.5?(0.1+0.2)0.0005=2400；

(3)居民月收入在[2500,3000)的頻率為0.0005×(3000?2500)=0.25，

∴10000人中月收入在[2500,3000)的人數為0.25×10000=2500(人)，

再從10000人用分層抽樣方法抽出100人，

∴月收入在[2500,3000)的這段應抽取【解析】

(1)利用頻率分布直方圖，小矩形的面積即為頻率，從而可得答案；

(2)根據頻率直方圖，先確定中位數的位置，再由公式計算出中位數；

(3)利用頻率分布直方圖和分層抽樣的方法即可確定抽取的人數．20.【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理得，3sinBsinA=sinA?sinAcosB．

因為A∈(0,π)，sinA≠0，所以3sinB=1?cosB，

所以3sinB+cosB=2sin(B+π6)=1，即sin(B+π6)=12，

又B∈(0,π)，則B+π6=5π6，

所以B=2π3．

(2)由(1)得S△ABC=12acsin120°=34【解析】(1)由正弦定理以及條件邊化角得3sinB=1?cosB，再結合輔助角公式即可求解．

(2)先由面積公式S△ABC=12acsinB得ac=421.【答案】(1)證明：連接A1B，

由題意知，四邊形ABB1