§6.2.1排列與排列數(shù)

(第一課時排歹！D

【學(xué)習(xí)目標】

1.理解并掌握排列的概念

2.能應(yīng)用排列知識解決簡單的實際問題.

【知識梳理】

知識點一排列的定義

一般地，從n個不同元素中取出m(mWn)個元素，并按照一定的順序排成一

列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.

知識點二排列相同的條件

兩個排列相同的充要條件：

(1)兩個排列的元素完全相同.

(2)元素的排歹C順序也相同.

【判斷正誤】

1.123與321是相同的排列.(X)

2.同一個排列中，同一個元素不能重復(fù)出現(xiàn).(V)

3.在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發(fā)生變化.(X)

4.從4個不同元素中任取3個元素，只要元素相同得到的就是相同的排

歹I」.(X)

【題型探究】

一、排列的概念

例1判斷下列問題是否為排列問題：

(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設(shè)來回的

票價相同)；

(2)選2個小組分別去植樹和種菜；

(3)選2個小組去種菜；

⑷選10人組成一個學(xué)習(xí)小組；

(5)選3個人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；

(6)某班40名學(xué)生在假期相互打電話.

解(1)票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問

題，所以不是排列問題.

⑵植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.

(3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題.

⑸每個人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，

屬于排列問題.

(6)A給B打電話與B給A打電話是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問

題.

所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題.

反思感悟判斷一個具體問題是否為排列問題的思路

跟蹤訓(xùn)練1判斷下列問題是否為排列問題：

(1)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排

三位客人，又有多少種方法？

⑵從集合乂={1,2,…，9}中，任取兩個元素作為a,b,可以得到多少個焦點

222

在X軸上的橢圓方程與+高=1?可以得到多少個焦點在X軸上的雙曲線方程之

aba

一L

(3)平面上有5個點，其中任意三個點不共線，這5個點最多可確定多少條直

線？可確定多少條射線？

解(1)第一問不是排列問題，第二問是排列問題.“入座”問題同“排隊”問

題，與順序有關(guān)，故選3個座位安排三位客人是排列問題.

⑵第一問不是排列問題，第二問是排列問題.

X2V2

若方程p+°=l表示焦點在X軸上的橢圓，則必有a>b,a,b的大小關(guān)系一

ab

定;

2222

XVXV

在雙曲線-?一審=1中，不管a>b還是a<b,方程p一口=1均表示焦點在x軸上

abab

的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問題.

⑶確定直線不是排列問題，確定射線是排列問題.

二、畫樹形圖寫排列

例2將A,B,C,D四名同學(xué)按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排

在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，試用樹形圖列出所有可

能的排法.

解樹形圖(如圖)：

AD

/\

n/c

A/4/

-A—A

DIBl8

IInI

BoA

oDC

由樹形圖知,所有排法有BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,

DCAB,DCBA.

反思感悟樹形圖的畫法

(1)確定首位，以哪個元素在首位為分類標準進行確定首位.

(2)確定第二位，在每一個分支上再按余下的元素，在前面元素不變的情況下定

第二位并按順序分類.

(3)重復(fù)以上步驟，直到寫完一個排列為止.

跟蹤訓(xùn)練2(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個

不同的兩位數(shù)？

⑵寫出從4個元素a,b,c,d中任取3個元素的所有排列.

解(1)由題意作樹形圖，如圖.

1234

小ZN小小

234134124123

故所有兩位數(shù)為12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12個.

(2)由題意作樹形圖，如圖.

abed

CG/K小

故所有的排列為：abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bed,

bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,

deb,共有24個.

三、簡單的排列問題

例3（1）有7本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少

種不同的送法？

⑵有7種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的

送法？

解（1）從7本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，相當(dāng)于從7個元素中任取3個

元素的一個排列，所以共有7X6X5=210（種）不同的送法.

（2）從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計

數(shù)原理，共有7X7X7=343（種）不同的送法.

反思感悟?qū)τ诤唵蔚呐帕袉栴}，其解題思路可借助分步乘法計數(shù)原理進行，

即采用元素分析法或位置分析法求解.

跟蹤訓(xùn)練3（1）滬寧高鐵線上有六個大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江、

南京，鐵路部門應(yīng)為滬寧線上的六個大站（這六個大站之間）準備不同的火車票

的種數(shù)為（）

A.15B.30C.12D.36

答案B

解析對于兩個大站A和B,從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因

為每張車票對應(yīng)一個起點站和一個終點站，因此，每張火車票對應(yīng)從6個不同

元素（大站）中取出2個不同元素（起點站和終點站）的一種排列，故不同的火車

票有6X5=30（種）.

（2）3盆不同品種的花排成一排，共有種不同的排法.

答案6

【跟蹤訓(xùn)練】

L（多選）下面問題中，不是排列問題的是（）

A.由1,2,3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)

B.從40人中選5人組成籃球隊

C.從100人中選2人抽樣調(diào)查

D.從1,2,3,4,5中選2個數(shù)組成集合

答案BCD

解析選項A中組成的三位數(shù)與數(shù)字的排列順序有關(guān)，選項B,C,D只需取出

元素即可，與元素的排列順序無關(guān).

2.從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為（）

A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲

B.甲乙丙、乙丙甲

C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙

D.甲乙、甲丙、乙丙

答案C

解析從三人中選出兩人，而且要考慮這兩人的順序，所以有如下6種站法：

甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.

3.從5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué)，每人一本，則不同的送書方法的種

數(shù)為（）

A.5B.10C.20D.60

答案C

解析不同的送書種數(shù)為5X4=20.

4.從1,2,3,4這4個數(shù)字中選出3個數(shù)字構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有

個.

答案24

5.有8種不同的菜種，任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地里，有種不同

的種法.

答案1680

解析將4塊不同土質(zhì)的地看作4個不同的位置，從8種不同的菜種中任選4

種種在4塊不同土質(zhì)的地里，則本題即為從8個不同元素中任選4個元素的排

列問題，所以不同的種法共有8X7X6X5=1680（種）.

【課堂小結(jié)】

1.知識清單：

⑴排列的定義：順序性.

⑵“樹形圖”法列舉排列.

（3）排列的簡單應(yīng)用.

2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.

3.常見誤區(qū)：排列的定義不明確.

【同步練習(xí)】

M基礎(chǔ)鞏固

1.（多選）從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個數(shù)做以下數(shù)學(xué)運算，并分別計算它

們的結(jié)果.在這些問題中，相應(yīng)運算可以看作排列問題的有（）

A.加法B.減法C.乘法D.除法

答案BD

解析因為加法和乘法滿足交換律，所以選出兩個數(shù)做加法和乘法時，結(jié)果與

兩數(shù)字位置無關(guān)，故不是排列問題，而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關(guān)，故是

排列問題，故選BD.

2.某學(xué)習(xí)小組共5人，約定假期每兩人相互微信聊天，共需發(fā)起的聊天次數(shù)為

（）

A.20B.15C.10D.5

答案A

解析由題意得共需發(fā)起的聊天次數(shù)為5X4=20.

3.從1,2,3,4中任取兩個不同數(shù)字組成平面直角坐標系中一個點的坐標，則組

成不同點的個數(shù)為（）

A.2B.4C.12D.24

答案C

4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為（）

A.6B.4C.8D.10

答案B

解析列樹形圖如下：

乙

丙

/\/\

甲

丙

甲

乙

—

——

—

—

丙

甲

乙

甲

故組成的排列為丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4種.

5.將字母a,a,b,b,c,c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列

的字母也互不相同，則不同的排列方法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

答案A

解析先排第一列，因為每列的字母互不相同，因此共有3X2X1=6（種）不同

的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2種不同的排法，第二列

第二、三行的字母只有1種排法，所以共有6X2X1=12（種）不同的排法.

6.從a,b,c,d,e五個元素中每次取出三個元素，可組成個以b為

首的不同的排列，它們分別是.

答案12bac,bad,bae,bca,bed,bee,bda,bdc,bde,bea,bee,bed

解析畫出樹形圖如下：

可知共12個，它們分別是bac,bad,bae,bca,bed,bee,bda,bdc,bde,

bea,bee,bed.

7.車展期間，某調(diào)研機構(gòu)準備從5人中選3人去調(diào)查El館、E3館、E4館的參

觀人數(shù)，則不同的安排方法種數(shù)為.

答案60

解析由題意可知，本題為從5個元素中選3個元素的排列問題，所以安排方

法有5><4X3=60（種）.

8.一次演出，因臨時有變化，擬在已安排好的4個節(jié)目的基礎(chǔ)上再添加2個小

品節(jié)目，且2個小品節(jié)目不相鄰，則不同的添加方法共有種.

答案20

解析從原來4個節(jié)目形成的5個空中選2個空排列，共有5X4=20（種）添加

方法.

9.寫出下列問題的所有排列：

⑴北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應(yīng)該有多少種機票？

（2）兩名老師和兩名學(xué)生合影留念，寫出老師不在左端且相鄰的所有可能的站

法，并回答共有多少種？

解（1）列出每一個起點和終點情況，如圖所示.

/廣州/南京/天津/北京

北京9南京廣州，天津南京北京天津9廣州

'天津'北京'廣州、南京

故符合題意的機票種類有：北京廣州，北京南京，北京天津，廣州南京，廣州

天津，廣州北京，南京天津，南京北京，南京廣州，天津北京，天津廣州，天

津南京，共12種.

（2）由于老師不站左端，故左端位置上只能安排學(xué)生.設(shè)兩名學(xué)生分別為A,

B,兩名老師分別為M,N,此問題可分兩類：

M—N——BM—N——A

//

A—N—M—BB—N—M—A

、B—M—N\—M—N

、N—M、N—M

由此可知，所有可能的站法為AMNB,ANMB,ABMN,ABNM,BMNA,BNMA,BAMN,

BANM,共8種.

10.用一顆骰子連擲三次，投擲出的數(shù)字順序排成一個三位數(shù)，此時：

（1）各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)有多少個？

（2）可以排出多少個不同的三位數(shù)？

解（1）三位數(shù)的每位上數(shù)字均為1,2,3,4,5,6之一.

第一步，得首位數(shù)字，有6種不同結(jié)果；

第二步，得十位數(shù)字，有5種不同結(jié)果；

第三步，得個位數(shù)字，有4種不同結(jié)果.

故可得各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)有6X5X4=120（個）.

（2）三位數(shù)，每位上數(shù)字均可從1,2,3,4,5,6六個數(shù)字中得一個，共有這樣的三

位數(shù)有6X6X6=216（個）.

g綜合運用

11.由1,2,3,4這四個數(shù)字組成的首位數(shù)字是1,且恰有三個相同數(shù)字的四位

數(shù)的個數(shù)為（）

A.9B.12C.15D.18

答案B

解析本題要求首位數(shù)字是1,且恰有三個相同的數(shù)字，用樹形圖表示為：

/一2—2,2-1—1

《3-3—31

、-4-4'4-1—1

1—1(3—；1—1-1^3

由此可知共有12個符合題意的四位數(shù).

12.將4張相同的博物館的參觀票分給5名同學(xué)，每名同學(xué)至多1張，并且票

必須分完，那么不同的分法的種數(shù)為()

A.5"B.45

C.5X4X3X2D.5

答案D

解析由于參觀票只有4張，而人數(shù)為5人，且每名同學(xué)至多1張，故一定有

1名同學(xué)沒有票.因此從5名同學(xué)中選出1名沒有票的同學(xué)，有5種選法.又

因為4張參觀票是相同的，不加以區(qū)分，所以不同的分法有5種.

13.三人踢催子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經(jīng)過4次傳

遞后，鍵子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有()

A.4種B.5種C.6種D.12種

答案C

解析若甲先傳給乙，則有甲一乙一甲一乙一甲，甲一乙一甲一丙一甲，甲一

乙一丙一乙一甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故

共有6種不同的傳法.

14.現(xiàn)從8名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)分別參加全校“資源”、“生態(tài)”和

“環(huán)保”三個夏令營活動，則不同的選派方案的種數(shù)是.

答案336

解析從8名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)排列的種數(shù)為8X7X6=336,故共有

336種不同的選派方案.

g拓廣探究

15.用0,1,2,3,…，9十個數(shù)字可組成不同的：

(1)三位數(shù)個；

(2)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個；

⑶小于500且無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)個.

答案（1）900（2）648（3）144

解析（1）由于0不能在百位，所以百位上的數(shù)字有9種選法，十位與個位上的

數(shù)字均有10種選法，所以不同的三位數(shù)共有9X10X10=900（個）.

（2）百位上的數(shù)字有9種選法，十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選

法，個位上的數(shù)字應(yīng)從剩余8個數(shù)字中選取，所以共有9X9X8=648（個）無重

復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

（3）小于500的無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)，應(yīng)滿足的條件是：首位只能從1,2,3,4

中選，個位必須為奇數(shù)，按首位分兩類：

第一類，首位為1或3時，個位有4種選法，十位有8種選法，所以共有

4X8X2=64（種）；

第二類，首位為2或4時，個位有5種選法，十位有8種選法，所以共有

5X8X2=80（種）.

由分類加法計數(shù)原理知，共有64+80=144（種）.

16.某藥品研究所研制了5種消炎藥a”a2,a;!,a,,as,4種退熱藥b“b2,b:!,

bo現(xiàn)從中取兩種消炎藥和一種退熱藥同時進行療效試驗，但&兩種藥或

同時用或同時不用，a3,匕兩種藥不能同時使用，試寫出所有不同試驗方法.

為，02

同時用同時不用

（4種）

a：，用G不用

（2x3種）（1x4#）

解如圖，由樹形圖可寫出所有不同試驗方法如下：aiab,a&2b2,ag2b：”

a】a2b4,a3a1bi，a334b2,a3a4b3,a3a5b”a3a5b2，a3a5b3,aasb”3435b2,a4a5b3,

a4ab，共14種.

§6.2排列與排列數(shù)

第二課時排列數(shù)

【學(xué)習(xí)目標】

1.能用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式.2.能用排列數(shù)公式解決簡單的實際問題.

【知識梳理】

知識點一排列數(shù)的定義

從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從n個不

同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號A：表示.

思考排列與排列數(shù)相同嗎？

答案排列數(shù)是元素排列的個數(shù)，兩者顯然不同.

知識點二排列數(shù)公式及全排列

1.排列數(shù)公式的兩種形式

(1)A：=n(n—1)(n—2)…(n—m+1),其中m,nGN*,并且mWn.

2.全排列：把n個不同的元素全都取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排

列，全排列數(shù)為A：=n!(叫做n的階乘).規(guī)定：0!=1.

【自我檢測】

1.眉=.

答案6

2.虐=132,貝Un=.

答案12

3.Ag=20,則x=.

答案2

4.甲、乙、丙三人站成一排，共有一種不同站隊方式.(用排列數(shù)表示)

案展

答

Aik-

5.g-

答

5

案8-

【題型探究】

一、排列數(shù)公式的應(yīng)用

命題角度1利用排列數(shù)公式求值

例1—1計算：鼠和A：.

解A?s=15X14X13=2730,

A；=6X5X4X3X2X1=720.

命題角度2利用排列數(shù)公式化簡

例1—2(1)用排列數(shù)表示(55—n)(56—n)…列9—n)(n@N*且n<55)；

(2)化簡:n(n+l)(n+2)(n+3),,,(n+m).

解(1),.,55—n,56—n,…，69—n中的最大數(shù)為69—n,且共有(69—n)—(55

—n)+1=15(個)數(shù)，

(55—n)(56—n),,,(69—n)=A；；-n.

(2)由排列數(shù)公式可知n(n+l)(n+2)(n+3)…(n+m)=A：：：.

命題角度3利用排列數(shù)公式證明

例1—3求證：AM—A；=mA『.

證明VA：-A：=-一---

+lnI+”1—［m！!?n—m!r

n!n+1n!m

n—mn+1-mn-mn+1-m

n!

=m-=niA'，

n+l-mn

A"+i—A：=mA：

反思感悟排列數(shù)公式的選擇

(1)排列數(shù)公式的乘積形式適用于計算排列數(shù).

(2)排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問

題，具體應(yīng)用時注意階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡化計算.

跟蹤訓(xùn)練1不等式AK6AT?的解集為()

A.[2,8]B.[2,6]C.(7,12)D.{8}

答案D

??

解析由AK6A-2,得一^-<6X—

8—x!r1

化簡得X2—19X+84<0,解得7<X<12,①

xW8,

又所以2WxW8,②

x—220,

由①②及xWN*,得x=8.

二、排隊問題

命題角度1“相鄰”與“不相鄰”問題

例2—13名男生，4名女生，這7個人站成一排在下列情況下，各有多少種

不同的站法？

（1）男、女各站在一起；

⑵男生必須排在一起；

（3）男生不能排在一起；

（4）男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.

解（1）（相鄰問題捆綁法）男生必須站在一起，即把3名男生進行全排列，有A；

種排法，

女生必須站一起，即把4名女生進行全排列，有A；種排法，

全體男生、女生各看作一個元素全排列有虐種排法，

由分步乘法計數(shù)原理知，共有A：-AbA；=288（種）排法.

（2）（捆綁法）把所有男生看作一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，

故有A”2=720（種）不同的排法.

（3）（不相鄰問題插空法）先排女生有A；種排法，把3名男生安排在4名女生隔成

的五個空中,有相種排法,故有個-2=1440（種）不同的排法.

⑷先排男生有A；種排法，讓女生插空，有A；A；=144（種）不同的排法.

命題角度2定序問題

例2—27人站成一排.

（1）甲必須在乙的前面（不一定相鄰），則有多少種不同的排列方法？

（2）甲、乙、丙三人自左向右的順序不變（不一定相鄰），則有多少不同的排列方

法？

解（1）甲在乙前面的排法種數(shù)占全體排列種數(shù)的一半，故有當(dāng)=2520（種）不

同的排法.

（2）甲、乙、丙自左向右的順序保持不變，即甲、乙、丙自左向右順序的排法種

數(shù)占全排列種數(shù)的

故有他=840（種）不同的排法.

八3

命題角度3元素的“在”與“不在”問題

例2—3從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求

解下列問題.

⑴甲不在首位的排法有多少種？

（2）甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？

（3）甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？

（4）甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？

解（1）方法一把元素作為研究對象.

第一類，不含甲，此時只需從甲以外的其他6名同學(xué)中選出5名放在5個位置

上，有鰭種排法.

第二類，含有甲，甲不在首位，先從4個位置中選出1個放甲，再從甲以外的

6名同學(xué)中選出4名排在沒有甲的位置上，有A：種排法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原

理，有4XA；種排法.

由分類加法計數(shù)原理知，共有就+4XA：=2160（種）排法.

方法二把位置作為研究對象.

第一步，從甲以外的6名同學(xué)中選1名排在首位，有A；種方法；

第二步，從占據(jù)首位以外的6名同學(xué)中選4名排在除首位以外的其他4個位置

上，有A：種方法.

由分步乘法計數(shù)原理知，共有思?能=2160（種）排法.

方法三（間接法）先不考慮限制條件，從7人中選出5人進行排列，然后把不

滿足條件的排列去掉.

不考慮甲在首位的要求，總的可能情況有A；種，甲在首位的情況有A：種，所以

符合要求的排法有第一廉=2160（種）.

（2）把位置作為研究對象，先考慮特殊位置.

第一步，從甲以外的6名同學(xué)中選2名排在首末2個位置上，有底種方法；

第二步，從剩下的5名同學(xué)中選3名排在中間3個位置上，有償種方法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有解?用=1800（種）方法.

⑶把位置作為研究對象.

第一步，從甲、乙以外的5名同學(xué)中選2名排在首末2個位置，有6種方法；

第二步，從剩下的5名同學(xué)中選出3名排在中間3個位置上，有點種方法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有依?屈=1200（種）方法.

⑷間接法.

總的可能情況有A：種，減去甲在首位的A；種排法，再減去乙在末位的用種排

法，注意到甲在首位，同時乙在末位的排法數(shù)被減去了兩次，所以還需補回一

次屋種排法，所以共有國-2A,!+A[=1860(種)排法.

反思感悟排隊問題的解題策略

排隊問題除涉及特殊元素、特殊位置外，還往往涉及相鄰、不相鄰、定序等問

題.

(1)對于相鄰問題，可采用“捆綁法”解決.即將相鄰的元素視為一個整體進行

排列.

(2)對于不相鄰問題，可采用“插空法”解決.即先排其余的元素，再將不相鄰的

元素插入空中.

(3)對于定序問題，可采用“除階乘法”解決.即用不限制的排列數(shù)除以順序一

定元素的全排列數(shù).

(4)對于“在”與“不在”問題，可采用“特殊元素優(yōu)先考慮，特殊位置優(yōu)先安

排”的原則解決.

跟蹤訓(xùn)練2三個女生和五個男生排成一排.

(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？

(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？

(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？

(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？

解(1)(捆綁法)因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整

體，這樣同五個男生合在一起共有六個元素，排成一排有點種不同的排法，對

于其中的每一種排法，三個女生之間又有A：種不同的排法.因此共有點?用=4

320(種)不同的排法.

(2)(插空法)要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間

留出一個空位，這樣共有四個空位，加上兩邊男生外側(cè)的兩個位置，共有六個

位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女

生，就能保證任意兩個女生都不相鄰，由于五個男生排成一排有虐種不同排

法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個讓三個女生插入都有

A；種排法，因此共有川?用=14400(種)不同的排法.

(3)方法一(位置分析法)因為兩端都不能排女生，所以兩端只能挑選五個男生

中的兩個，有抬種不同的排法，對于其中的任意一種不同的排法，其余六個位

置都有片種不同的排法，所以共有盾?廉=14400（種）不同的排法.

方法二（間接法）三個女生和五個男生排成一排共有A；種不同的排法，從中扣

除女生排在首位的A1?A；種排法和女生排在末位的A；?A；種排法，但兩端都是女

生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在末位的情

況時又被扣去一次，所以還需加回來一次，由于兩端都是女生有解?就種不同

的排法，所以共有A：—2A；?A；+A；?熄=14400（種）不同的排法.

方法三（元素分析法）從中間六個位置挑選三個讓三個女生排入，有屋種不同

的排法，對于其中的任意一種排法，其余五個位置又都有點種不同的排法，所

以共有解?1=14400（種）不同的排法.

（4）方法一（位置分析法）因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男

生，那么末位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；如果首位

排女生，有A：種排法，那么末位就只能排男生，這樣可有種不同的排

法，因此共有AhA；+A；?A；?A；=36000（種）不同的排法.

方法二（間接法）三個女生和五個男生排成一排共有A；種不同的排法，從中扣

除兩端都是女生的排法依?A；種，就得到兩端不都是女生的排法種數(shù).因此共

有A；-A；?就=36000（種）不同的排法.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.解等于（）

A.9X3B.93

C.9X8X7D.9X8X7X6X5X4X3

答案C

2.89X90X91X92X…X100可表示為（）

A.A僚B.A；ioC.A京D.A*

答案C

1X2X-X100100!

解析89X90X91X92義…義妙=[x2X…X88=麗廠=人狀12

3.3位老師和3名學(xué)生站成一排，要求任何學(xué)生都不相鄰，則不同的排法種數(shù)

為（）

A.144B.72C.36D.12

答案A

解析先將老師排好，有屋種排法，形成4個空，將3名學(xué)生插入4個空中,

有A：種排法，故共有A濾=144(種)排法.

4.

答案36

A；—A；7義6解一6內(nèi).a

解析-7i—----7i----=36

5.用1,2,3,4,5,6,7組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，若1,3,5,7的順序一定，則

有個七位數(shù)符合條件.

答案210

解析若1,3,5,7的順序不定，則4個數(shù)字有A；=24(種)排法，故1,3,5,7的

順序一定的排法只占全排列種數(shù)的士.故有±XA；=210(個)七位數(shù)符合條件.

【課堂小結(jié)】

1.知識清單：

⑴排列數(shù)、排列數(shù)公式.

(2)全排列、階乘、0!=1.

⑶排列數(shù)的應(yīng)用：排隊問題(相鄰、不相鄰、定序等問題).

2.方法歸納：直接法、優(yōu)先法、捆綁法、插空法、除階乘法、間接法.

3.常見誤區(qū)：忽視A：中“n,mWN*”這個條件.

【同步練習(xí)】

g基礎(chǔ)鞏固

1.設(shè)m￡N*,且水15,則服,等于()

A.(20—m)(21—m)(22—m)(23—m)(24—m)(25—m)

B.(20—m)(19—m)(18—m)(17—m)(16—m)

C.(20-m)(19—m)(18—m)(17—m)(16—m)(15—m)

D.(19—m)(18—m)(17—m)(16—m)(15—m)

答案C

解析是指從20-m開始依次小1的連續(xù)的6個數(shù)相乘，即(20—m)(19—

m)(18—m)(17—m)(16—m),(15—m).

2.已知A3—A：=io,則n的值為()

A.4B.5C.6D.7

答案B

解析由A、1一A：=10,得(n+l)n—n(n—1)=10，解得n=5.

3.有4名司機，4名售票員要分配到4輛汽車上，使每輛汽車上有一名司機和

一名售票員，則可能的分配方法有()

A.A；種B.解種

C.A：A；種D.2A；種

答案C

解析司機、售票員各有A；種分配方法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有A；A：種

不同的分配方法.

4.要從a,b,c,d,e5個人中選出1名組長和1名副組長，但a不能當(dāng)副組

長，則不同的選法種數(shù)是()

A.20B.16C.10D.6

答案B

解析不考慮限制條件有用種選法，若a當(dāng)副組長，有A：種選法，故a不當(dāng)副

組長，有麒一2=16(種)選法.

5.一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為

()

A.3X3!B.3X(3!)3C.(3!)4D.9!

答案C

解析利用“捆綁法”求解，滿足題意的坐法種數(shù)為AM(A》3=(3!)'.故選C.

6.某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么

全班共寫了條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答)

答案1560

解析根據(jù)題意，得鼠=1560,故全班共寫了1560條畢業(yè)留言.

7.高三(一)班學(xué)生要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝

節(jié)目的演出順序，要求2個舞蹈節(jié)目不連排，則共有種不同的排法.

答案3600

解析不同排法的種數(shù)為A氏=3600.

8.從班委會的5名成員中選出3名分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委

員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有種.（用數(shù)

字作答）

答案36

解析文娛委員有3種選法，則安排學(xué)習(xí)委員、體育委員有用=12（種）方法，

由分步乘法計數(shù)原理知，共有3X12=36（種）選法.

9.某次文藝晚會上共演出8個節(jié)目，其中2個唱歌節(jié)目、3個舞蹈節(jié)目、3個

曲藝節(jié)目，求分別滿足下列條件的節(jié)目編排方法有多少種？

（1）一個唱歌節(jié)目開頭，另一個放在最后壓臺；

（2）2個唱歌節(jié)目互不相鄰；

⑶2個唱歌節(jié)目相鄰且3個舞蹈節(jié)目不相鄰.

解（1）先排唱歌節(jié)目有A；種排法，再排其他節(jié)目有解種排法，所以共有AQA；

=1440（種）排法.

⑵先排3個舞蹈節(jié)目和3個曲藝節(jié)目，有解種排法，再從其中7個空（包括兩

端）中選2個排唱歌節(jié)目，有此種插入方法，所以共有山?用=30240（種）排

法.

（3）把2個相鄰的唱歌節(jié)目看作一個元素，與3個曲藝節(jié)目排列，共有A：種排

法，再將3個舞蹈節(jié)目插入，共有虐種插入方法，最后將2個唱歌節(jié)目互換位

置，有用種排法，故所求排法共有A；?AM片=2880（種）排法.

10.用0,1,2,3,4五個數(shù)字：

（1）可組成多少個五位數(shù)？

（2）可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？

（3）可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)？

（4）可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)？

解（1）各個數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，故由分步乘法計數(shù)原理知，共有

4X5X5X5X5=2500（個）符合要求的數(shù).

（2）方法一先排萬位，從1,2,3,4中任取一個有A：種方法，其余四個位置四個

數(shù)字共有A；種方法，故共有A：?A；=96（個）符合要求的數(shù).

方法二先排0,從個、十、百、千位中任選一個位置將0填入，有A；種方

法，其余四個數(shù)字全排有A；種方法，故共有A；?A：=96（個）符合要求的數(shù).

（3）構(gòu)成3的倍數(shù)的三位數(shù)，各個位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，按取0和不取0分

類：

①取0,從1和4中取一個數(shù)，再取2進行排列，先填百位有A；種方法，再填

其余位有虐種方法，故有2XA；?屐種方法.

②不取0,則只能取3,從1或4中再任取一個，再取2,然后進行全排，有

2XA：種方法，

所以共有2XA；?甫+2義用=8+12=20（個）符合要求的數(shù).

（4）考慮特殊位置個位和萬位，先填個位，從1,3中選一個填入個位，有A；種方

法，然后從剩余3個非0數(shù)中選一個填入萬位，有A；種方法，包含0在內(nèi)還有

3個數(shù)在中間三位置上全排列，排列數(shù)為A；,

故共有A；?A；?用=36（個）符合要求的數(shù).

g綜合運用

11.（多選）下列各式中與排列數(shù)A：相等的是（）

B.n(n—1)(n-2)???(n-m)

nA"

D.