§9-7

離散傅里葉變換的應用運用DFT方法，往往伴隨FFT算法的實施，所謂的應用幾乎成為FFT應用的同意語。（一）快速卷積若長度為N1的序列x(n)與長度為N2的序列h(n)作線卷積，得到：y(n)為長度為N1+N2–1的有限長序列，要做N1*N2次乘法運算，當N1=N2=N，要做N2次乘法。1weixzh@直接卷積與快速卷積如果把求線卷積改為求圓卷積，兩序列分別補零加長為為N1+N2–1，則有可能減少運算次數。x(n)y(n)卷積FFTFFT序列相乘IFFTx(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H(k)y(n)1weixzh@在快速卷積過程中，共需要2次FFT，1次IFFT，相當于3次FFT運算量，在一般數字濾波中，由h(n)求H(k)是事先計算完成放在存儲器中，故只需2次FFT的運算量，若假設N1=N2=N，則補零后：故需要此外X(k)與H(k)兩序列相乘，還需要2N次復乘，全部復數乘法次數為：次復數乘法運算隨著N的增大，該運算量比N2顯著減少。1weixzh@以上分析是針對兩序列長度相近或相等的情況，如果一個序列很短，而另一序列很長，則需要補很多零，圓卷方案甚至增加運算量，可采用分段卷積的方法，其基本原理是將x(n)分成若干小段，每小段長度與h(n)接近，將x(n)的各小段與h(n)卷積，最后取和，仍可發揮快速卷積的優越性。1weixzh@重疊相加法假定h(n),x(n)均為因果序列。h(n)的長度為N，如圖ax(n)長度是現將等分為若干小段，每段長M,如圖bNh(n)圖a圖bMMMN1X(n)1weixzh@以表示x（n）序列的第i小段（i為正整數，），為完成各與h（n）之圓卷積，應將長度補足至N+M-1，在圖c中已用虛線示意補零。N+M-1N+M-1N+M-1N+M-1圖c1weixzh@輸入序列可表示為其中相應地，輸出序列也可分解為1weixzh@利用卷積分配律可得由于的長度為N+M-1，而的有效長度只有M，故相鄰兩段的必有N-1長度的重疊。見圖dN+M-1重疊N+M-1重疊圖d重疊N+M-11weixzh@按照上述原理，此方法的運算過程可分為兩部分：首先求每個與h(n)的圓卷積，樣點數為N+M-1，共需P次，求各，其原理仍按圖b；然后將取和（實際上是重疊部分的相加），即得圖ey(n)N+N1-11weixzh@有時，N1可能很長，以致趨于無限大，例如語音信號、地震波動信號、宇宙通信中產生的某些信號等，如果不采用分段卷積的方法將遲遲不能給出結果，而且，無法找到那樣大的存儲設備來滿足N1的需要。因此，即使在分段措施改善速度不顯著的情況下，仍有可能采用這種方法。借助FFT不僅可完成快速卷積運算，也可利用它進行解卷積運算，具體計算公式可仿照z變換解卷積方法求得。1weixzh@（二）快速相關相關和自相關也可借助FFT完成。x(n)y(n)相關FFTFFT序列相乘IFFTx(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H*(k)y(n)h(n)共軛H*(k)1weixzh@相關運算常見于雷達和聲納系統中，應用該運算確定信號的時間延遲。當x(n)與h(n)是同一信號，y(n)是自相關函數，而Y(k)是x(n)的功率譜。1weixzh@（三）利用DFT對連續時間信號的逼近其中,T為抽樣間隔。或者一.用DFT計算連續時間信號的傅氏變換可能造成的誤差1.混疊現象為避免混疊,由抽樣定理可知，須滿足其中fs為抽樣頻率;fh為信號的最高頻率分量對于時間有限信號，其傅立葉變換不可能是有限帶寬，抽樣后必然帶來混疊(aliasing)，減小抽樣間隔可減弱混疊，但總不可避免。1weixzh@若信號頻譜有限，則時間函數必然是無限的。在實際應用中，為利用FFT對信號進行分析，必須把時間截取一定范圍，也就是說，在時域對信號進行截斷操作，或稱作加時間窗，亦即用時間窗函數乘以信號，由卷積定理可知，時域相乘，頻域為卷積，時間加窗使頻譜產生失真，它從原有的頻率受限圖中擴散出來，這就造成拖尾現象，稱之為頻譜泄漏（leakage）。2.頻譜泄漏1weixzh@0n0nn1weixzh@3.柵欄效應用DFT計算頻譜時，只是知道為頻率的整數倍處的頻譜。在兩個譜線之間的情況就不知道,這相當通過一個柵欄觀察景象一樣，故稱作柵欄效應。補零點加大周期，可使F變小來提高分辨力，以減少柵欄效應。1weixzh@[例]有一頻譜分析用的FFT處理器，其抽樣點數必須是2的整數冪。假定沒有采用任何特殊的數據處理措施，已知條件為（1）頻率分辨率為，（2）信號的最高頻率，試確定以下參量：（1）最小記錄長度;(2)抽樣點間的最大時間間隔T;(3)在一個記錄中的最小點數N。解：（a）最小記錄長度（b）最大的抽樣時間間隔T(c)最小記錄點數N1weixzh@2.連續時間周期信號傅氏級數變換對二.DFT與連續信號傅氏變換相對數值的確定1.連續時間非周期信號傅氏變換對1weixzh@3.DFT變換時:1weixzh@4.用DFT計算非周期信號的傅氏變換幅度電平未受到影響。用DFT計算所得的頻譜分量乘以T，就等于頻譜的正常幅度電平；用IDFT計算非周期信號的傅氏反變換，再乘以fs就得到所需信號的正常幅度電平。所以,從時間到頻率,再從頻率到時間，整個過程總共乘了1weixzh@設用DFT計算所得的頻譜分量乘以T的理由：1weixzh@1weixzh@