《角的概念的推廣》的教學設計

一、課程標準中的相關內容：

1.了解角的概念。

2.掌握正角、負角和零角的概念，理解任意角的意義。

3.熟練掌握象限角、軸線角、終邊相同的角的概念，會用集合符

號表示這些角。

二、教材分析

任意角是高中教材人教版必修4第一章第一節的內容，因為三

角函數是以實數為自變量的函數,所以本節課在學生學習了銳角，直

角，平角，周角等不大于周角的非負角的基礎上,通過實例推廣三角函

數自變量一一角的概念，引進任意角的概念，是對集合與函數的知識

的又一滲透，也為以后研究任意角三角函數奠定基礎.根據上述教材

結構與內容分析,立足學生的認知水平，制定如下教學目標和重難

點.

教學目標

知識與技能

1.認識角擴充的必要性，了解任意角的概念，與過去學習過的一

些容易混淆的概念相區分。

2.能用集合和數學符號表示終邊相同的角，體會終邊相同角的周

期性。

3.能用集合和數學符號表示終邊滿足一定條件的角。

過程與方法

1.通過角的概念的擴充，讓學生體會動態與靜態數學觀的差異,

進一步理解旋轉變換的作用。

2.通過終邊相同角的表示方法及其推廣讓學生體會在數學學科

中，將概念形式化、數量化的過程與方法，借此進一步體會數形結合

的思想、方法，這是本節課的重點內容。

情感、態度和價值觀

通過掌握終邊相同角的表示方法，讓學生體會數學的抽象化、形

式化等學科特點。

四、重點與難點：

重點：形成任意角（正角、負角、零角）、終邊相同的角、象限

角的概念，掌握終邊相同的角的表示方法和判定方法。

難點：終邊相同的角的概念、及其符號表示、集合表示。

五、學情分析：

學生初中已經學過角的概念和角的分類，并經過高中一個學期的

學習，已經基本適應高中數學的節奏，掌握了一定的數學學習方法,

了解了數學的一些基本思想，在此基礎上我們進行此章節的學習，主

要通過調動學生積極性，自主完成本節課的知識點，組織數學語言及

表達，從而提高學生的邏輯思維能力和數學語言表達能力。

六、教學理念

在整個教學過程中始終堅持學生為主，通過學生的觀察和探究得

到數學知識，通過體操運動員的體操表演以及動畫演示花樣滑冰讓學

生意識到數學來源于生活，感覺到數學就在我們身邊。

七、教學策略

多媒體教學法，借助于其他的教學工具，通過自主探究、合作探

究等方式進行教學。

八、教學環境：多媒體教室

九、教學過程

1、復習回顧：

通過復習回顧初中角的定義，以及角的分類。讓學生認識到高中

數學和初中數學是緊密相連的，高中角的概念的推廣是有根之木，有

源之水，起到溫故知新的作用。

2、情境引入，激發學生學習興趣，形成概念八

(1)利用多媒體播放體操運動員的體操表演，讓學生直觀感知

生活中很多角是超過360度的，激發學生的學習興趣。之后，設置學

生活動：請舉出生活中超過360度的角的例子，學生踴躍發言，舉出

很多例子，(旋轉的鐘表，轉動的風車，行駛中的汽車輪胎等)學生

的興趣被調動起來，老師及時提出問題,怎么用數學語言推廣角的概

念呢？讓我們先看一個動畫演示：

(2)多媒體演示：滑雪運動員的正轉和反轉。

【動畫使學生感受到角不但可能超過360度，而且旋轉的方向

可能相反。學生分小組討論，并結合初中角的定義，由小組代表回答

怎樣定義角的概念，不完善的地方由老師補充?！?/p>

學生歸納，形成角的概念：角可以看成平面內一條射線繞著端點

從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.

3.通過類比，建立新概念

教師引導學生通過類比正數、負數和零，定義角的正角、負角和

零角的概念.

正角：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；

負角：按順時針方向旋轉形成的角叫做負角；

零角：如果一條射線沒有做任何旋轉，我們稱它為零角.

4.學生動手操作，感知象限角的來歷

師（提出問題）：我們知道角本身是一個平面圖形，因此，在角的

概念得到推廣以后,我們將角放入平面直角坐標系，如果把角放在直

角坐標系中，那么怎樣放比較方便、合理？

（先讓學生以同一條射線為始邊作出下列角：210°,-150°,

-660°,學生畫圖探究，討論、交流，不難給出合理的放法.）

教師在總結分析合理放法的基礎上，給出象限角的概念，并說明

在同一坐標系下討論角的好處.

給出象限角的概念

象限角：讓角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與橫軸的正半軸

重合，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。

非象限角（也稱軸線角）：如角的終邊在坐標軸上，就認為這個

角不屬于任何象限。

5.活動設計

同桌說出角度，另一個判斷該角是第幾象限角

（設計意圖）通過小組活動，具體例子使學生直接感受象限角的

概念.

6、小組交流合作，探究終邊相同角的表示

學生探究：將角按照上述的方法放在直角坐標系中后，給定一個

角，就有唯一的一條終邊與之對應.反之，對于直角坐標系內任意一

條射線0B,以它為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么終邊相同

的角有什么關系？

（1）在直角坐標系內標出30°,390°,-330°角的終邊，你

有什么發現？它們有怎樣的數量關系？

（學生思考每組角的數量關系，教師引導學生用含有其中一個角

的關系式表示另外的角）

（2）直角坐標系內，角a對應了唯一一條射線（終邊），那么

是否存在與a角終邊相同的角？如果存在，如何表示？

（讓學生發現“終邊相同”的角的關系，并利用集合表示出來）.

終邊相同的角：所有與角。終邊相同的角，連同角a在內，可

構成一個集合.S={/3\/3=a+k-36O,keZ]

設計意圖：從具體問題入手，了解終邊相同的角的關系.

從具體到一般，認識終邊相同的角的關系及其表示.由幾何位置

“終邊相同”探討其代數特征的“統一二

7、當堂檢測、加強知識應用

判斷下列命題是否正確

①銳角一定是第一象限的角。（

②第一象限的角一定是銳角。（）

③相等的角，終邊一定相同（）

④終邊相同的角一定相等。（）

1.寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中在一360。-

720。間的角寫出來:（1）60°；（2）-21°；

2.寫出終邊在右邊直線上的角的集合

變式.寫出終邊在下列直線上的角的集合.

3.如圖，寫出終邊落在陰影部分的角的集合

4.如圖，寫出終邊落在陰影部分的角的集合

8、課堂小結

1、通過本節課的學習，你知道如何定義推廣后的角的概念嗎？

2、通過本節課的學習，你知道如何定義象限角嗎？

3、通過本節課的學習，你知道怎么表示終邊與角a終邊相同的

角嗎？

4、通過本節課的學習，你知道表示區域角的步驟嗎？

十、學習評價

學生在視頻和動畫演示中認知初中所學角的定義的變化，激發學

習興趣，并從運動的角度得到了推廣的的角的概念；在小組合作交流

中得到終邊相同的角的表示方法，學生的學習積極性和主動性有很大

的提高。

十一、板書設計

「正角：按逆時針方向旋轉形成的角

1.任意角力負角：按順時針方向旋轉形成的角

L零角：射線不作旋轉時形成的角

2.象限角

3.終邊相同角構成的集合：S={07?=a+H36O。入Z}

4.區域角的表示方法

十二、教學反思

本節課采用”問題立教，問題導學”的教學模式。

教師是學生學習的組織者、促進者、合作者；在本節的備課和教

學過程中，我為學生的動手實踐、自主探索與合作交流提供機會，搭

建平臺，鼓勵學生提出自己的見解，學會提出問題，尊重學生的個人

感受和獨特見解。通過觀察-猜想-論證-運用，培養學生分析問題解

決問題的能力；通過集體討論、小組活動，以合作學習促自主探究。

培養學生總結歸納的一些解題方法.

總體上講通過本節課的學習，學生能推廣得出角的概念，類比推

廣能力得到提升；通過寫區域角進一步體會到數學的嚴謹。存在的問

題是部分學生在表示區域角時不注意邊界線的虛實，不夠嚴謹，需加

強練習。學生在理解終邊相同的角的表示方法上，會出現障礙，其原

因是：剛剛將角的概念推廣，還不是很適應終邊相同的角的“周而復

始”這個現象的本質；

《角的概念的推廣》的學情分析

學生初中已經學過角的概念和角的分類，并經過高中一個學期的

學習，已經基本適應高中數學的節奏，掌握了一定的數學學習方法，

了解了數學的一些基本思想，在此基礎上我們進行此章節的學習，主

要通過調動學生積極性，自主學習本節課的知識點，組織數學語言及

表達，從而提高學生的邏輯思維能力和數學語言表達能力。

《角的概念的推廣》的效果分析

回顧環節，學生能回憶起初中所學的角的定義和分類，認識到本節課的內容

是在前面學習的基礎之上進行的，是有根之木，有源之水。

情境引入環節用多媒體課件播放體操運動員體操表演，讓學生直觀感知角的

范圍。之后，設置學生活動：請舉出生活中范圍超過360度的角的例子。學生舉

出很多例子。學生的興趣被調動起來，激發了學生的學習興趣，學生熱情高漲,

為授課做好了準備；通過播放滑雪運動員的動畫，學生初步形成推廣的角的概念,

進而通過老師的引導使推廣的角的概念理論化。

通過合作探究，學生發現：度數不相等的角的終邊也可以重合。這種通過學

生自己探究得出的定理，學生印象深刻，對學生探究能力和概括能力的提升很有

幫助。

當堂檢測環節，教師引導學生分析思路，老師適時點撥，規范解題步驟。并

采取學生互相批改的方法，讓學生意識到自己的不足，有助于學生進一步理順解

題思路，歸納總結出解決一類題目的方法。

通過學生總結并發言，互相補充，教師點評，學生認真反思，大膽質疑。是

學生創新意識萌發的好階段。

總的來說，這節課通過視頻引入和動畫展示，激發了學生的學習熱情；再通

過合作探究鍛煉了學生的合作能力和探究意識；最后通過例題的拓展鍛煉了學生

的能力，達到了預期的教學效果。

《角的概念的推廣》的教材分析

1、地位和作用：

任意角是高中教材人教版必修4第一章第一節的內容，因為三角函數是以實數為自變量

的函數，所以本節課在學生學習了銳角，直角，平角，周角等不大于周角的非負角的基礎上，通過

實例推廣三角函數自變量一一角的概念,引進任意角的概念，是對集合與函數的知識的又一

滲透，也為以后研究任意角三角函數奠定基礎.根據上述教材結構與內容分析,立足學生的認

知水平，制定如下教學目標和重難點.

2、教學目標：

知識與技能

(1)認識角擴充的必要性，了解任意角的概念，與過去學習過的一些容易混淆的概念

相區分。

(2)能用集合和數學符號表示終邊相同的角，體會終邊相同角的周期性。

（3）能用集合和數學符號表示終邊滿足一定條件的角。

過程與方法

（1）通過角的概念的擴充，讓學生體會動態與靜態數學觀的差異，進一步理解旋轉變

換的作用。

（2）通過終邊相同角的表示方法及其推廣讓學生體會在數學學科中，將概念形式化、

數量化的過程與方法，借此進一步體會數形結合的思想、方法，這是本節課的重點內容。

情感、態度和價值觀

通過終邊相同角的表示方法，讓學生體會數學的抽象化、形式化等特點。

3、重點與難點：

重點：形成任意角（正角、負角、零角）、終邊相同的角、象限角的概念，掌

握終邊相同的角的表示方法和判定方法。

難點：終邊相同的角的概念、其符號表示、集合表示。

《角的概念的推廣》的評測練習

一、推廣的角的概念，正角，負角，象限角的概念的鞏固

判斷下列命題是否正確

①銳角一定是第一象限的角。（）

②第一象限的角一定是銳角。（）

③相等的角，終邊一定相同（）

④終邊相同的角一定相等。（）

設計意圖：基本概念的理解和應用。

二、旋轉量求和和終邊相同角的應用

1.寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中在一360。一

720。間的角寫出來：（1）60。；（2）-21°；

2.寫出終邊在下列直線上的角的集合

變式.寫出終邊在下列直線上的