2024年人教版暑假小升初數學銜接精編講義專題05《有理數的乘方》知識互聯網知識互聯網學習目標學習目標1．理解有理數乘方的定義；2.掌握有理數乘方運算的符號法則，并能熟練進行乘方運算；3.進一步掌握有理數的混合運算.4.會用科學記數法表示大數.知識要點知識要點知識點1：有理數的乘方定義：求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪(power)．即有：.在中，叫做底數，n叫做指數．要點分析：（1）乘方與冪不同，乘方是幾個相同因數的乘法運算，冪是乘方運算的結果．（2）底數一定是相同的因數，當底數不是單純的一個數時，要用括號括起來．（3）一個數可以看作這個數本身的一次方．例如，5就是51，指數1通常省略不寫．知識點2：乘方運算的符號法則（1）正數的任何次冪都是正數；（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；（3）0的任何正整數次冪都是0；（4）任何一個數的偶次冪都是非負數，如≥0．要點分析：(1)有理數的乘方運算與有理數的加減乘除運算一樣，首先應確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值．(2)任何數的偶次冪都是非負數．知識點3：有理數的混合運算有理數混合運算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運算，從左到右進行；(3)如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．要點分析：(1)有理數運算分三級，并且從高級到低級進行運算，加減法是第一級運算，乘除法是第二級運算，乘方和開方(以后學習)是第三級運算；（2）在含有多重括號的混合運算中，有時根據式子特點也可按大括號、中括號、小括號的順序進行．(3)在運算過程中注意運算律的運用．知識點4：科學記數法把一個大于10的數表示成的形式（其中是整數數位只有一位的數，l≤||<10，是正整數），這種記數法叫做科學記數法，如＝.要點分析：（1）負數也可以用科學記數法表示，“”照寫，其它與正數一樣，如=；（2）把一個數寫成形式時，若這個數是大于10的數，則n比這個數的整數位數少1.題型1：有理數的乘方題型1：有理數的乘方【典型例題01】（2022?雨花區校級開學）下列各數：①，②0.1，③﹣|﹣2|，④（﹣3）2，⑤，是正有理數的是（填序號）．【思路引導】根據絕對值、有理數的乘方、相反數、有理數的定義解決此題．【完整解答】解：①是正分數，那么①是正有理數．②0.1是正的小數，那么②是正有理數．③根據絕對值的定義，﹣|﹣2|＝﹣2＜0，那么﹣|﹣2|是負數，那么③不是正有理數．④根據有理數的乘方，（﹣3）2＝9＞0，那么（﹣3）2是正有理數，那么④是正有理數．⑤根據無理數的定義，是無理數．綜上：正有理數有①②④．【考察注意點】本題主要考查絕對值、有理數的乘方、相反數、有理數，熟練掌握絕對值、有理數的乘方、相反數、有理數的定義是解決本題的關鍵．【典型例題02】（2022春?梁山縣期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，則x+y的值等于（）A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣1或﹣5 D．﹣1或5【思路引導】根據絕對值和有理數的乘方求出x，y的值，根據x＞y分兩種情況分別計算即可．【完整解答】解：∵|x|＝2，y2＝9，∴x＝±2，y＝±3，∵x＞y，∴當x＝2，y＝﹣3時，x+y＝﹣1；當x＝﹣2，y＝﹣3時，x+y＝﹣5；故選：C．【考察注意點】本題考查了有理數的乘方，絕對值，有理數的加法，考查分類討論的思想，根據x＞y分兩種情況分別計算是解題的關鍵．變式訓練變式訓練【變式訓練01】（2021秋?碑林區校級期末）下列說法正確的是（）A．整數和分數統稱為有理數 B．任何有理數都有倒數 C．一個數的絕對值一定為正數 D．立方等于本身的數是1和﹣1【變式訓練02】（2022春?諸城市期中）若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為logab（即logab＝n），如34＝81，則4叫做以3為底81的對數，記為log381（即log381＝4）．則log264的值為．【變式訓練03】（2022春?邗江區校級期中）閱讀材料：如果10b＝n，那么b為n的“勞格數”，記為b＝d（n）．由定義可知：10b＝n與b＝d（n）表示b、n兩個量之間的同一關系．如：102＝100，則d（100）＝2．理解運用：（1）根據“勞格數”的定義，填空：d（10﹣3）＝，d（1）＝；（2）“勞格數”有如下運算性質：若m、n為正數，則d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）；根據運算性質，填空：＝；（a為正數）（3）若d（2）＝0.3010，計算：d（4）、d（5）；（4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，請證明m＝n＝p．題型2題型2：非負數的性質：偶次方典例精講典例精講【典型例題03】（2021秋?淅川縣期中）如果|a+1|+（b﹣2）2＝0．（1）求a、b的值；（2）求（a+b）2020+a2021的值．【思路引導】（1）直接利用絕對值和偶次方的非負數的性質得出a，b的值；（2）直接把a，b的值代入求出答案．【完整解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣2）2＝0，|a+1|≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2；（2）（a+b）2020+a2021＝（﹣1+2）2020+（﹣1）2021＝0．【考察注意點】此題主要考查了非負數的性質，正確得出a，b的值是解題關鍵．【典型例題04】（2021秋?望城區期末）已知|2x﹣6|+（5+y）2＝0，則yx的值為（）A．15 B．﹣15 C．﹣125 D．125【思路引導】根據絕對值和偶次方的非負數的性質列式求出x、y的值，然后代入代數式進行計算即可得解．【完整解答】解：∵|2x﹣6|+（5+y）2＝0，而|2x﹣6|≥0，（5+y）2≥0，∴2x﹣6＝0，5+y＝0，解得x＝3，y＝﹣5，∴yx＝（﹣5）3＝﹣125．故選：C．【考察注意點】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．變式訓練變式訓練【變式訓練04】（2021秋?潼南區校級期末）已知：|a+1|+（2﹣b）2＝0，則ab的是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【變式訓練05】（2022春?華安縣校級月考）已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，則x＝，y＝．【變式訓練06】（2021秋?涼山州期末）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，則（b+a）2021＝．【變式訓練07】（2021秋?贛州期中）已知（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，求﹣2a+b的值．題型3題型3：科學記數法—表示較大的數典例精講典例精講【典型例題05】（2022?自貢）自貢市江姐故里紅色教育基地自去年底開放以來，截止到今年5月，共接待游客180000余人．人數180000用科學記數法表示為（）A．1.8×104 B．18×104 C．1.8×105 D．1.8×106【思路引導】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【完整解答】解：180000＝1.8×105，故選：C．【考察注意點】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【典型例題06】（2020秋?襄汾縣期中）已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝1010，10m×10n＝10m+n．（m，n均為正整數）（2）運用上述猜想計算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）；②（﹣6.4×103）×（2×106）．【思路引導】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥1時，n是非負數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【完整解答】解：（1）106×104＝1010，10m×10n＝10m+n；故答案為：1010；10m+n；（2）①（1.5×104）×（1.2×105）＝（1.5×1.2）×（104×105）＝1.8×109；②（﹣6.4×103）×（2×106）＝（﹣6.4×2）×（103×106）＝﹣12.8×109＝﹣1.28×1010．【考察注意點】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．變式訓練變式訓練【變式訓練08】（2021秋?鐵東區期末）記者從11月20日召開的2021世界制造業大會新能源汽車產業發展論壇上獲悉，到今年9月底我國汽車保有量達到了297000000輛，年底將超過3億輛．297000000這個數字用科學記數法可表示為（）A．29.7×107 B．0.297×109 C．2.97×108 D．297×106【變式訓練08】（2022?秦淮區二模）自2022年3月10日南京市發生外地來寧人員關聯本土疫情以來，截至3月27日11時，南京市累計開展核酸檢測超過59000000人次．用科學記數法表示59000000是【變式訓練09】（2021秋?曾都區期末）“垃圾分類，我在行動”．一粒小小的紐扣電池就可以污染60萬升水，相當于一個人一生的飲水量．用科學記數法表示數據60萬是．【變式訓練10】（2022春?南岸區校級月考）我國約有9600000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年從太陽得到的能量相當于燃燒150000噸煤所產生的能量．（1）一年內我國土地從太陽得到的能量相當于燃燒多少噸煤所產生的能量？（2）若1噸煤大約可以發出8000度電，那么（1）中的煤大約發出多少度電？（結果用科學記數法表示）題型4題型4：近似數和有效數字典例精講典例精講【典型例題05】（2022春?松江區校級期中）下列說法正確的是（）A．近似數4.20和近似數4.2的精確度一樣 B．近似數4.20和近似數4.2的有效數字相同 C．近似數3千萬和近似數3000萬的精確度一樣 D．近似數52.0和近似數5.2的精確度一樣【思路引導】根據近似數和有效數字的定義，可以判斷各個選項中的說法是否正確．【完整解答】解：近似數4.20和近似數4.2的精確度不一樣，近似數4.20精確到百分位，近似數4.2精確到十分位，故選項A錯誤，不符合題意；近似數4.20和近似數4.2的有效數字不相同，近似數4.20有三個有效數字，近似數4.2有兩個有效數字，故選項B錯誤，不符合題意；近似數3千萬和近似數3000萬的精確度不一樣，近似數3千萬精確到千萬位，近似數3000萬精確到萬位，故選項C錯誤，不符合題意；近似數52.0和近似數5.2的精確度一樣，故選項D正確，符合題意；故選：D．【考察注意點】本題考查近似數和有效數字，解答本題的關鍵是明確近似數和有效數字定義．【典型例題07】按括號里的要求，用四舍五入法對下列各數取近似數：①60290（保留兩個有效數字）；②0.03057（保留三個有效數字）；③2345000（精確到萬位）；④1.596（精確到0.01）．【思路引導】①先利用科學記數法表示，然后把百位上的數字2進行四舍五入即可；②根據有效數字的定義求解；③先利用科學記數法表示，然后把千位上的數字5進行四舍五入即可；④把千分位上的數字進行四舍五入即可．【完整解答】解：①60290（保留兩個有效數字）≈6.0×104；②0.03057（保留三個有效數字）≈0.0306；③2345000（精確到萬位）≈2.35×106；④1.596（精確到0.01）≈1.60．【考察注意點】本題考查了近似數和有效數字：“精確到第幾位”和“有幾個有效數字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現出誤差值絕對數的大小，而后者往往可以比較幾個近似數中哪個相對更精確一些．變式訓練變式訓練【變式訓練11】（2021秋?綏濱縣期末）按括號內的要求用四舍五入法取近似數，其中正確的是（）A．103.57≈103.6（精確到個位） B．2.708≈2.71（精確到十分位） C．0.054≈0.1（精確到0.1） D．0.0136≈0.013（精確到0.001）【變式訓練12】（2022春?靜安區期中）月球沿著一定的軌道圍繞地球運動，它在近地點時與地球的距離約為363300千米，把這個近似數保留三個有效數字，則可表示為千米．【變式訓練13】（2021秋?青田縣期末）一個數由四舍五入精確到千分位后得到的數是1.270，那么這個數最小可以取基礎達標基礎達標一．選擇題1．（2022?豐臺區二模）2021年我國原油產量約1.99億噸，連續3年回升．將199000000用科學記數法表示應為（）A．199×106 B．1.99×108 C．1.99×109 D．0.199×1092．（2022?洞頭區模擬）“中國天眼”是我國世界最大單口徑的射電望遠鏡，它的占地面積約260000平方米，數據260000用科學記數法表示為（）A．26×104 B．2.6×105 C．2.6×106 D．0.26×1063．（2022?章丘區二模）國家統計局數據，2022年一季度，規模以上工業原油產量5119萬噸，同比增長4.4%．“5119萬”用科學記數法可表示為（）A．51.19×1062 B．51.19×107 C．5.119×107 D．5.119×1084．（2022春?遵化市期中）計算（﹣+﹣）×（﹣24）的結果是（）A．1 B．﹣1 C．10 D．﹣10二．填空題5．（2022?大理市一模）2021年5月15日7時18分，執行我國首次火星探測任務的“天問一號”探測器在火星著落，在火星上首次留下中國印跡．火星是太陽系九大行星之一，火星的半徑約為3395000米，用科學記數法表示“3305000”為．6．（2022?姑蘇區一模）蘇州站是蘇州重要的交通樞紐之一，站房建筑面積為54000平方米，采用線上高架候車結構，包括南北兩個站房和高架站房，并在北站房設置站前高架和落客平臺，是蘇州市地標建筑之一．將數據54000用科學記數法表示為．7．（2022春?嘉定區校級期中）計算：﹣25+26＝．8．（2022?婁底模擬）定義：對于23＝8，把3叫做以2為底的8的對數，記為log28＝3．那么＝．9．（2022?金平區一模）已知a、b為有理數，且|a﹣3|+（3b+1）2＝0，則（ab）2022＝．10．（2022?東臺市模擬）據資料顯示，我國釣魚島周圍海域面積約170000km2，用科學記數法表示該數為．11．（2022春?松江區校級期中）將80450保留三個有效數字為．三．解答題12．（2021秋?三原縣期末）計算：（1）；（2）．13．（2021秋?肇源縣期末）一個圓形噴水池（如圖）的半徑是3米，要在其周圍修1米寬的小路．小路的面積是多少平方米？（π取3.14，結果保留兩位小數）14．（2021秋?墾利區期末）數形結合是一種重要的數學方法，如在化簡|a|時，當a在數軸上位于原點的右側時，|a|＝a；當a在數軸上位于原點時，|a|＝0；當a在數軸上位于原點的左側時，|a|＝﹣a．當a，b，c三個數在數軸上的位置如圖所示，試用這種方法解決下列問題．（1）當a＝1時，求＝，當b＝﹣2時，求＝．（2）請根據a，b，c三個數在數軸上的位置，求的值．（3）請根據a，b，c三個數在數軸上的位置，化簡：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．15．（2022春?商城縣校級月考）規定“*”表示一種運算，且a*b＝a﹣2b，試求3*（4*）的值．16．（2022春?南岸區校級月考）我國約有9600000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年從太陽得到的能量相當于燃燒150000噸煤所產生的能量．（1）一年內我國土地從太陽得到的能量相當于燃燒多少噸煤所產生的能量？（2）若1噸煤大約可以發出8000度電，那么（1）中的煤大約發出多少度電？（結果用科學記數法表示）17．（2022春?邗江區校級月考）概念學習規定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n個a，a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．（1）直接寫出計算結果：2③＝，＝；（2）將下列運算結果直接寫成冪的形式：5⑥＝；＝；（3）想一想：將一個非零有理數a的圈n（n≥3）次方寫成冪的形式為；（4）算一算：42×④．能力提升能力提升一．選擇題1．（2021秋?大名縣期末）下列各對數中，相等的一對是（）A．與 B．﹣22與（﹣2）2 C．﹣（﹣3）與﹣|﹣3| D．（﹣2）3與﹣232．（2021秋?單縣期末）一根1m長的繩子，第一次剪去繩子的，第二次剪去剩下繩子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下繩子的長度是（）A． B． C． D．3．（2021秋?安居區期末）若a與b互為相反數，c與d互為倒數，m的絕對值為2，則|m|﹣c×d+的值為（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣3 D．或4．（2021秋?棲霞市期末）在數學課上，老師讓甲、乙、丙、丁，四位同學分別做了一道有理數運算題，你認為做對的同學是（）甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16丁：（﹣3）2÷×3＝9÷1＝9A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2018秋?西湖區校級月考）定義一種關于整數n的“F”運算：（1）當n是奇數時，結果為3n+5；（2）當n是偶數時，結果是（其中k是使是奇數的正整數），并且運算重復進行．例如：取n＝58，第一次經F運算是29，第二次經F運算是92，第三次經F運算是23，第四次經F運算是74…；若n＝9，則第2017次運算結果是（）A．1 B．2 C．7 D．8二．填空題6．（2021秋?渠縣期末）根據央視報道，去年我國汽車尾氣排放總量大約為47000000噸．將47000000用科學記數法表示為．7．（2021秋?儀征市期末）小亮用天平稱得一個罐頭的質量為2.026kg，近似數2.026精確到0.01約是．8．（2022春?蒸湘區校級月考）已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，則（x﹣y）2017＝．9．（2021秋?南丹縣期末）1根1米長的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，…，如此截下去，則第8次剩下的木棒的長為米．10．（2018秋?翠屏區期中）如圖，定義一種對正整數n的“F運算”：①當n為奇數時，結果為3n+5；②當n為偶數時，結果為（其中k是使為奇數的正整數），并且運算重復進行．例如，取n＝26，第三次“F運算”的結果是11．若n＝449，則第449次“F運算”的結果是．11．（2018秋?郫都區期中）三個數a＝266，b＝344，c＝622中，最小的一個是．三．解答題12．（2021秋?墾利區期末）計算：（1）（﹣5）+（﹣4）﹣（+101）﹣（﹣9）；（2）；（3）；（4）．13．（2021秋?龍鳳區校級期末）笑笑超市對顧客實行優惠購物，優惠規定如下：（1）如果一次性購物在500元以內，按標價給予九折優惠；（2）如果一次性購物超過500元，其中500元部分給予九折優惠，超過500元部分給予八折優惠．A．王叔叔在該超市購買了一臺標價750元的吸塵器，他應付多少元？B．李阿姨先后兩次去該超市購物，分別付款216和486元，如果李阿姨一次性購買，只需要付款多少元？14．（2021秋?雙牌縣期末）求若干個相同的不為零的有理數的除法運算叫做除方．如：2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2記做2③，讀作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記做（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．一般地，把（a≠0）記做a?，讀作“a的圈n次方”．（1）直接寫出計算結果：（﹣）③＝，（﹣3）④＝，2⑤＝．（2）我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，請嘗試將有理數的除方運算轉化為乘方運算，歸納如下：一個非零有理數的圈n次方等于．（3）計算：24÷23+（﹣8）×2③．15．（2021秋?沙河口區期末）如圖為大連市地鐵二號線地圖的一部分．某天，小王參加志愿者服務活動，從西安路站出發，到A站出站時，本次志愿者服務活動結束，如果規定向東行駛為正，向西為負，當天的乘車站數按先后順序依次記錄如下（單位：站）：﹣4，+3，﹣6，﹣1，+9，﹣2，﹣5，+4．（1）請通過計算說明A站是哪一站？小明服務期間距離西安路站最遠的站是哪一站？（2）若相鄰兩站之間的平均距離為1.8千米，求小王這次做志愿服務期間乘坐地鐵行進的總路程約是多少千米？16．（2021秋?嵐皋縣期末）問題探索：如圖，將一根木棒放在數軸（單位長度為1cm）上，木棒左端與數軸上的點A重合，右端與數軸上的點B重合．（1）若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到點B時，它的右端在數軸上所對應的數為30；若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到點A時，它的左端在數軸上所對應的數為6，由此可得這根木棒的長為cm．（2）圖中點A所表示的數是，點B所表示的數是．實際應用：由（1）（2）的啟發，請借助“數軸”這個工具解決下列問題：（3）一天，妙妙去問奶奶的年齡，奶奶說：“我若是你現在這么大，你還要35年才出生；你若是我現在這么大，我就115歲啦!”請問妙妙現在多少歲了？2024年人教版暑假小升初數學銜接精編講義專題05《有理數的乘方》知識互聯網知識互聯網學習目標學習目標1．理解有理數乘方的定義；2.掌握有理數乘方運算的符號法則，并能熟練進行乘方運算；3.進一步掌握有理數的混合運算.4.會用科學記數法表示大數.知識要點知識要點知識點1：有理數的乘方定義：求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪(power)．即有：.在中，叫做底數，n叫做指數．要點分析：（1）乘方與冪不同，乘方是幾個相同因數的乘法運算，冪是乘方運算的結果．（2）底數一定是相同的因數，當底數不是單純的一個數時，要用括號括起來．（3）一個數可以看作這個數本身的一次方．例如，5就是51，指數1通常省略不寫．知識點2：乘方運算的符號法則（1）正數的任何次冪都是正數；（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；（3）0的任何正整數次冪都是0；（4）任何一個數的偶次冪都是非負數，如≥0．要點分析：(1)有理數的乘方運算與有理數的加減乘除運算一樣，首先應確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值．(2)任何數的偶次冪都是非負數．知識點3：有理數的混合運算有理數混合運算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運算，從左到右進行；(3)如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．要點分析：(1)有理數運算分三級，并且從高級到低級進行運算，加減法是第一級運算，乘除法是第二級運算，乘方和開方(以后學習)是第三級運算；（2）在含有多重括號的混合運算中，有時根據式子特點也可按大括號、中括號、小括號的順序進行．(3)在運算過程中注意運算律的運用．知識點4：科學記數法把一個大于10的數表示成的形式（其中是整數數位只有一位的數，l≤||<10，是正整數），這種記數法叫做科學記數法，如＝.要點分析：（1）負數也可以用科學記數法表示，“”照寫，其它與正數一樣，如=；（2）把一個數寫成形式時，若這個數是大于10的數，則n比這個數的整數位數少1.題型1：有理數的乘方題型1：有理數的乘方【典型例題01】（2022?雨花區校級開學）下列各數：①，②0.1，③﹣|﹣2|，④（﹣3）2，⑤，是正有理數的是（填序號）．【思路引導】根據絕對值、有理數的乘方、相反數、有理數的定義解決此題．【完整解答】解：①是正分數，那么①是正有理數．②0.1是正的小數，那么②是正有理數．③根據絕對值的定義，﹣|﹣2|＝﹣2＜0，那么﹣|﹣2|是負數，那么③不是正有理數．④根據有理數的乘方，（﹣3）2＝9＞0，那么（﹣3）2是正有理數，那么④是正有理數．⑤根據無理數的定義，是無理數．綜上：正有理數有①②④．【考察注意點】本題主要考查絕對值、有理數的乘方、相反數、有理數，熟練掌握絕對值、有理數的乘方、相反數、有理數的定義是解決本題的關鍵．【典型例題02】（2022春?梁山縣期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，則x+y的值等于（）A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣1或﹣5 D．﹣1或5【思路引導】根據絕對值和有理數的乘方求出x，y的值，根據x＞y分兩種情況分別計算即可．【完整解答】解：∵|x|＝2，y2＝9，∴x＝±2，y＝±3，∵x＞y，∴當x＝2，y＝﹣3時，x+y＝﹣1；當x＝﹣2，y＝﹣3時，x+y＝﹣5；故選：C．【考察注意點】本題考查了有理數的乘方，絕對值，有理數的加法，考查分類討論的思想，根據x＞y分兩種情況分別計算是解題的關鍵．變式訓練變式訓練【變式訓練01】（2021秋?碑林區校級期末）下列說法正確的是（）A．整數和分數統稱為有理數 B．任何有理數都有倒數 C．一個數的絕對值一定為正數 D．立方等于本身的數是1和﹣1【思路引導】根據有理數的分類判斷A選項；根據倒數的定義判斷B選項；根據絕對值的定義判斷C選項；根據有理數的乘方判斷D選項．【完整解答】解：A選項，整數和分數統稱為有理數，故該選項符合題意；B選項，0沒有倒數，故該選項不符合題意；C選項，0的絕對值是0，不是正數，故該選項不符合題意；D選項，立方等于本身的數是±1，0，故該選項不符合題意；故選：A．【考察注意點】本題考查了有理數，倒數，絕對值，有理數的乘方，掌握整數和分數統稱為有理數是解題的關鍵【變式訓練02】（2022春?諸城市期中）若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為logab（即logab＝n），如34＝81，則4叫做以3為底81的對數，記為log381（即log381＝4）．則log264的值為6．【思路引導】根據對數的定義即可求解．【完整解答】解：log264＝6．故答案為：6．【考察注意點】本題考查了同底數冪的乘法，能夠仔細觀察，發現規律是關鍵．【變式訓練03】（2022春?邗江區校級期中）閱讀材料：如果10b＝n，那么b為n的“勞格數”，記為b＝d（n）．由定義可知：10b＝n與b＝d（n）表示b、n兩個量之間的同一關系．如：102＝100，則d（100）＝2．理解運用：（1）根據“勞格數”的定義，填空：d（10﹣3）＝﹣3，d（1）＝0；（2）“勞格數”有如下運算性質：若m、n為正數，則d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）；根據運算性質，填空：＝3；（a為正數）（3）若d（2）＝0.3010，計算：d（4）、d（5）；（4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，請證明m＝n＝p．【思路引導】（1）根據新定義及法則進行運算即可；（2）根據新定義運算法則運算即可；（3）根據新定義運算法則運算即可；（4）根據新定義運算法則分別運算即可．【完整解答】解：（1）∵10b＝10﹣3，∴b＝﹣3，∴d（10﹣3）＝﹣3，∵10b＝1＝100，∴b＝0，∴d（1）＝d（100）＝0，（2）＝＝＝＝3；（3）∵d（2）＝0.310，∴d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝2d（2）＝2×0.3010＝0.6020，d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.6990；（4）∵d（2）＝2m+n，∴d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝2d（2）＝2（2m+n）＝4m+2n，d（8）＝d（2×2×2）＝d（2）+d（2）+d（2）＝3d（2）＝3（2m+n）＝6m+3n∵d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，∴∴m＝n＝p，故答案為：（1）﹣3，0；（2）3；（3）0.6020，0.6990；（4）證明見解析．【考察注意點】本題是一閱讀題，考查的是數中的新定義問題，解題的關鍵是理解新定義及其乘除運算法則．題型2題型2：非負數的性質：偶次方典例精講典例精講【典型例題03】（2021秋?淅川縣期中）如果|a+1|+（b﹣2）2＝0．（1）求a、b的值；（2）求（a+b）2020+a2021的值．【思路引導】（1）直接利用絕對值和偶次方的非負數的性質得出a，b的值；（2）直接把a，b的值代入求出答案．【完整解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣2）2＝0，|a+1|≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2；（2）（a+b）2020+a2021＝（﹣1+2）2020+（﹣1）2021＝0．【考察注意點】此題主要考查了非負數的性質，正確得出a，b的值是解題關鍵．【典型例題04】（2021秋?望城區期末）已知|2x﹣6|+（5+y）2＝0，則yx的值為（）A．15 B．﹣15 C．﹣125 D．125【思路引導】根據絕對值和偶次方的非負數的性質列式求出x、y的值，然后代入代數式進行計算即可得解．【完整解答】解：∵|2x﹣6|+（5+y）2＝0，而|2x﹣6|≥0，（5+y）2≥0，∴2x﹣6＝0，5+y＝0，解得x＝3，y＝﹣5，∴yx＝（﹣5）3＝﹣125．故選：C．【考察注意點】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．變式訓練變式訓練【變式訓練04】（2021秋?潼南區校級期末）已知：|a+1|+（2﹣b）2＝0，則ab的是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【思路引導】根據非負數的性質列式求出a、b的值，然后代入代數式進行計算即可得解．【完整解答】解：∵|a+1|+（2﹣b）2＝0，∴a+1＝0，2﹣b＝0，解得a＝﹣1、b＝2，∴ab＝﹣2．故選：A．【考察注意點】本題主要考查了非負數的性質．解題的關鍵是掌握非負數的性質，即幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．【變式訓練05】（2022春?華安縣校級月考）已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，則x＝2，y＝3．【思路引導】根據絕對值的非負性、偶次方的非負性解決此題．【完整解答】解：∵（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，而（2x﹣4）2≥0，|x+2y﹣8|≥0，∴，解得．故答案為：2；3．【考察注意點】本題主要考查絕對值的非負性、偶次方的非負性，熟練掌握偶次方的非負性、絕對值的非負性是解決本題的關鍵．【變式訓練06】（2021秋?涼山州期末）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，則（b+a）2021＝﹣1．【思路引導】根據偶次方和絕對值的非負數的和為零，可得每個非負數同時為零，可得a、b的值，根據負數的奇數次方是負數，可得答案．【完整解答】解：因為（a+2）2+|b﹣1|＝0，而（a+2）2≥0，|b﹣1|≥0，所以a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，所以（b+a）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故答案為：﹣1．【考察注意點】本題考查了非負數的性質，利用非負數的和為零得出每個非負數同時為零是解題關鍵．【變式訓練07】（2021秋?贛州期中）已知（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，求﹣2a+b的值．【思路引導】根據偶次方和絕對值的非負數的性質列式求出a、b的值，然后代入代數式進行計算即可得解．【完整解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，而（a﹣3）2≥0，|b﹣4|≥0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，解得a＝3，b＝4，∴﹣2a+b＝﹣6+4＝﹣2．【考察注意點】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．題型3題型3：科學記數法—表示較大的數典例精講典例精講【典型例題05】（2022?自貢）自貢市江姐故里紅色教育基地自去年底開放以來，截止到今年5月，共接待游客180000余人．人數180000用科學記數法表示為（）A．1.8×104 B．18×104 C．1.8×105 D．1.8×106【思路引導】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【完整解答】解：180000＝1.8×105，故選：C．【考察注意點】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【典型例題06】（2020秋?襄汾縣期中）已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝1010，10m×10n＝10m+n．（m，n均為正整數）（2）運用上述猜想計算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）；②（﹣6.4×103）×（2×106）．【思路引導】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥1時，n是非負數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【完整解答】解：（1）106×104＝1010，10m×10n＝10m+n；故答案為：1010；10m+n；（2）①（1.5×104）×（1.2×105）＝（1.5×1.2）×（104×105）＝1.8×109；②（﹣6.4×103）×（2×106）＝（﹣6.4×2）×（103×106）＝﹣12.8×109＝﹣1.28×1010．【考察注意點】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．變式訓練變式訓練【變式訓練08】（2021秋?鐵東區期末）記者從11月20日召開的2021世界制造業大會新能源汽車產業發展論壇上獲悉，到今年9月底我國汽車保有量達到了297000000輛，年底將超過3億輛．297000000這個數字用科學記數法可表示為（）A．29.7×107 B．0.297×109 C．2.97×108 D．297×106【思路引導】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數，且n比原來的整數位數少1，據此判斷即可．【完整解答】解：297000000＝2.97×108．故選：C．【考察注意點】此題主要考查了用科學記數法表示較大的數，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關鍵．【變式訓練08】（2022?秦淮區二模）自2022年3月10日南京市發生外地來寧人員關聯本土疫情以來，截至3月27日11時，南京市累計開展核酸檢測超過59000000人次．用科學記數法表示59000000是5.9×107．【思路引導】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數，且n比原來的整數位數少1，據此判斷即可．【完整解答】解：59000000＝5.9×107．故答案為：5.9×107．【考察注意點】此題主要考查了用科學記數法表示較大的數，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關鍵．【變式訓練09】（2021秋?曾都區期末）“垃圾分類，我在行動”．一粒小小的紐扣電池就可以污染60萬升水，相當于一個人一生的飲水量．用科學記數法表示數據60萬是6×105．【思路引導】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數，且n比原來的整數位數少1，據此判斷即可．【完整解答】解：60萬＝600000＝6×105．故答案為：6×105．【考察注意點】此題主要考查了用科學記數法表示較大的數，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關鍵．【變式訓練10】（2022春?南岸區校級月考）我國約有9600000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年從太陽得到的能量相當于燃燒150000噸煤所產生的能量．（1）一年內我國土地從太陽得到的能量相當于燃燒多少噸煤所產生的能量？（2）若1噸煤大約可以發出8000度電，那么（1）中的煤大約發出多少度電？（結果用科學記數法表示）【思路引導】（1）根據乘法的意義列出算式（9.6×106）×（1.5×105）計算，再用科學記數法表示即可；（2）用（1）的結果乘以8×103，求出結果后再用科學記數法表示即可．【完整解答】解：（1）（9.6×106）×（1.5×105）＝（9.6×1.5）×（106×105）＝1.44×1012（噸）．答：一年內我國土地從太陽得到的能量相當于燃燒1.44×1012噸煤．（2）（1.44×1012）×（8×103）＝（1.44×8）×（1012×103）＝1.152×1016（度）．答：（1）中的煤大約發出1.152×1016度電．【考察注意點】此題主要考查了科學記數法﹣表示較大的數，整式的混合運算，熟練應用運算法則是解題關鍵題型4題型4：近似數和有效數字典例精講典例精講【典型例題05】（2022春?松江區校級期中）下列說法正確的是（）A．近似數4.20和近似數4.2的精確度一樣 B．近似數4.20和近似數4.2的有效數字相同 C．近似數3千萬和近似數3000萬的精確度一樣 D．近似數52.0和近似數5.2的精確度一樣【思路引導】根據近似數和有效數字的定義，可以判斷各個選項中的說法是否正確．【完整解答】解：近似數4.20和近似數4.2的精確度不一樣，近似數4.20精確到百分位，近似數4.2精確到十分位，故選項A錯誤，不符合題意；近似數4.20和近似數4.2的有效數字不相同，近似數4.20有三個有效數字，近似數4.2有兩個有效數字，故選項B錯誤，不符合題意；近似數3千萬和近似數3000萬的精確度不一樣，近似數3千萬精確到千萬位，近似數3000萬精確到萬位，故選項C錯誤，不符合題意；近似數52.0和近似數5.2的精確度一樣，故選項D正確，符合題意；故選：D．【考察注意點】本題考查近似數和有效數字，解答本題的關鍵是明確近似數和有效數字定義．【典型例題07】按括號里的要求，用四舍五入法對下列各數取近似數：①60290（保留兩個有效數字）；②0.03057（保留三個有效數字）；③2345000（精確到萬位）；④1.596（精確到0.01）．【思路引導】①先利用科學記數法表示，然后把百位上的數字2進行四舍五入即可；②根據有效數字的定義求解；③先利用科學記數法表示，然后把千位上的數字5進行四舍五入即可；④把千分位上的數字進行四舍五入即可．【完整解答】解：①60290（保留兩個有效數字）≈6.0×104；②0.03057（保留三個有效數字）≈0.0306；③2345000（精確到萬位）≈2.35×106；④1.596（精確到0.01）≈1.60．【考察注意點】本題考查了近似數和有效數字：“精確到第幾位”和“有幾個有效數字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現出誤差值絕對數的大小，而后者往往可以比較幾個近似數中哪個相對更精確一些．變式訓練變式訓練【變式訓練11】（2021秋?綏濱縣期末）按括號內的要求用四舍五入法取近似數，其中正確的是（）A．103.57≈103.6（精確到個位） B．2.708≈2.71（精確到十分位） C．0.054≈0.1（精確到0.1） D．0.0136≈0.013（精確到0.001）【思路引導】根據近似數的定義可以得到各個選項的正確結果，從而可以解答本題．【完整解答】解：A、103.57≈103.7（精確到十分位），此選項錯誤，故本選項不符合題意；B、2.708≈2.71（精確到百分位），此選項錯誤，故本選項不符合題意；C、0.054≈0.1（精確到0.1），此選項正確，故本選項符合題意；D、0.0136≈0.0134（精確到0.001），此選項錯誤，故本選項不符合題意；故選：C．【考察注意點】本題考查了近似數：經過四舍五入得到的數為近似數．近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示．【變式訓練12】（2022春?靜安區期中）月球沿著一定的軌道圍繞地球運動，它在近地點時與地球的距離約為363300千米，把這個近似數保留三個有效數字，則可表示為3.63×105千米．【思路引導】對于大于1的數，科學記數法的書寫要求是：a×10n，其中1≤|a|＜10，n比整數位數小1，再結合有效數字的取法可解本題．【完整解答】解：363300＝3.633×105≈3.63×105．故答案為：3.63×105．【考察注意點】本題考查了科學記數法的書寫原則及有效數字的取法，本題屬于基礎題，難度不大．【變式訓練13】（2021秋?青田縣期末）一個數由四舍五入精確到千分位后得到的數是1.270，那么這個數最小可以取1.2695．【思路引導】先根據近似數的精確度得到這個數的范圍，然后確定最小值．【完整解答】解：設這個數為a，則1.2695≤a＜1.2705，所以這個數最小可以取1.2695．故答案為：1.2695．【考察注意點】本題考查了近似數：“精確到第幾位”是精確度的常用的表示形式．基礎達標基礎達標一．選擇題1．（2022?豐臺區二模）2021年我國原油產量約1.99億噸，連續3年回升．將199000000用科學記數法表示應為（）A．199×106 B．1.99×108 C．1.99×109 D．0.199×109【完整解答】解：199000000＝1.99×108，故選：B．2．（2022?洞頭區模擬）“中國天眼”是我國世界最大單口徑的射電望遠鏡，它的占地面積約260000平方米，數據260000用科學記數法表示為（）A．26×104 B．2.6×105 C．2.6×106 D．0.26×106【完整解答】解：260000＝2.6×105．故選：B．3．（2022?章丘區二模）國家統計局數據，2022年一季度，規模以上工業原油產量5119萬噸，同比增長4.4%．“5119萬”用科學記數法可表示為（）A．51.19×1062 B．51.19×107 C．5.119×107 D．5.119×108【完整解答】解：5119萬＝51190000＝5.119×107．故選：C．4．（2022春?遵化市期中）計算（﹣+﹣）×（﹣24）的結果是（）A．1 B．﹣1 C．10 D．﹣10【完整解答】解：（﹣+﹣）×（﹣24）＝×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）＝﹣22+28+（﹣18）+13＝1，故選：A．二．填空題5．（2022?大理市一模）2021年5月15日7時18分，執行我國首次火星探測任務的“天問一號”探測器在火星著落，在火星上首次留下中國印跡．火星是太陽系九大行星之一，火星的半徑約為3395000米，用科學記數法表示“3305000”為3.305×106．【完整解答】解：3305000＝3.305×106．故答案為：3.305×106．6．（2022?姑蘇區一模）蘇州站是蘇州重要的交通樞紐之一，站房建筑面積為54000平方米，采用線上高架候車結構，包括南北兩個站房和高架站房，并在北站房設置站前高架和落客平臺，是蘇州市地標建筑之一．將數據54000用科學記數法表示為5.4×104．【完整解答】解：54000＝5.4×104．故答案為：5.4×104．7．（2022春?嘉定區校級期中）計算：﹣25+26＝32．【完整解答】解：﹣25+26＝﹣32+64＝32，故答案為：32．8．（2022?婁底模擬）定義：對于23＝8，把3叫做以2為底的8的對數，記為log28＝3．那么＝2．【完整解答】解：由題意可知，＝4+（﹣2）＝2．故答案為：2．9．（2022?金平區一模）已知a、b為有理數，且|a﹣3|+（3b+1）2＝0，則（ab）2022＝1．【完整解答】解：∵|a﹣3|≥0，（3b+1）2≥0，∴a﹣3＝0，3b+1＝0，∴a＝3，b＝﹣，∴（ab）2022＝[3×（﹣）]2022＝（﹣1）2022＝1．故答案為：1．10．（2022?東臺市模擬）據資料顯示，我國釣魚島周圍海域面積約170000km2，用科學記數法表示該數為1.7×105km2．【完整解答】解：170000km2＝1.7×105km2．故答案為：1.7×105km2．11．（2022春?松江區校級期中）將80450保留三個有效數字為8.05×104．【完整解答】解：將80450保留三個有效數字為8.05×104．故答案為：8.05×104．三．解答題12．（2021秋?三原縣期末）計算：（1）；（2）．【完整解答】解：（1）原式＝（﹣+）+（﹣﹣）＝3﹣5＝﹣2；（2）原式＝﹣1+|﹣3|﹣3÷＝﹣1+3﹣3×9＝﹣1+3﹣27＝﹣25．13．（2021秋?肇源縣期末）一個圓形噴水池（如圖）的半徑是3米，要在其周圍修1米寬的小路．小路的面積是多少平方米？（π取3.14，結果保留兩位小數）【完整解答】解：3+1＝4（米），3.14×（42﹣32）＝21.98（平方米）．答：小路的面積是21.98平方米．14．（2021秋?墾利區期末）數形結合是一種重要的數學方法，如在化簡|a|時，當a在數軸上位于原點的右側時，|a|＝a；當a在數軸上位于原點時，|a|＝0；當a在數軸上位于原點的左側時，|a|＝﹣a．當a，b，c三個數在數軸上的位置如圖所示，試用這種方法解決下列問題．（1）當a＝1時，求＝1，當b＝﹣2時，求＝﹣1．（2）請根據a，b，c三個數在數軸上的位置，求的值．（3）請根據a，b，c三個數在數軸上的位置，化簡：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．【完整解答】解：（1）當a＝1時，＝＝1，當b＝﹣2時，＝＝﹣1．故答案為1，﹣1；（2）根據a，b，c三個數在數軸上的位置可知，b＜c＜0＜a，∴＝．（3）根據a，b，c三個數在數軸上的位置可知，b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，∴|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|＝a+c+（﹣c）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）＝a+c﹣c﹣a﹣b﹣c+b＝﹣c．15．（2022春?商城縣校級月考）規定“*”表示一種運算，且a*b＝a﹣2b，試求3*（4*）的值．【完整解答】解：3*（4*）＝3*（4﹣2×）＝3*（4﹣1）＝3*3＝3﹣2×3＝3﹣6＝﹣3．16．（2022春?南岸區校級月考）我國約有9600000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年從太陽得到的能量相當于燃燒150000噸煤所產生的能量．（1）一年內我國土地從太陽得到的能量相當于燃燒多少噸煤所產生的能量？（2）若1噸煤大約可以發出8000度電，那么（1）中的煤大約發出多少度電？（結果用科學記數法表示）【完整解答】解：（1）（9.6×106）×（1.5×105）＝（9.6×1.5）×（106×105）＝1.44×1012（噸）．答：一年內我國土地從太陽得到的能量相當于燃燒1.44×1012噸煤．（2）（1.44×1012）×（8×103）＝（1.44×8）×（1012×103）＝1.152×1016（度）．答：（1）中的煤大約發出1.152×1016度電．17．（2022春?邗江區校級月考）概念學習規定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n個a，a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．（1）直接寫出計算結果：2③＝，＝﹣8；（2）將下列運算結果直接寫成冪的形式：5⑥＝；＝28；（3）想一想：將一個非零有理數a的圈n（n≥3）次方寫成冪的形式為；（4）算一算：42×④．【完整解答】解：（1）2③＝2÷2÷2＝；＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝﹣8；（2）5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝；＝28；（3）a?＝a÷a÷a……÷a＝；（4）原式＝16×9＝144能力提升能力提升一．選擇題1．（2021秋?大名縣期末）下列各對數中，相等的一對是（）A．與 B．﹣22與（﹣2）2 C．﹣（﹣3）與﹣|﹣3| D．（﹣2）3與﹣23【完整解答】解：A、，（）2＝，故此選項不符合題意；B、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，故此選項不符合題意；C、﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，故此選項不符合題意；D、（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故此選項符合題意；故選：D．2．（2021秋?單縣期末）一根1m長的繩子，第一次剪去繩子的，第二次剪去剩下繩子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下繩子的長度是（）A． B． C． D．【完整解答】解：∵第一次剪去繩子的，還剩m；第二次剪去剩下繩子的，還剩＝m，……∴第100次剪去剩下繩子的后，剩下繩子的長度為（）100m；故選：C．3．（2021秋?安居區期末）若a與b互為相反數，c與d互為倒數，m的絕對值為2，則|m|﹣c×d+的值為（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣3 D．或【完整解答】解：∵a與b互為相反數，c與d互為倒數，m的絕對值為2，∴a+b＝0，cd＝1，|m|＝2，∴|m|﹣c×d+＝2﹣1+＝2﹣1+0＝1，故選：A．4．（2021秋?棲霞市期末）在數學課上，老師讓甲、乙、丙、丁，四位同學分別做了一道有理數運算題，你認為做對的同學是（）甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16丁：（﹣3）2÷×3＝9÷1＝9A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【完整解答】解：甲：9﹣32÷8＝9﹣9÷8＝7，原來沒有做對；乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×9＝﹣12，原來沒有做對；丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16，做對了；丁：（﹣3）2÷×3＝9÷×3＝81，原來沒有做對．故選：C．5．（2018秋?西湖區校級月考）定義一種關于整數n的“F”運算：（1）當n是奇數時，結果為3n+5；（2）當n是偶數時，結果是（其中k是使是奇數的正整數），并且運算重復進行．例如：取n＝58，第一次經F運算是29，第二次經F運算是92，第三次經F運算是23，第四次經F運算是74…；若n＝9，則第2017次運算結果是（）A．1 B．2 C．7 D．8【完整解答】解：由題意n＝9時，第一次經F運算是32，第二次經F運算是1，第三次經F運算是8，第四次經F運算是1…以后出現1、8循環，奇數次是8，偶數次是1，∴第2017次運算結果8，故選：D．二．填空題6．（2021秋?渠縣期末）根據央視報道，去年我國汽車尾氣排放總量大約為47000000噸．將47000000用科學記數法表示為4.7×107．【完整解答】解：將47000000用科學記數法表示為4.7×107．故答案為：4.7×107．7．（2021秋?儀征市期末）小亮用天平稱得一個罐頭的質量為2.026kg，近似數2.026精確到0.01約是2.03．【完整解答】解：2.026≈2.03（精確到0.01）．故答案為2.03．8．（2022春?蒸湘區校級月考）已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，則（x﹣y）2017＝﹣1．【完整解答】解：由題意得，2x﹣4＝0，x+2y﹣8＝0，解得x＝2，y＝3，所以，（x﹣y）2017＝（2﹣3）2017＝﹣1．故答案為：﹣1．9．（2021秋?南丹縣期末）1根1米長的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，…，如此截下去，則第8次剩下的木棒的長為米．【完整解答】解：第一次截去一半，剩下，第二次截去剩下的一半，剩下×＝（）2，如此下去，第8次后剩下的長度是（）8＝．故答案為：．10．（2018秋?翠屏區期中）如圖，定義一種對正整數n的“F運算”：①當n為奇數時，結果為3n+5；②當n為偶數時，結果為（其中k是使為奇數的正整數），并且運算重復進行．例如，取n＝26，第三次“F運算”的結果是11．若n＝449，則第449次“F運算”的結果是8．【完整解答】解：本題提供的“F運算”，需要對正整數n分情況（奇數、偶數）循環計算，由于n＝449為奇數應先進行F①運算，即3×449+5＝1352（偶數），需再進行F②運算，即1352÷23＝169（奇數），再進行F①運算，得到3×169+5＝512（偶數），再進行F②運算，即512÷29＝1（奇數），再進行F①運算，得到3×1+5＝8（偶數），再進行F②運算，即8÷23＝1，再進行F①運算，得到3×1+5＝8（偶數）