2023-2024學年高二下學期數學期末考試卷數學試題試卷考試時間：120分鐘滿分：150第I卷（選擇題）單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．在數列中，，，則（

）A． B． C． D．2．在等比數列中，是方程的兩個根，則＝（）A． B． C． D．23．我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”（其中，）.如圖所示，設點、、是相應橢圓的焦點，、和、是“果圓”與軸和軸的交點，若是邊長為1的等邊三角形，則，的值分別為（）A．，1 B．，1 C．5，3 D．5，44．函數在處的切線的傾斜角為（

）A． B． C． D．5．在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是面的中心，則的值為（

）A．4 B． C．2 D．不確定6．若函數在處取得極小值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知過拋物線焦點的直線交拋物線于，兩點，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．38．函數+m在[0，2]上的最小值是2-e，則最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二．多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，有多項符合要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．已知直線l：，則下列選項中正確的有（

）A．直線l在y軸上的截距是2 B．直線l的斜率為C．直線l不經過第三象限 D．直線l的一個方向向量為10．將個數排成行列的一個數陣，如下圖所示，該數陣第一列的個數從上到下構成以為公差的等差數列，每一行的個數從左到右構成以為公比的等比數列（其中）.已知，，記這個數的和為.下列結論正確的有（

）A． B．C． D．11．在正方體中，若棱長為，點分別為線段、上的動點，則下列結論正確結論的是（

）A．面 B．面面C．點F到面的距離為定值 D．直線與面所成角的正弦值為定值第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則的取值范圍是.13．已知數列{an}的前項和為，，則數列的通項公式為14．在圓上有且僅有兩個點到直線的距離為，則a的取值范圍為．四、解答題（共5小題，共計77分.）15．（13分）已知數列滿足，．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前n項和．16．（15分）已知光線經過已知直線和的交點M，且射到x軸上一點后被x軸反射．(1)求反射光線所在的直線的方程．(2)求與距離為的直線方程．17．（15分）已知函數.（1）當時，討論函數的單調性；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.18．（17分）已知拋物線的頂點是雙曲線的中心，而焦點是雙曲線的左頂點，（1）當時，求拋物線的方程；（2）若雙曲線的離心率，求雙曲線的漸近線方程和準線的方程.19．（17分）如圖，點M是圓上任意點，點，線段的垂直平分線交半徑于點P，當點M在圓A上運動時，(1)求點P的軌跡E的方程；(2)軸，交軌跡于點（點在軸的右側），直線與交于（不過點）兩點，且直線與直線關于直線對稱，則直線具備以下哪個性質？證明你的結論？①直線恒過定點；②m為定值；③n為定值．參考答案：1．C【分析】利用數列的遞推公式逐項計算可得的值.【詳解】，，，.故選：C.【點睛】本題考查利用數列的遞推公式寫出數列中的項，考查計算能力，屬于基礎題.2．B【分析】根據韋達定理和等比數列的性質得到答案.【詳解】由韋達定理得，由等比數列的性質得.故選：B3．A【詳解】由題意知，，，∴.又，∴，.∴，.故選：A.4．B【分析】求導，結合導數的幾何意義分析運算.【詳解】由題意可得：，則，可得，所以函數在處的切線的斜率，傾斜角為.故選：B.5．A【分析】畫出圖形，建立空間直角坐標系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，因為正方體棱長為2，點是面的中心，是棱上一動點，所以，，，故選：A

6．C【分析】依題意，求出導函數，可求得極值點分別為或，再分類討論，確定原函數的單調區間，結合極小值的定義，從而可得實數的取值范圍.【詳解】因為，則函數的定義域為，則，令，解得：或，當時，即，令，解得：，令，解得：，此時函數在處取得極大值，不符合題意，舍去；當時，即，則恒成立，此時函數單調遞增，沒有極值，不符合題意，舍去；當時，即，令，解得：，令，解得：，此時函數在處取得極小值，符合題意.故選：C.7．D【分析】設出直線方程，聯立拋物線方程，得到韋達定理，求得，利用拋物線定義，將目標式轉化為關于的代數式，消元后，利用基本不等式即可求得結果.【詳解】因為拋物線的焦點的坐標為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設直線的方程為聯立可得，其，設坐標為，顯然，則，，根據拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當且僅當，即時取得最小值.故選：D.【點睛】本題考查拋物線中的最值問題，涉及到韋達定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關系，以及拋物線的定義轉化目標式，是解決問題的關鍵.8．B【分析】對函數求導，根據導數的符號確定出函數的單調性，從而確定出函數的最小值，結合題意，求得參數的值，并將區間端點代入函數解析式，求得函數的最大值.【詳解】，因為，所以當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在處取得最小值，根據題意有，所以，當時，，當時，，所以其最大值是2，故選：B.【點睛】該題考查的是有關應用導數研究函數的問題，涉及到的知識點有利用導數研究函數的最值，屬于簡單題目.9．ACD【分析】根據直線的截距，斜率，方向向量等特征直接判斷.【詳解】對于A，直線方程可變為，截距是2，故A正確；對于B，斜率，故B錯誤；對于C，由直線方程可知，故直線l不經過第三象限，故C正確；對于D，該直線的一個方向向量為，與平行，故D正確；故選：ACD10．ACD【分析】根據等差數列和等比數列的通項公式，求得的值，再結合題目的條件可求出，利用分組求和法求得的值，即可得到答案.【詳解】由題意，該數陣第一列的個數從上到下構成以為公差的等差數列，每一行的個數從左到右構成以為公比的等比數列，且，，對于A,可得，所以，解得或（舍去），所以選項A是正確的；對于B,又由，所以選項B不正確；對于C，由，所以選項C是正確的；對于D，由這個數的和為，則所以選項D是正確的，故選：ACD.11．ABC【分析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用共線向量可表示出動點的坐標，利用空間向量判斷線面垂直、面面平行、求解點到面的距離和直線與平面所成角的方法依次驗證各個選項即可得到結果.【詳解】以為坐標原點可建立如下圖所示的空間直角坐標系：由題意知：，，，，，，，，設，，即，，設，，即，.對于，，，，，，，又平面，，平面，正確；對于，平面，為平面的一個法向量，，，，，，又平面，，平面，平面平面，正確；對于，，點到面的距離，為定值，正確；對于，幾何體為正方體，平面，是平面的一個法向量，又，設直線與平面所成角為，則，不是定值，錯誤.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中線面關系、面面關系、角度和距離的相關問題的辨析，由于本題建立空間直角坐標系較為簡單，所以采用空間向量法來進行判斷是比較快速的方式.12．【分析】直接根據雙曲線的焦點在x軸上，列不等式組，即可解出m的范圍.【詳解】方程表示焦點在軸上的雙曲線，可得：，解得.故答案為：.13．【分析】利用數列中和之間的關系，即可求出數列的通項公式.【詳解】當時，；當時，，而.故數列的通項公式為.【點睛】本題主要考查數列中和之間的關系，屬于基礎題.14．【分析】由圓的方程確定圓心和半徑，利用點到直線距離公式求得圓心到直線距離；根據已知可確定，由此構造方程求得的取值范圍.【詳解】由圓的方程知其圓心為，半徑，設圓心到直線的距離為，則；圓上有且僅有兩個點到直線的距離為，則，即，解得：或，的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據圓上點到直線距離為定值的點的個數求解參數范圍問題，解題關鍵是能夠根據圓上點到直線距離為，確定圓心到直線距離與滿足.15．(1)(2)【分析】（1）利用遞推式得出是以1為首項，3為公比的等比數列，求出，進而求解即可.（2）利用錯位相減法求解數列前項和即可.【詳解】（1）由，得，又，是以1為首項，3為公比的等比數列，，，即數列的通項公式為.（2）由（1）知，，則，①得，②①－②得，故．16．(1)；(2)或.【分析】（1）由題可得，進而可得，然后結合條件及直線的點斜式即得；（2）根據平行線間距離公式即得.【詳解】（1）由，可得，即，又，所以，所以反射光線所在的直線的斜率為，故反射光線所在的直線的方程，即；（2）由題可設所求直線方程為，則，解得或，所以與距離為的直線方程為或.17．（1）在上單調遞減；在上單調遞增；（2）.【分析】(1)對函數求導化簡，構造，并判斷出單調性和最值，進而可得的單調性；(2)在上恒成立，即，對函數求導化簡，構造，判斷出單調性和值域，分，和三類，分別討論函數的單調性，求出最小值，得出的取值范圍．【詳解】解：（1）.令，，則，所以在上單調遞增，，即.故在上，，單調遞減；在上，，單調遞增.（2），，令，，，故在上，，單調遞減，易得.當時，，函數在上單調遞增，，解得，故.當時，，函數在上單調遞減，，不符合題意.當時，則存在，使得，則函數在上單調遞減，在上單調遞增.所以，解得，即.綜上，【點睛】本題考查利用導數解決函數的恒成立問題，考查導數求解函數的單調區間，考查學生邏輯推理能力和計算能力，屬于中檔題．18．（1）；（2）漸近線方程為：，準線方程為：.【分析】（1）當時，根據雙曲線的標準方程可知雙曲線的左頂點為；所以拋物線為開口向左，焦點為，進而求得拋物線的方程；（2）因為雙曲線的方程為，由離心率為即，進而求得的值，得到雙曲線的標準方程，漸近線方程和準線方程.【詳解】（1），，∴由題意設拋物線的方程為，則（2）因為雙曲線的方程為，所以，所以，因為雙曲線的離心率，所以所以，得，，所以所以漸近線方程為.準線方程為:.19．(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據題意得的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，進而根據橢圓的