2024年春期期末質(zhì)量評(píng)估檢測八年級(jí)數(shù)學(xué)試題卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.下列各式：，，，，其中分式有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分式的定義逐個(gè)判斷即可．解：在，，，中，其中分式有：、共2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的定義，判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．2.芯片制造過程中，需要在芯片表面上沉積各種薄膜層，如金屬、絕緣體和半導(dǎo)體．單位“埃”被用來描述薄膜的厚度，符號(hào)為“”．已知，即納米的十分之一．若將“”用科學(xué)記數(shù)法表示，則（）A.8 B. C.9 D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于或等于10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)數(shù)，依據(jù)其方法變形即可得解，熟練掌握其表示法是解決此題的關(guān)鍵．解：已知，即納米的十分之一．若將“”用科學(xué)記數(shù)法表示，則，故選：D．3.下表是某校合唱團(tuán)成員的年齡分布，對(duì)于不同的x，下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是（）年齡/歲13141516頻數(shù)515x10-xA.平均數(shù)、中位數(shù) B.眾數(shù)、方差 C.平均數(shù)、方差 D.眾數(shù)、中位數(shù)【答案】D【解析】【分析】由表易得x+(10-x)=10，所以總?cè)藬?shù)不變，14歲的人最多，眾數(shù)不變，中位數(shù)也可以確定.∵年齡為15歲和16歲的同學(xué)人數(shù)之和為：x+(10-x)=10，∴由表中數(shù)據(jù)可知人數(shù)最多的是年齡為14歲的，共有15人，合唱團(tuán)總?cè)藬?shù)為30人，∴合唱團(tuán)成員的年齡的中位數(shù)是14，眾數(shù)也是14，這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量不會(huì)隨著x的變化而變化.故選D.4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.方程的解是C.當(dāng)時(shí)， D.不等式的解集是【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象直接進(jìn)行解答即可．解：由函數(shù)的圖象可知，A、當(dāng)時(shí)，，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、方程的解是，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、當(dāng)時(shí)，，正確，符合題意；D、不等式的解集是，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)與一元一次方程，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．5.在平行四邊形的復(fù)習(xí)課上，小明繪制了如下知識(shí)框架圖，箭頭處添加條件錯(cuò)誤的是（）A.①：對(duì)角線相等 B.②：對(duì)角互補(bǔ) C.③：一組鄰邊相等 D.④：有一個(gè)角是直角【答案】B【解析】【分析】由矩形，菱形，正方形的判定，即可判斷．解：A、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故A正確，不符合題意；B、對(duì)角互補(bǔ)的矩形不一定是正方形，錯(cuò)誤，故B符合題意；C、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，正確，故C不符合題意；D、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，正確，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形，菱形，正方形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．6.小王和小李兩位同學(xué)準(zhǔn)備用720元班費(fèi)給班里買一定數(shù)量的籃球，已知甲、乙兩個(gè)商店某種品牌的籃球標(biāo)價(jià)相同，如下是兩位同學(xué)了解到的具體情況：下面是兩位同學(xué)分別列出來的兩個(gè)方程：小王：；小李：；其中的x表示的意義為（）A.均為籃球的數(shù)量B.均為籃球的單價(jià)C.小王方程中的x表示籃球的數(shù)量，小李方程中的x表示籃球的單價(jià)D.小王方程中的x表示籃球的單價(jià)，小李方程中的x表示籃球的數(shù)量【答案】C【解析】【分析】本題目主要考查根據(jù)實(shí)際問題列分式方程，根據(jù)兩位同學(xué)所列方程中的0.7表示打折數(shù)來判斷出x表示的意義即可解：由0.7所處位置可得出，小王所列方程中，x表示籃球的數(shù)量，小李方程中的x表示籃球的單價(jià)，所以，只有選項(xiàng)C中的x表示的意義正確，故選：C7.如圖，中，平分交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，，則長為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】本題考是平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識(shí)的應(yīng)用，屬于常見題，中考常考題型．先證明，再證明，根據(jù)求出，即可得出答案．解：∵四邊形是平行四邊形，，平分交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，，，，，故選：A．8.生物學(xué)研究表明，當(dāng)光合作用與呼吸作用強(qiáng)度的差越大時(shí)，植物體內(nèi)積累的有機(jī)物越多，產(chǎn)量也就越高．為了解某經(jīng)濟(jì)作物的產(chǎn)量與種植密度的關(guān)系，研究人員通過實(shí)驗(yàn)得到該經(jīng)濟(jì)作物的種植密度分別與呼吸作用強(qiáng)度、光合作用強(qiáng)度的函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.呼吸作用強(qiáng)度隨種植密度的增大先增大后不變B.種植密度越大，該經(jīng)濟(jì)作物的產(chǎn)量越高C.種植密度為d時(shí)，該經(jīng)濟(jì)作物的產(chǎn)量最高D.種植密度為b時(shí)該經(jīng)濟(jì)作物的產(chǎn)量高于種植密度為a時(shí)該經(jīng)濟(jì)作物的產(chǎn)量【答案】D【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)圖象，根據(jù)經(jīng)濟(jì)作物的種植密度與呼吸作用強(qiáng)度、光合作用強(qiáng)度的函數(shù)關(guān)系解答此題即可解：A.呼吸作用強(qiáng)度隨種植密度的增大先增大后變小，故原選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；B.種植密度為時(shí)，該經(jīng)濟(jì)作物的產(chǎn)量最高，故原選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；C.種植密度為時(shí)，光合作用強(qiáng)度和呼吸作用的強(qiáng)度差最大，植物體內(nèi)積累的有機(jī)物最多，該經(jīng)濟(jì)作物的產(chǎn)量最高，故原選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；D.種植密度為b時(shí)該經(jīng)濟(jì)作物的產(chǎn)量高于種植密度為a時(shí)該經(jīng)濟(jì)作物的產(chǎn)量,說法正確，符合題意，故選：D9.已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點(diǎn)A（5，0），OB=4，點(diǎn)P是對(duì)角線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D（0，1），當(dāng)CP+DP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.（0，0） B.（1，） C.（，） D.（，）【答案】D【解析】解：如圖連接AC，AD，分別交OB于G、P，作BK⊥OA于K．∵四邊形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=，A、C關(guān)于直線OB對(duì)稱，∴PC+PD=PA+PD=DA，∴此時(shí)PC+PD最短．在RT△AOG中，AG===，∴AC=．∵OA?BK=?AC?OB，∴BK=4，AK==3，∴點(diǎn)B坐標(biāo)（8，4），∴直線OB解析式為，直線AD解析式為，由，解得：，∴點(diǎn)P坐標(biāo)（，）．故選D．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B是函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC⊥y軸交函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，點(diǎn)D在x軸上（D在A的左側(cè)），且AD=BC，連接AB，CD．有如下四個(gè)結(jié)論：①四邊形ABCD可能是菱形；②四邊形ABCD可能是正方形；③四邊形ABCD的周長是定值；④四邊形ABCD的面積是定值．所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.③④ C.①③ D.①④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得四邊形ABCD是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)，則，根據(jù)BC=AB，可得關(guān)于a的方程，有解，可得①正確；若四邊形ABCD是正方形，則AB⊥x軸，AB⊥BC，BC=AB，可得到點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，從而得到AB≠BC，可得②錯(cuò)誤；取a的不同的數(shù)值，可得③錯(cuò)誤；根據(jù)平行四邊的面積，可得平行四邊的面積等于8，可得④正確，即可求解．解：如圖，∵BC⊥y軸，∴BC∥AD，∵AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)，則，①若四邊形ABCD是菱形，則BC=AB，∴，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴，∴，解得：，該方程有解，∴四邊形ABCD可能菱形，故①正確；②若四邊形ABCD是正方形，則AB⊥x軸，AB⊥BC，BC=AB，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為5，∵點(diǎn)B是函數(shù)圖象上，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，∴∵BC⊥y軸，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，∵點(diǎn)C是函數(shù)的圖象的一點(diǎn)，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，∴此時(shí)，∴四邊形ABCD不可能是正方形，故②錯(cuò)誤；③若a=1時(shí)，點(diǎn)，則，∴AD=BC=7，，∴此時(shí)四邊形ABCD的周長為，若a=2時(shí)，點(diǎn)，則，∴AD=BC=4，，∴此時(shí)四邊形ABCD的周長為，∴四邊形ABCD的周長不是定值，故③錯(cuò)誤；∵，，∴AD=，點(diǎn)B到x軸的距離為a，∴四邊形ABCD的面積為，∴四邊形ABCD的面積是定值，故④正確；∴正確的有①④．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，正方形的判定，平行四邊形的周長、面積公式，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共5小題，共15分）11.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是_____________．【答案】，且．【解析】【分析】根據(jù)分式的分母不為零、二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)求解可得答案．解：根據(jù)題意，得：x-2≠0且x+1≥0，解得x≥-1且x≠2，故答案為：x≥-1且x≠2．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)自變量的取值范圍，①當(dāng)表達(dá)式的分母不含有自變量時(shí)，自變量取全體實(shí)數(shù)．②當(dāng)表達(dá)式的分母中含有自變量時(shí)，自變量取值要使分母不為零．③當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式是偶次根式時(shí)，自變量的取值范圍必須使被開方數(shù)不小于零．④對(duì)于實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達(dá)式有意義外，還要保證實(shí)際問題有意義．掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12.某公司從德、能、勤、績、廉等五方面按對(duì)員工進(jìn)行年終考評(píng)．公司某職員在2023年度五個(gè)方面得分如圖所示，則該職員的年終考評(píng)為_____分．【答案】【解析】【分析】本題考查加權(quán)平均數(shù)．根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法即可解答本題．解：由題意可得，該職員的年終考評(píng)為（分，故答案為：．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)，△OAB沿x軸向右平移后得到△O′A′B′，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′在直線y＝x上，則點(diǎn)B與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′間的距離為_____．【答案】4．【解析】解：如圖，連接AA′、BB′．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），△OAB沿x軸向右平移后得到△O′A′B′，∴點(diǎn)A′的縱坐標(biāo)是3．又∵點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線y=x上一點(diǎn)，∴3=x，解得x=4，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（4，3），∴AA′=4，∴根據(jù)平移的性質(zhì)知BB′=AA′=4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、坐標(biāo)與圖形變化﹣平移．根據(jù)平移的性質(zhì)得到BB′=AA′是解題的關(guān)鍵．14.如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過對(duì)角線的交點(diǎn)P，已知點(diǎn)A、C、D在坐標(biāo)軸上，，的面積為4，則____________．【答案】【解析】【分析】由平行四邊形面積轉(zhuǎn)化為矩形BDOA面積，在得到矩形PDOE面積，應(yīng)用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的意義即可．解：過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BD⊥x軸，∴ABDO為矩形，∴AB＝DO，∴S矩形ABDO＝S?ABCD＝4，∵P為對(duì)角線交點(diǎn)，PE⊥y軸，∴四邊形PDOE為矩形面積為2，∵反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)P，∴|k|＝S矩形PDOE＝2，∵圖象在第二象限，∴k＜0，∴k＝﹣2，故答案為﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義以及平行四邊形的性質(zhì)，理解等底等高的平行四邊形與矩形面積相等是解題的關(guān)鍵．15.如圖，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝6，點(diǎn)E為射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿直線AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，DE的長為_______．【答案】15或【解析】【分析】分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)可得，由勾股定理可求得，再由勾股定理可求得DE的長．如圖，若點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，過點(diǎn)作，四邊形ADNM是矩形，把△ADE沿直線AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，；如圖，點(diǎn)E在線段DC的延長線上，過點(diǎn)作，同理可求，，綜上所述，DE的長為15或，故答案：15或【點(diǎn)睛】本題考查翻折變、矩形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是解題關(guān)鍵．三、解答題：本題共8小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.（1）計(jì)算：（2）化簡：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)絕對(duì)值的意義、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪分別計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可得到答案；（2）先將括號(hào)里面的通分運(yùn)算，再利用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可得到答案.解：（1）原式；（2）原式.【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.17.第七十五屆聯(lián)合國大會(huì)將每年的7月25日設(shè)為“世界預(yù)防溺水日”，在暑假即將來臨之際，某校為確保學(xué)生安全，開展了“遠(yuǎn)離溺水，珍愛生命”的防溺水安全知識(shí)競賽．現(xiàn)從該校七、八年級(jí)中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的競賽成績（百分制）進(jìn)行整理和分析（成績得分用x表示），共分成四組：A．，B．，C．，D．，下面給出了部分信息：七年級(jí)10名學(xué)生的競賽成績是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96，八年級(jí)10名學(xué)生的競賽成績?cè)贑組中的數(shù)據(jù)是：92，92，94，94，七、八年級(jí)抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計(jì)表年級(jí)七年級(jí)八年級(jí)平均數(shù)9292中位數(shù)96m眾數(shù)b98方差28八年級(jí)抽取學(xué)生競賽成績扇形統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中，，；（2）該校七、八年級(jí)共1200人參加了此次競賽活動(dòng)，估計(jì)參加此次競賽活動(dòng)成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是多少？（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生掌握防溺水安全知識(shí)較好？請(qǐng)說明理由（一條理由即可）．【答案】（1）30，96，93（2）估計(jì)參加此次競賽活動(dòng)成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是540人（3）雖然七、八年級(jí)平均分均為92分，但八年級(jí)的眾數(shù)高于七年級(jí)（言之有理即可）【解析】【分析】本題考查讀扇形統(tǒng)計(jì)圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問題．（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）利用樣本估計(jì)總體思想求解可得；（3）根據(jù)八年級(jí)的眾數(shù)高于七年級(jí)，于是得到八年級(jí)學(xué)生掌握防溺水安全知識(shí)較好．【小問1】解：，∴D組的人數(shù)人，∵八年級(jí)10名學(xué)生的競賽成績的中位數(shù)是第5和第6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，，∵在七年級(jí)10名學(xué)生的競賽成績中96出現(xiàn)的次數(shù)最多，，故答案為：；【小問2】估計(jì)參加此次競賽活動(dòng)成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是：(人)，答：估計(jì)參加此次競賽活動(dòng)成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是540人．【小問3】八年級(jí)學(xué)生掌握防溺水安全知識(shí)較好，理由：雖然七、八年級(jí)的平均分均為92分，但八年級(jí)的眾數(shù)高于七年級(jí)．（答案不唯一）18.【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容．平行四邊形的性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線互相平分．我們可以用演繹推理證明這個(gè)結(jié)論．已知：如圖1，的對(duì)角線和相交于點(diǎn)．求證：．請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖1，寫出完整的證明過程．【性質(zhì)應(yīng)用】如圖2，在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)且與邊分別相交于點(diǎn)．求證：．【拓展提升】在【性質(zhì)應(yīng)用】的條件下，連結(jié)．若，的周長是，則的周長是________．【答案】【教材呈現(xiàn)】：見解析；【性質(zhì)應(yīng)用】：見解析；【拓展提升】【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；[教材呈現(xiàn)]由平行四邊形的性質(zhì)得出，，則，，再由證得，即可得出結(jié)論；[性質(zhì)應(yīng)用]由平行四邊形的性質(zhì)得出，，則，，再由證得，即可得出結(jié)論；[拓展提升]由，得出，，證是等腰三角形，得出，則+BF，推出的周長，再由平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．[教材呈現(xiàn)]證明：四邊形是平行四邊形，，，，，在和中，，，，；性質(zhì)應(yīng)用證明：四邊形是平行四邊形，，，，，在和中，，，；[拓展提升]解：如圖2，，，，，是等腰三角形，，，的周長，四邊形是平行四邊形，，，?的周長，故答案為：．19.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，B兩點(diǎn)．（1）求b和k的值；（2）在反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)和，若，試確定和的大小關(guān)系，并寫出判斷過程；（3）請(qǐng)直接寫出關(guān)于x的不等式組的解集是．【答案】（1）（2）當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（3）【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)代入反比例函數(shù)，求得，將點(diǎn)代入，求得即可；（2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)在第二四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，進(jìn)而分類討論即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解；【小問1】解：將點(diǎn)代入反比例函數(shù)和一次函數(shù)，，；【小問2】解：∵，∴反比例函數(shù)在第二四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，∴當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖象可得，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【小問3】解：由（1）得反比例函數(shù)和一次函數(shù)，聯(lián)立得，解得：或，，根據(jù)圖象可知，，令，則，故，

根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，．20.如圖，在中，，過點(diǎn)的直線，為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交直線于，垂足為，連接，．（1）求證：；（2）當(dāng)D在中點(diǎn)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？說明你的理由；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．【答案】（1）見解析（2）四邊形是菱形，理由見解析（3）45°【解析】【分析】（1）先求出四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；（2）求出四邊形是平行四邊形，求出，根據(jù)菱形的判定推出即可；（3）當(dāng)，四邊形是正方形．【小問1】證明：，，，，，，即，四邊形是平行四邊形，；【小問2】解：四邊形是菱形，理由是：為中點(diǎn)，，，，，四邊形是平行四邊形，，為中點(diǎn)，，四邊形是菱形；【小問3】解：當(dāng)時(shí)，，，由（2）可知，四邊形是菱形，，，四邊形是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，正方形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．21.2024年中央一號(hào)文件強(qiáng)調(diào)“強(qiáng)化農(nóng)業(yè)科技支撐”，充分發(fā)揮科技生產(chǎn)力企業(yè)和產(chǎn)業(yè)發(fā)展的作用．某鎮(zhèn)計(jì)劃引進(jìn)無人機(jī)田間噴灑農(nóng)藥技術(shù)，無人機(jī)噴灑農(nóng)藥時(shí)，平均每畝地用藥量比常規(guī)噴藥壺用藥量少，無人機(jī)用藥噴灑的農(nóng)田面積與常規(guī)噴藥壺用藥噴灑的農(nóng)田面積相同．（1）求無人機(jī)噴灑農(nóng)藥時(shí)，平均每畝地的用藥量．（2）該鎮(zhèn)計(jì)劃采購A，B兩種型號(hào)噴藥無人機(jī)共20臺(tái)，已知A型號(hào)噴藥無人機(jī)每臺(tái)15000元，B型號(hào)噴藥無人機(jī)每臺(tái)20000元，政府要求采購A型號(hào)噴藥無人機(jī)的數(shù)量不高于B型號(hào)噴藥無人機(jī)的．請(qǐng)計(jì)算該鎮(zhèn)采購兩種型號(hào)各多少件時(shí)，費(fèi)用最少？并求出最少費(fèi)用．【答案】（1）無人機(jī)噴灑農(nóng)藥時(shí)，平均每畝地的用藥量為（2）該鎮(zhèn)采購A種型號(hào)5件，B種型號(hào)15件時(shí)，費(fèi)用最少375000元【解析】【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一次函數(shù)．（1）設(shè)無人機(jī)噴灑農(nóng)藥時(shí)，平均每畝地的用藥量為，則用常規(guī)噴藥壺噴灑農(nóng)藥時(shí)，平均每畝地的用藥量為，根據(jù)無人機(jī)用藥噴灑的農(nóng)田面積與常規(guī)噴藥壺用藥噴灑的農(nóng)田面積相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)采購m臺(tái)A型號(hào)噴藥無人機(jī)，則采購臺(tái)B型號(hào)噴藥無人機(jī)，利用總費(fèi)用=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合A型號(hào)噴藥無人機(jī)的數(shù)量不高于B型號(hào)噴藥無人機(jī)的，可列出關(guān)于m的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【小問1】解：設(shè)無人機(jī)噴灑農(nóng)藥時(shí)，平均每畝地的用藥量為，則用常規(guī)噴藥壺噴灑農(nóng)藥時(shí)，平均每畝地的用藥量為，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意．答：無人機(jī)噴灑農(nóng)藥時(shí)，平均每畝地的用藥量為；【小問2】解：設(shè)采購m臺(tái)A型號(hào)噴藥無人機(jī)，則采購臺(tái)B型號(hào)噴藥無人機(jī)，費(fèi)用為W元．根據(jù)題意得：，∵A型號(hào)噴藥無人機(jī)的數(shù)量不高于B型號(hào)噴藥無人機(jī)的，∴，則，∵，∴W隨m的增大而減小，當(dāng)時(shí)，元，此時(shí)（臺(tái)），答：該鎮(zhèn)采購A種型號(hào)5件，B種型號(hào)15件時(shí)，費(fèi)用最少375000元．22.定義：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)除外），過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，若由點(diǎn)P、原點(diǎn)O、兩個(gè)垂足A、B為頂點(diǎn)的矩形的周長與面積的數(shù)值相等時(shí)，則稱點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系中的“美好點(diǎn)”．圖1【嘗試初探】（1）點(diǎn)“美好點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；若點(diǎn)是第一象限內(nèi)的一個(gè)“美好點(diǎn)”，則；【深入探究】（2）①若“美好點(diǎn)”在雙曲線（，且k為常數(shù)）上，則；②在①的條件下，在雙曲線上，求的值；【拓展延伸】（3）我們可以從函數(shù)的角度研究“美好點(diǎn)”，已知點(diǎn)是第一象限內(nèi)的“美好點(diǎn)”．①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；②在圖2的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象的草圖，觀察圖象可知該圖象可由函數(shù)的圖象平移得到；圖2③結(jié)合圖象研究性質(zhì)，下列結(jié)論正確的選項(xiàng)是（多選）．A．圖象與經(jīng)過點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸的直線沒有交點(diǎn)B．y隨著x的增大而減小C．y隨著x的增大而增大D．圖象經(jīng)過點(diǎn)【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①；②詳見解析，；③A，B【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，理解“美好點(diǎn)”的定義，是解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義可以判斷點(diǎn)是不是“美好點(diǎn)”，根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義得到，進(jìn)行計(jì)算即可得到的值；（2）①根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義求出的值，得到的坐標(biāo)，將點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；②先由①得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線的解析式，令直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；（3）①根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義可得，化簡整理即可得到答案；②描點(diǎn)連線即可得到圖象，由圖象觀察可知，該圖象可由平移得到；③先畫出草圖，再根據(jù)圖象逐一判斷即可得到答案；解：（1）∵，∴點(diǎn)不是“美好點(diǎn)”，∵點(diǎn)是第一象限內(nèi)的一個(gè)“美好點(diǎn)”，∴，解得：，故答案為：不是，4；（2）①∵是“美好點(diǎn)”，∴，解得：，，將代入雙曲線，得，故答案為：18；②∵在雙曲線上，，，設(shè)直線的解析式為：，，解得，∴直線的解析式為：，令直線與