第1章三角形的證明（全章復習與鞏固）（基礎篇）一、單選題1．已知等腰三角形的兩邊長為x，y，且滿足，則三角形的周長為（）A． B． C． D．或2．下列各組數中不能作為直角三角形的三邊長的是（

）A．1，2， B．6，8，10 C．5，12，13 D．1．5，2，33．已知：是等腰三角形，，是底邊上的高，下面結論不一定成立的是（）A． B． C．平分 D．4．如圖，，分別是線段，的垂直平分線，連接，，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧相交于點D和點E，直線交于點F，交于點G，連接，若，則的周長為（）A． B． C． D．86．如圖，在四邊形中，，，，對角線平分，則的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，在中，，，，是邊上一動點，連接，那么的長度不可能是（

）A． B． C． D．8．如圖，在中，，，以點B為圓心，長為半徑畫弧，交于點T，連接，則的度數是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°9．如圖，中，是邊的高線，平分，，，則的面積是（）A． B． C． D．10．如圖，在△BAC中，∠B和∠C的平分線相交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，若BD=5，CE=4，則線段DE的長為（）?A．9 B．6 C．5 D．4二、填空題11．如圖，在中，，是高，，，則的長是_________．12．如圖，在中，，，且與交于點H，若，則的度數為___________°．13．如圖，在中，是的垂直平分線，，，則長是__________．14．如圖，，，垂足分別為、，、相交于點，且平分，，則______．15．如圖，在中，，，點為延長線上一點，點為邊上一點，若，則的度數為________．16．如圖，在中，于點D，C是上一點，，且點C在的垂直平分線上．若的周長為30，則的長為_________．17．如圖，等邊和等邊的邊長都是4，點在同一條直線上，點P在線段上，則的最小值為__________．18．已知，P是射線上一動點（即P點可在射線上運動），．設．則x滿足條件________________________時，為鈍角三角形．三、解答題19．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB，于點E（1）求證：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的長．20．如圖，在中，是高．動手操作：利用尺規作圖作的平分線，交邊于點E（不寫作法，保留作圖痕）．在（1）的條件下，若，，求的度數；21．如圖，在中，，，是邊上的一點，以為直角邊作等腰，其中，連接．求證：；若時，求的長．22．如圖，在中，，分交于點，過點作交于點，，垂足為點．(1)求證：；(2)若，，求的長．23．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BC交CF的延長線于D．(1)求證：AE＝CD；(2)若AC＝12cm，求BD的長24．如圖1，和均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接．求證：；求的度數；探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一直線上，于點M，連接．①的度數為°；②線段之間的數量關系為．（直接寫出答案，不需要說明理由）參考答案1．C【分析】先根據非負數的性質求出x、y的值，再分4是腰長與底邊兩種情況討論求解．解：∵，∴，，解得：，，4是腰長時，三角形得三邊分別為4、4、8，∵，∴不能組成三角形；4是底邊時，三角形得三邊分別為4、8、8，可以組成三角形，周長，所以三角形得周長為20．故答案選：D【點撥】本題考查了等腰三角形的性質，絕對值的非負性和平方非負性的性質，根據幾個非負數的和等于零，則每一個算式都等于零求出x、y的值是解此類題的關鍵．2．D【分析】根據勾股定理的逆定理，即如果三角形的三條邊滿足則這個三角形是直角三角形，即可得出結果選D解：A、滿足勾股定理的逆定理，故此項不選B、滿足勾股定理的逆定理，故此項不選C、滿足勾股定理的逆定理，故此項不選D、不滿足勾股定理的逆定理所以不能構成直角三角，故選此項故選擇D．【點撥】本題考查勾股定理的逆定理，掌握住勾股定理的逆定理是解題的關鍵．3．B【分析】根據等腰三角形的性質即可確定答案．解：由等腰三角形三線合一的性質可得：，平分，由等邊對等角的性質可得，由等腰三角形的性質不一定有，除非是等腰直角三角形．故選：B．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形三線合一的性質是關鍵．4．B【分析】根據線段的垂直平分線的性質即可求解．解：如圖所示，連接，∵，分別是線段，的垂直平分線，∴，故選：．【點撥】本題主要考查線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解題的關鍵．5．A【分析】先利用勾股定理求出，再根據作圖方法可知是線段的垂直平分線，則，最后根據三角形周長公式進行求解即可．解：在中，，，∴，由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，∴，∴的周長，故選A．【點撥】本題主要考查了勾股定理，線段垂直平分線的尺規作圖，線段垂直平分線的性質，證明的周長是解題的關鍵．6．B【分析】過D作于E，根據角平分線的性質得出，再根據三角形的面積公式求出答案即可．解：過D作于E，∵，對角線平分，∴，∵，∴，∵，∴，故選B．【點撥】本題考查了三角形的面積和角平分線的性質，能熟記角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解此題的關鍵．7．D【分析】在中，利用“在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半”可求出的長，由點是邊上一動點結合，的長，即可得出長的取值范圍，再對照四個選項即可得出結論．解：在中，，，，．點是邊上一動點，，即．故選：D．【點撥】本題考查了含度角的直角三角形的性質通過解含度角的直角三角形，求出的長是解題的關鍵．8．B【分析】根據，，計算；根據，得，根據直角定義計算的度數即可．解：因為，，所以；因為，所以，所以，故選B．【點撥】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余，等腰三角形的性質，本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質是解題的關鍵．9．B【分析】過點E作于點F，根據角平分線的性質，得出，根據三角形面積公式進行計算即可．解：過點E作于點F，如圖所示：∵是邊的高線，∴，∵平分，∴，∴，故B正確．故選：B．【點撥】本題主要考查了角平分線的性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊距離相等．10．A【分析】根據△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F．求證∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，再利用兩直線平行內錯角相等，求證出∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，即BD=DF，FE=CE，然后利用等量代換即可求出線段DE的長．解：∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，∵DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E，∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠ECF，∴BD=DF=5，FE=CE=4，∴DE=DF+EF=5+4=9．故選A．【點撥】本題主要考查了學生對等腰三角形的判定和平行線的性質的理解和掌握，此題難度不大，是一道基礎題．11．16【分析】根據直角三角形中所對的邊是斜邊的一半，將的長轉化成即可求解．解：∵在中，，，∴，∵是高，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴故答案為：．【點撥】本題主要考查了直角三角形中所對的邊是斜邊的一半，熟練掌握等量代換是解題關鍵．12．130【分析】根據直角三角形兩銳角互余求出，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得計算即可得解．解：∵，∴，∴，∵，∴，由三角形的外角性質得，．故答案為：130．【點撥】本題考查了直角三角形的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記各性質是解題的關鍵．13．16【分析】根據線段垂直平分線的性質得到，結合圖形計算，得到答案．解：∵是的垂直平分線，∴，∴，故答案為：16．【點撥】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．14．2【分析】根據角平分線的性質定理即可知．解：∵，，∴，．∵平分，∴．故答案為：2．【點撥】本題考查角平分線的性質定理．掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題關鍵．15．##65度【分析】根據直角三角形的性質求出，再根據三角形的外角性質求出。解：在中，，，則，是的外角，，故答案為：．【點撥】本題考查的是直角三角形的性質、三角形的外角性質，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題關鍵。16．15【分析】利用垂直平分線的性質解題即可．解：∵于點D，，∴，∵點C在的垂直平分線上，∴，∴，∵的周長為，∴，∴，故答案為：15．【點撥】本題主要考查垂直平分線的性質，能夠熟練運用垂直平分線的性質是解題關鍵．17．8【分析】連接，根據和都是邊長為4的等邊三角形，證明，可得，所以，進而可得當點P與點C重合時，的值最小，正好等于的長，即可求解．解：如圖，連接，∵和都是邊長為4的等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴當點P與點C重合時，點A與點關于對稱，的值最小，正好等于的長，∴的最小值為，故答案為：8．【點撥】本題考查了軸對稱—最短路線問題、全等三角形的判定和性質和等邊三角形的性質，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．18．或【分析】分兩種情況，當和時，根據直角三角形的性質分別求得的長，再根據鈍角三角形的定義解答．解：當時，，∴，當時，，∴，∴當或時，為鈍角三角形，故答案為：或．【點撥】本題考查的是直角三角形的性質，掌握所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關鍵．19．（1）見分析（2）BD=2【分析】（1）根據角平分線性質求出CD=DE，根據HL定理求出兩個三角形全等即可．（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根據含30度角的直角三角形性質求出即可．解：（1）證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED，CD=1，∴DC=DE=1．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．20．(1)見分析 (2)的度數為【分析】（1）依據角平分線的尺規作圖方法，即可得到的平分線；（2）依據三角形內角和定理以及角平分線的定義，即可得出以及的度數，即可得到的度數．（1）解：如圖所示，即為所求；；（2）解：∵是高，∴，在中，，，∴，在中，，，∴，由（1）知，為的平分線，∴，∴．【點撥】本題主要考查了基本作圖以及三角形內角和定理，解決問題的關鍵是掌握角平分線的定義以及尺規作圖方法．21．(1)見分析 (2)【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質可得，進而證明，即可根據證明；（2）勾股定理求得根據已知條件證明是等腰三角形可得，進而根據即可求解．解：（1）證明：是等腰直角三角形，，，，在與中；，（2）在中，，，,,,,,∴∠ADC=∠ACD，,．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質與判定，勾股定理，全等三角形的性質與判定，掌握等腰三角形的性質與判定是解題的關鍵．22．(1)見分析 (2)【分析】（1）利用角平分線平分角，得到，利用平行線的性質，得到，從而得到：，即可得到：；（2）利用角平分線的性質，得到，利用勾股定理求出的長，再根據，，求出的長，再利用勾股定理，求出的長即可．解：（1）證明：∵分交于點，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，分交于點，，∴，∴，在中，，∵，∴，在中，．【點撥】本題考查角平分線的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，以及勾股定理．熟練掌握有角平分線和平行線，必有等腰三角形，是解題的關鍵．23．(1)見分析 (2)BD=6cm．【分析】（1）利用角角邊證明△DBC≌△ECA即可；（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的長．解：（1）證明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，在△DBC和△ECA中，∵，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE=CD；（2）解：∵△CDB≌△AEC，∴BD=CE，∵AE是BC邊上的中線，∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．∴BD=6cm．【點撥】本題考