第1章三角形的證明（全章復習與鞏固）（鞏固篇）一、單選題 1．已知等腰三角形的一邊長為，另一邊長為，則三角形的周長為（）A．1 B．1 C．1或 D．12．已知實數x，y，z滿足，則以x，y，z的值為邊長的三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷3．如圖，在中，邊上的中線交于點O，則的面積為（

）A．20 B．22 C．24 D．254．如圖，在中，和的平分線相交于點F，過F作，交于點D，交于點E．若，則線段的長為（

）A．3 B．4 C．2 D．2.55．如圖，點A的坐標是，若點P在x軸上，且是等腰三角形，則點P的坐標不可能是（

）A． B． C． D．6．如圖，的面積為，平分，于點，連接，則的面積為（

）A． B． C． D．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點D，EF垂直平分AB，交AB于點E、AC于點F，在EF上確定一點P，使PB＋PD最小，則這個最小值為（

）A．10 B．11 C．12 D．138．如圖，點是線段所在的直線外一點，小明進行了如下的“尺規作圖”：①以點為圓心，為半徑畫弧；②以點為圓心，為半徑畫弧，兩弧交于點；③做直線則下面結論正確的是：（

）A．B．平分C．即垂直又平分D．即不垂直也不平分9．如圖,直角三角形紙片兩直角邊長分別為6,8,按如圖折疊,使A與B重合,折痕為DE,則S△BCE：S△BDE等于（

）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：2110．已知點在線段上，分別以、為邊作等邊三角形和等邊三角形，連接與相交于點，連接與相交于點，連接、，則①；②≌；③；④是等邊三角形；⑤平分；⑥；以上結論正確的個數是（

）A．個 B．個 C．個 D．個二、填空題11．如圖，已知，點在邊上，，點，在邊上，，若，則___________．12．如圖，在中，，的垂直平分線交于點D，交于點E，那么____________度．13．如圖，在Rt△ABC中，AC的垂直平分線DE交AC于點D，交BC于點E，∠BAE＝20°，則∠DCE的度數是為_____．14．如圖，點A為等邊三角形BCD外一點，連接AB、AD且AB=AD，過點A作分別交BC、BD于點E、F，若，則線段AE的長________．15．如圖，在長方形ABCD中，以點A為圓心，交AD于點M、AB于點N，再分別以點M、N為圓心大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點O；再分別以點A、C為圓心，大于AC，兩弧相交于P、Q兩點，連接PQ并延長，則圖中=______．16．如圖，已知△ABC的周長是21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點D，且OD＝4，△ABC的面積是_____．17．如圖所示，直線a經過正方形ABCD的頂點A，分別過正方形的頂點B、D作BF⊥a于點F，DE⊥a于點E，若DE＝8，BF＝5，則EF的長為_______．18．在中，，，，點是邊上一點，連接，把沿折疊，使點落在點處，連接，當為直角三角形時，的長為______．三、解答題19．如圖所示，等腰三角形中，，，線段于點D．求等腰三角形的面積；建立適當的直角坐標系，使其中一個頂點的坐標是，并寫出其余兩頂點的坐標．20．己知如圖，中，，，D為的中點，，垂足為E，過點B作，交DE的延長線于點F，連接交于點G．探究和有什么數量關系和位置關系？并證明你的猜想．21．如圖，在中，，點在上運動，點在上運動，始終保持與相等，的垂直平分線交于點，交于點，連接．(1)判斷與的位置關系，并說明理由；(2)若，，，求線段的長．22．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、BC、AC上一點，且∠DEF＝60°．(1)若∠1＝50°，求∠2；(2)連接DF，若DF∥BC，求證：∠1＝∠3．23．如圖，在中，，AD是的角平分線，于E，點F在邊AC上，連接DF．(1)求證：；(2)若，試說明與的數量關系；(3)在（2）的條件下，若，則BE的長______（用含m，n的代數式表示）．24．如圖，中，，，點O在邊上運動（O不與B、C重合），點D在線段上，連結，．點O運動時，始終滿足．當時，判斷的形狀并說明理由；當的最小值為2時，此時；在點O的運動過程中，的形狀是等腰三角形時，求此時的度數．25．已知，是一條角平分線．【探究發現】如圖1，若是的角平分線．可得到結論：．小紅的解法如下：過點D作于點E，于點F，過點A作于點G，∵是的角平分線，且，∴______．∴______，又∵，∴______．【類比探究】如圖2，若是的外角平分線，與的延長線交于點D．求證：【拓展應用】如圖3，在中，，分別是的角平分線且相交于點D，，直接寫出的值是______．參考答案1．C【分析】分是腰長和底邊兩種情況討論求解．解：是腰長時，三角形的三邊分別為、、，能組成三角形，周長為，是底邊時，三角形的三邊分別為、、，能組成三角形，周長為，綜上所述，此三角形的周長是或．故選C．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質，難點在于要分情況討論．2．B【分析】根據平方式、算式平方根和絕對值的非負性求出x、y、z，再根據勾股定理的逆定理判斷即可.解：∵實數x，y，z滿足，∴x=5，y=12，z=13，∵52+122=132，∴x2+y2=z2∴以x，y，z的值為邊長的三角形是直角三角形，故選B.【點撥】本題考查平方式、算式平方根和絕對值的非負性、勾股定理的逆定理，熟練掌握非負性是解答的關鍵.3．C【分析】根據等腰三角形的性質求出，再根據勾股定理求出，即可求出的面積，根據三角形中線的性質即可求出的面積.解：，，在中，，是邊上的中線，故選：C．【點撥】本題考查的是勾股定理、直角三角形的性質，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．4．C【分析】根據，和的平分線相交于點F，得證，結合，計算選擇即可．解：因為，和的平分線相交于點F，所以所以，所以，因為，所以，故選C．【點撥】本題考查了平行線的性質，等腰三角形的判定，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質和等腰三角形的判定是解題的關鍵．5．B【分析】先根據勾股定理求出的長，再根據①；②；③分別算出點坐標即可．解：點的坐標是，根據勾股定理可得：，①若，可得：，②若可得：，③若，可得：，或，，，，，，，，故點的坐標不可能是：．故選：B．【點撥】此題主要考查了坐標與圖形的性質，等腰三角形的判定、勾股定理，解題的關鍵是掌握等腰三角形的判定：有兩邊相等的三角形是等腰三角形，再分情況討論．6．C【分析】延長AP交BC于點D，先根據已知條件可得AB=AD，再根據等腰三角形的性質可得AP=DP，再根據三角形中線的性質可得S△APB=S△DBP，S△APC=S△DPC，進一步可得△PBC的面積．解：延長AP交BC于點D，如圖所示，∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，∴∠ABP=∠DBP，∠APB=∠DPB=90°，∴∠PAB=∠PDB，∴BA=BD，∵BP⊥AD，∴AP=DP，∴S△APB=S△DBP，S△APC=S△DPC，∴S△PBC＝S△ABC，∵△ABC的面積為8cm2，∴△PBC的面積為4cm2，故選：C．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質，角平分線的定義，三角形中線的性質，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．7．C【分析】根據三角形的面積公式得到AD=6，由EF垂直平分AB，得到點A，B關于直線EF對稱，于是得到AD的長度=PB+PD的最小值，即可得到結論．解：∵BC＝10，，AD⊥BC于點D，∴AD＝12，∵EF垂直平分AB，∴PA＝PB，PB＋PD＝PA＋PD，如圖，當P為EF與AD的交點時，PA＋PD取最小值，此時，PA＋PD＝AD＝12，∴PB＋PD的最小值為12，故本題選：C．【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，知道AD的長度=PB+PD的最小值是解題的關鍵．8．A【分析】根據“SSS”證明△ABC≌△ABD，可得∠CAB=∠DAB，然后根據三線合一即可證明CD⊥AB．解：連接AD，BD．在△ABC和△ABD中，∵AC=AD，BC=BD，AB=AB，∴△ABC≌△ABD，∴∠CAB=∠DAB，∴CD⊥AB，故A正確，D錯誤，無法證明B、C的正確性．故選A．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵．也考查了等腰三角形三線合一的性質．9．B【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理計算出AB=10，根據折疊的性質得到AD=BD=5，EA=EB，設AE=x，則BE=x，EC=8-x，在Rt△BEC中根據勾股定理計算出x＝，則EC＝，利用三角形面積公式計算出S△BCE＝BC?CE＝×6×＝，在Rt△BED中利用勾股定理計算出ED＝＝，利用三角形面積公式計算出S△BDE＝BD?DE＝×5×＝，然后求出兩面積的比．解：在Rt△BAC中，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，∵把△ABC沿DE使A與B重合，∴AD＝BD，EA＝EB，∴BD＝AB＝5，設AE＝x，則BE＝x，EC＝8﹣x，在Rt△BEC中，∵BE2＝EC2+BC2，即x2＝（8﹣x）2+62，∴x＝，∴EC＝8﹣x＝8﹣＝，∴S△BCE＝BC?CE＝×6×＝，在Rt△BED中，∵BE2＝ED2+BD2，∴ED＝＝，∴S△BDE＝BD?DE＝×5×＝，∴S△BCE：S△BDE＝：＝14：25．故選：B．【點撥】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等．也考查了勾股定理．10．D【分析】依據等邊三角形的性質，判定△BCD≌△ACE，△ACN≌△BCM，△BCF≌△ACO，再分別依據全等三角形的對應邊相等，對應角相等，對應邊上的高相等，即可得到正確的結論．解：∵三角形ABC和三角形DCE都是等邊三角形，∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE=120°，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴AE=BD，故①正確；∴∠CBM=∠CAN，又∵∠BMC=∠AMO，∴∠AOB=∠ACB=60°，∴∠BOE=180°?60°=120°，故③正確；∵∠CBM=∠CAN，∠BCM=∠ACN=60°，BC=AC，∴△ACN≌△BCM(ASA)，故②正確；∴CM=CN，又∵∠MCN=60°，∴△MCN是等邊三角形，故④正確；如圖，過C作CG⊥BD，CH⊥AE，∵△BCD≌△ACE，∴△BCD中BD邊上的高與△ACE中AE邊上的高對應相等，即CG=CH，∴點C在∠BOE的角平分線上，即CO平分∠BOE，故⑤正確；如圖，在BO上截取OF=OC，則△COF是等邊三角形，∴CO=CF=OF，∠BFC=120°=∠AOC，又∵∠CAO=∠CBF，AC=BC，∴△BCF≌△ACO(AAS)，∴BF=AO，∴BO=BF+OF=AO+CO，故⑥正確；故選：D．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質與判斷的綜合運用，在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．11．5【分析】作PC⊥MN于C，根據等腰三角形的性質求出MC，根據直角三角形的性質求出OC，計算即可．解：過點P作PC⊥OB，垂足為C，∵PM＝PN，∴MC＝NCMN＝2，∵∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OCOP＝7，∴OM＝OC﹣MC＝5，故答案為：5．【點撥】本題考查的是直角三角形的性質、等腰三角形的性質，掌握直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．12．15【分析】根據等腰三角形的性質求出，根據線段的垂直平分線的性質得到，計算即可．解：∵，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，故答案為：15．【點撥】本題考查的是等腰三角形的性質，線段的垂直平分線的性質，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．13．35°【分析】由直角三角形兩銳角互余及∠BAE＝20°，可得，根據線段垂直平分線的性質可得，根據等邊對等角可得答案．解：在Rt△ABC中，，，，，AC的垂直平分線DE交AC于點D，，，故答案為：35°．【點撥】本題考查了直角三角形的性質及線段垂直平分線的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．14．15【分析】連接AC交BD于點O，可得AC是BD的垂直平分線，設BD=4x，則AE=3x，求出OF=OB-BF=2x-5，AF=AE-EF=3x-5，證明△BOE是等邊三角形，得，利用AF=2OF列出方程求出x的值，進而可得AE的長．解：如圖，連接AC交BD于點O，∵3BD=4AE，∴，設BD=4x，則AE=3x，∵△BCD是等邊三角形，∴BC=CD=BD=4x，∠DCB=∠DBC=60°，∵AB=AD，BC=CD，∴AC是BD的垂直平分線，∴OB=OD=2x，OC平分∠BCD，∠AOF=90°，∴∠DCO=∠DCB=30°，∴，∵AE∥CD，∴∠AEB=∠BCD=60°，∴∠AEB=∠FBE=∠BFE=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BE=BF=EF=5，∠BFE=60°，∴OF=OB-BF=2x-5，AF=AE-EF=3x-5，∵∴∴∴，解得x=5，∴AE=3x=15．故答案為：15．【點撥】本題考查了垂直平分線的判定與性質，勾股定理，等邊三角形的判定與性質，直角三角形的性質，解決本題的關鍵是得到AF=2OF列出方程求解．15．56°【分析】先利用平行線的性質得到∠DAC＝68°，再根據基本作圖得到AO平分∠DAC，則∠DAO＝∠CAO＝34°，根據基本作圖得到PQ垂直平分AC，所以∠1＝90°，然后利用互余計算出∠2，從而得到∠α的度數．解：如下圖所示：∵四邊形ABCD為矩形，∴，∴∠DAC＝∠BCA＝68°，由作法得AO平分∠DAC，∴∠DAO＝∠CAO＝×68°＝34°，由作法得PQ垂直平分AC，∴∠1＝90°，∴∠2＝90°﹣∠CAO＝90°﹣34°＝56°，∴∠α＝∠2＝56°．故答案為：56°．【點撥】本題考查了角平分線及垂直平分線的作圖法，要由題目的作法理解AO是角平分線，PQ是垂直平分線，也考查了對頂角相等、互余、矩形的性質等，靈活運用知識是解題關鍵．16．42【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得點O到AB、AC、BC的距離都相等（即OE＝OD＝OF），從而可得到的面積等于周長的一半乘以2，代入求出即可．解：如下圖，連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD＝4，∵的周長是21，OD⊥BC于D，且OD＝4，∴＝42，故答案為：42．【點撥】本題主要考查了角平分線的性質及三角形面積的求法，熟練掌握角平分線的性質是解決本題的關鍵．17．13【分析】本題是典型的一線三角模型，根據正方形的性質、直角三角形兩個銳角互余以及等量代換可以證得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的對應邊相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝13．解：∵ABCD是正方形（已知）∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°∴∠FBA＝∠EAD（等量代換）∵BF⊥a于點F，DE⊥a于點E∴在Rt△AFB和Rt△AED中∵∴△AFB≌△DEA（AAS）∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的對應邊相等）∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13故答案為：13【點撥】本題考查了正方形的性質、直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質及熟悉一線三角模型是解本題的關鍵．18．或【分析】把沿折疊，點B的落點E有兩種情況，分情況求解即可．解：在中，，，，，是以為折痕翻折得到的，，，．當為直角三角形時，如圖，當時，，點E在線段上，設，則，，，即，解得：，即；如圖，當，，，，，．綜上所述：當為直角三角形時，的長為或．故答案為：或．【點撥】本題考查了折疊問題，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質，分類討論思想及選擇適當的直角三角形是解題的關鍵．19．(1)12 (2)點C的坐標為，點A的坐標為【分析】（1）由等腰三角形三線合一可知，在中，由勾股定理可求得，即可得到的面積；（2）以所在直線為x軸，的靠近B的三等分點為坐標原點，可知B點坐標為再求出點C和點A的坐標即可．解：（1）∵，∴是等腰三角形，∵，∴，在中，由勾股定理可求得，∴；（2）如圖，以所在直線為x軸，的靠近B的三等分點為坐標原點，可知B點坐標為，則且，∴點C的坐標為，點A的坐標為．【點撥】此題考查了等腰三角形的判定和性質、勾股定理、點的坐標等知識，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．20．，；證明見分析【分析】利用，，，得出，再通過證明為等腰直角三角形，，進而可以證明，結合三角形全等的性質及互余的關系即可證明．解：，．證明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，，∵D為的中點，∴．在和中∴∴，∴，∵，即，∴，∴，∴．【點撥】本題主要考查三角形全等的證明，能夠熟練推理出邊及角度的等量關系來判定三角形全等是解題關鍵．21．(1)；理由見分析 (2)【分析】（1）根據，得出，根據垂直平分線的性質得出，得出，根據，得出，即可得出，即可得出答案；（2）連接，設，則，，根據勾股定理得出，求出，即可得出答案．（1）解：；理由如下：，，是的垂直平分線，，，，，，，；（2）解：連接，設，則，，，，，解得：，則．【點撥】本題主要考查了垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，直角三角形的兩銳角互余，解題的關鍵是作出輔助線，熟記等邊對等角．22．(1)50° (2)見分析【分析】（1）根據等邊三角形的性質，然后根據已知條件進行等量代換即可得到答案；（2）根據平行線的性質以及各角之間的關系，進行等量代換即可求解；（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，∵∠DEF＝60°，∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°；（2）∵DFBC，∴∠FDE＝∠DEB，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∴∠1＝∠3．【點撥】此題考查等邊三角形的性質，關鍵是根據等邊三角形的性質和三角形的內角和解答．23．(1)證明見分析過程； (2)∠B+∠AFD=180°，理由見分析過程； (3)【分析】（1）由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，則有∠ACB=∠AED，聯合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS即可證明△ACD≌△AED，再根據全等三角形的性質即可得解；（2）由△ACD≌△AED，證得DC=DE，然后根據HL判定Rt△CDF≌Rt△EDB，得到∠CFD=∠B，再根據鄰補角的定義等量代換即可得解；（3）由AC=AE，CF=BE，根據AB=AE+BE，AC=AF+CF即可得解．解：（1）證明：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE；（2）解：∠B+∠AFD=180°．理由如下：由（1）得：△ACD≌△AED，∴DC=DE，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴∠CFD=∠B