第2課時單調性與最值

【學習目標】1.掌握y=siiu,y=cosx的單調性，并能利用單調性比較大小.2.會求函數y=

AsinOx+g）及y=Acos（s+9）（其中A,co,9為常數，且AWO,（o>0）的單調區間.3.掌握y=

sinx,y=cosx的最大值與最小值，并會求簡單三角函數的值域和最值.

知識梳理梳理教材夯實基礎

知識點正弦函數、余弦函數的單調性與最值

正弦函數余弦函數

yTT

圖象

旋工3OxJjKX

-1-1

定義域RR

值域『一1,1』『-1,1』

_7171

2左兀一],2左兀+]

在每一個閉區間在每一個閉區間『2攵兀一兀，2女兀」（左右Z）

（左GZ）上都單調）弟增，上都單調遞增，

單調性

2左兀+/,2左兀+專在每一個閉區間『2析，2左兀+兀』（左￡Z）

在每一個閉區間

-]上都單調遞減

（止Z）上都單調）弟減

兀71

%=]+2E(%￡Z)時，＞max=l；X=-2+時，ymax=l；

最值

X=2E+兀他￡Z)時,Jmin——1

2E/￡Z)時，＞min=-1

思考正弦、余弦函數在定義域上是單調函數，正弦函數在第一象限是增函數，這些說法對

嗎？

『答案』正弦、余弦函數不是定義域上的單調函數.因為正弦、余弦函數有遞增和遞減區

間，“正弦函數在第一象限是增函數”也是錯誤的，因為在第一象限的單調遞增區間有無窮

多個，在每個單調遞增區間上，y=siiu都是從0增加到1,但不能看作一個單調區間.

預習小測自我檢驗

1.函數y=2cosx+l的值域為.

『答案』『一1,3』

2.函數y=sinx取最大值時x=.

■JT

『答案』]+2%兀，kGZ

3.函數尸siiu-GwxWTt）的值域為.

『答案』『0,1』

4.函數y=—cosx的單調遞減區間是；單調遞增區間是

『答案』『一兀+2祈，2左兀』（左右Z）『2析，2左兀+兀』（左￡Z）

題型探究探究重點提升素養

--------------------------\--------

一、求正弦函數、余弦函數的單調區間

例1求函數y=2sini—g的單調區間.

7T

解令z=x~y則y=2sinz.

???z=x—蕤增函數，

.?.y=2sinz單調遞增（減）時,

函數y=2sin（j一期也單調遞增（減）.

兀71

由z￡2左兀一5,2%兀+］（%￡Z）,

得x一七2祈一看2E+J（左WZ）,

兀571

即次￡2左兀一不2%兀+不（%￡Z）,

故函數y=2sinQ—§的單調遞增區間為

~,71.5兀"|,

2kll-5,2%兀+不（女￡Z）.

同理可求函數y=2sinQ—§的單調遞減區間為卜配+工，2E+明（％￡Z）.

延伸探究

1.求函數危）=2sin（x—］￡『0,2兀』的單調區間.

解由例題知於）=2sinQ—§的單調遞增區間為2左兀一去2E+普,kRZ,

又,.?元￡『0,2兀』，

._1-5兀__1s,117C

?■或-^~W%&2兀，

同理函數式x）=2sin1—xe『0,2%』的單調遞減區間為［知，野.

（兀、57111兀

函數段）=2sin卜一二），xG『0,2%』的單調遞增區間為［。，&］，［7-，2斗單調遞減區間

、,「5兀11兀一

為國-J-

2.求函數y=sine一x）的單調遞增區間.

Jrjr苧左兀,

令Z=x—而y=—sinz的單調遞增區間是］+2%兀,+2kGZ,

「?令—Z,

57r11jr

得不+2E4W/+2祈JGZ,

.?.函數〉=5由仁一x）的單調遞增區間為看+2加，-^-+2kn,kcz.

（學生留）

反思感悟求正弦、余弦函數的單調區間的策略

（1）結合正、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區間.

（2）在求形如y=Asin（s;+9）（其中A,co,9為常數，且AWO,G>0）的函數的單調區間時，應

采用“換元法”整體代換，將“①x+”'看作一個整體“Z”，即通過求〉=人5由2的單調區間

而求出原函數的單調區間.求形如y=Acos（①］+夕）（其中43（P為常數，且A#0,a>>0）

的函數的單調區間同上.

跟蹤訓練1⑴函數y=sin?一x）,xd『0,2兀』的單調遞減區間為

『答案』0,y,y,2?t

『解析』尸sin僧一j=-sinQ—聿），

令一7+2EWX—

2o2%￡Z,

JT271

解得一2左兀WJCW弓~+2%兀，%￡Z,

2兀、5兀

又If0,2KJ,「.OWxW4或石

???原函數的單調遞減區間為［0,THT,2兀

（2）求函數y=2COS（2L§的單調區間.

JT

角星令2左兀——兀?2%——不忘2女兀（女￡Z）,

SJTIT

即2E—不W2xW2fai+w（%￡Z）,

3兀兀

far一五WxW析+五（%￡Z）.

57r7T

?,?單調遞增區間為左兀一五，E+五（女WZ）.

兀

令2也忘21——不W2祈+兀（％￡2）,

TT/兀

即2E+4W2xW2E:+w（Z￡Z）,

兀7兀

左兀+萬忘%或左兀+適（%￡Z）,

7T771

???單調遞減區間為左兀+五，左兀+方'（%￡Z）.

J函數y=2cos（2x一號）的單調遞增區間為左兀一雪，左兀+點（Z&Z）,

JT77r

單調遞減區間為防r+r，也+行（&GZ）.

二、比較三角函數值的大小

例2比較下列各組數的大小：

⑴sin220°與sin230°；

解（1）因為函數y=sinx在『90。，270。』上單調遞減，且900<220°<230°<2700，所以sin220°>

sin230°.

因為函數、=85X在『0,無』上單調遞減，且0<方<*%,

匕匕）\?兀4兀

所以COSg>COS豆，

,,15兀14兀

故COS-g->cos

因為函數尸sinx在甘，彳上單調遞增，而一5號令全

所以siny<sin專，所以一sin克一sin看.

(20%、(10哈

故sin

反思感悟比較三角函數值大小的步驟

(1)異名函數化為同名函數.

(2)利用誘導公式把已知角轉化到同一單調區間上.

(3)利用函數的單調性比較大小.

跟蹤訓練2比較下列各組數的大小：(l)cos(一芝|與cos子;

(2)cosl與sin2.

解⑴cos(一明7兀

-COSQ=cos

H7兀71

血COS-^=—COSg,

，??函數y=cosx在0,5上單調遞減，且0<福令吟,7171

_N」OO?COSg>COSg.

7T

,.,y=sinx在兀上單調遞減,

-..71.711兀，

又］+1,2￡2971，且1+1>2,

sine+lj<sin2,

SPcosl<sin2.

三、正弦函數、余弦函數的最值(值域)

例3求下列函數的值域：

(［兀、「C兀一

(l)y=coslx+gI,xe0,2；

(2)y=cos2x_4cosx+5,%￡R.

解⑴由尸cos(x+?),xe0,會可得x+*I，y,

因為函數'=8$彳在區間奈，號上單調遞減，所以函數的值域為

(2)y=cos2x—4cosx+5,令￡=cosx,x￡R,

則一IW/WL

y=A—4/+5=(/—2)?+l,—1W/W1,

當￡=一1時，函數取得最大值10；

當/=1時，函數取得最小值2,

所以函數的值域為『2,10』.

反思感悟三角函數值域（最值）問題的求解方法

⑴形如y=osinx（或y=〃cos%）型，可利用正弦函數、余弦函數的有界性，注意對4正負的討

論.

⑵形如y=Asin（s;+9）+。（或y=Acos（s+9）+Z?）型，可先由定義域求得cox+（p的范圍，

然后求得sin（3x+gX或cos（（yx+9））的范圍，最后求得值域（最值）.

（3）形如y=asin2x+bsinx+c（〃WO）型，可利用換元思想，設Z=sinx,轉化為二次函數y=at1

+初+c求最值的范圍需要根據定義域來確定.

跟蹤訓練3已知於）=2sin（2x—§+1,xe0,微，求於）的最大值和最小值.

解?工￡0,5，??—

_乙」3DD

當2LQ=一$即1=0時，段）min=-4+1,

當2X一4=冬即X=患時，/（X）max=3,

綜上，當％=0時，/（X）niin=—4+1,

5兀

當X=夜時，黃X）max=3.

核心素養之直觀想象-------------------------

正弦函數、余弦函數的對稱性

典例函數y=sin（2x+1）的圖象的對稱軸方程是,對稱中心的坐標是.

『答案』x=%+專收GZ）仔T一1，0）（左GZ）

『解析』根據正弦函數的周期性知，過函數圖象的最高點或最低點且與x軸垂直的直線均

是對稱軸，而函數圖象與x軸的交點均為對稱中心.

要使sin（2x+［）=±l,必有2x+^=fat+界GZ）,所以x=與+帝左GZ）,

即對稱軸方程為x=y+y^（^ez）,

而函數y=sin（2x+3的圖象與x軸的交點即為對稱中心，

所以令y=0,即sin（2x+§=0,

所以2x+4=E（%￡Z）,即x=竽一加￡Z）,

故函數尸sin（2x+§的圖象的對稱中心的坐標為，竽一2，O）?GZ）.

『素養提升』正弦曲線、余弦曲線的對稱軸一定分別過正弦曲線、余弦曲線的最高點或最

低點，即此時的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲線、余弦曲線的對稱中心一定是

正弦曲線、余弦曲線與x軸的交點，即此時的正弦值、余弦值為。.通過該類問題，培養直觀

想象的核心素養.

隨堂演練基礎鞏固學以致用

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1.函數尸一COSX在區間苫，?［上（）

A.單調遞增B.單調遞減

C.先減后增D.先增后減

『答案』C

TTTT

『解析』因為尸COSX在區間［一冬雪上先增后減，

JT7T

所以尸一COSX在區間［―5，上先減后增.

2.（多選）正弦函數〉=5加，xdR的圖象的一條對稱軸是（）

A.y軸B.直線了=一冷

C.直線x=3D.直線x=7t

『答案』BC

『解析』當天=冷時，y取最大值，；-=胃是一條對稱軸，

當x=—彳時y取最小值，是一條對稱軸.

3.下列關系式中正確的是（）

A.sin110<cos100<sin168°

B.sinl680<sinll0<