1.2空間向量基本定理素養目標?定方向

1．了解空間向量基本定理及其意義．(重點)2．掌握空間向量的正交分解．會用基底表示空間向量(難點)3．初步體會利用空間向量基本定理求解立體幾何問題的方法．(難點)

1．通過基底概念的學習，培養數學抽象素養．2．通過用空間向量基本定理解決簡單的立體幾何問題，提升直觀想象、數學運算、邏輯推理等素養.必備知識?探新知

空間向量基本定理知識點1如果三個向量a，b，c_________，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝____________________.我們把{a，b，c}叫做空間的一個_______，a，b，c都叫做基向量．思考1：零向量能否作為一個基向量？為什么？提示：不能．零向量與任意兩個向量a，b都共面．不共面xa＋yb＋zc基底做一做：判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)空間向量的基底是唯一的．(

)(2)若a，b，c是空間向量的一個基底，則a，b，c均為非零向量．(

)×√√√提示：(1)任意三個不共面向量都可以作為空間的一個基底．(2)若a，b，c中有一個零向量，則a，b，c三向量共面不能構成基底．(4)a，b，c不共面，則必有x＝y＝z＝0.空間向量的正交分解知識點21．單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量___________，且長度都是_____，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．兩兩垂直1做一做：判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)空間的單位正交基底是唯一的．(

)(2)單位正交基底中每一個基向量是單位向量．(

)(3)對于單位正交基底{i，j，k},2j＝0i＋2j＋0k.(

)提示：(1)不唯一．(2)由單位正交基底的定義可知正確．(3)由向量正交分解知正確．×√√關鍵能力?攻重難題型探究題型一基底的判斷[規律方法]

判斷基底的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構成基底；若不共面，則能構成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構成基底．②假設a＝λb＋μc，運用空間向量基本定理，建立λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底．

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，可以作為空間向量一個基底的是(

)對點訓練?C題型二用基底表示空間向量[規律方法]

用基底表示向量的步驟(1)定基底：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底．(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果．(3)下結論：利用空間向量的一個基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.對點訓練?題型三空間向量基本定理的應用3.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，點N為AA1的中點．[規律方法]

應用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行，可求兩條異面直線所成的角等．首先根據幾何體的特點，選擇一個基底，把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示．(1)若證明線線垂直，只需證明兩向量數量積為0.(2)若證明線線平行，只需證明兩向量共線．(3)若要求異面直線所成的角，則轉化為兩向量的夾角(或其補角)．

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；(2)求BD1與AC所成角的余弦值．對點訓練?課堂檢測?固雙基1．下列說法正確的是(

)A．任何三個不共線的向量可構成空間向量的一個基底B．空間的基底有且僅有一個C．兩兩垂直的三個非零向量可構成空間的一個基底D．基底{a，b，c}中基向量與基底{e，f，g}中基向量對應相等[解析]

A項中應是不共面的三個向量構成空間向量的基底；B項，空間基底有無數個；D項中因為基底不唯一，所以