專題01數與式的運算專題專題綜述課程要求初中階段“從分數到分式”，通過觀察、分析、類比，找出分式的本質特征，及它們與分數的相同點和不同點，進而歸納得出分式的概念及運算性質，我們已經運用的這些思想方法是高中繼續學習的法寶.二次根式是在學習了平方根、立方根等內容的基礎上進行的，是對“實數”、“整式”等內容的延伸和補充，對數與式的認識更加完善.二次根式的化簡對勾股定理的應用是很好的補充；二次根式的概念、性質、化簡與運算是高中學習解三角形、一元二次方程、數列和二次函數的基礎.二次根式是初中階段學習數與式的最后一章，是式的變形的終結章.當兩個二次根式的被開方數互為相反數時，可用“夾逼”的方法推出，兩個被開方數同時為零.本專題內容蘊涵了許多重要的數學思想方法，如類比的思想(指數冪運算律的推廣)、逼近的思想(有理數指數冪逼近無理數指數冪)，掌握運算性質，能夠區別與的異同.通過與初中所學的知識進行類比，理解分數指數冪的概念，進而學習指數冪的性質，掌握分數指數冪和根式之間的互化，掌握分數指數冪的運算性質.課程要求課程要求《初中課程要求》1、認識了實數及相關概念，如有理數、無理數；了解了實數具有順序性，知道字母表示數的基本代數思想2、初中會比較簡單實數的大小，初步接觸作差法3、理解了多項式與多項式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超過三步的數的混合運算4、掌握了平方根、立方根運算；了解了有理式和無理式的概念；了解了整數指數冪的含義《高中課程要求》1、高中必修一中常用數集都用了符號表示，同時為數系的擴充打基礎，會運算字母代表數的式子2、掌握用作差法、作商法來比較實數大小，體會變形過程中的技巧3、在高中會常常用到立方和、立方差、三數和的平方的公式，兩數和、差的立方公式.高中有很多混合運算都超過三步4、必須掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性質根式的大小比較，會把整數指數冪的運算及其性質推廣到分數指數冪知識精講知識精講高中必備知識點1：絕對值絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍是零．即：絕對值的幾何意義：一個數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離．兩個數的差的絕對值的幾何意義：表示在數軸上，數和數之間的距離．高中必備知識點2：乘法公式我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式；(2)立方差公式；(3)三數和平方公式；(4)兩數和立方公式；(5)兩數差立方公式．高中必備知識點3：二次根式一般地，形如的代數式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如，等是無理式，而，，等是有理式．1．分母(子)有理化把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化．為了進行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式．2．二次根式的意義高中必備知識點4：分式1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當M≠0時，分式具有下列性質：；．上述性質被稱為分式的基本性質．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典例剖析典例剖析高中必備知識點1：絕對值【典型例題】閱讀下列材料：我們知道的幾何意義是在數軸上數對應的點與原點的距離，即=，也就是說，表示在數軸上數與數0對應的點之間的距離；這個結論可以推廣為表示在數軸上數與數對應的點之間的距離；例1解方程||=2．因為在數軸上到原點的距離為2的點對應的數為，所以方程||=2的解為．例2解不等式|－1|＞2．在數軸上找出|－1|=2的解(如圖)，因為在數軸上到1對應的點的距離等于2的點對應的數為－1或3，所以方程|－1|=2的解為=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集為＜－1或＞3．例3解方程|－1|+|+2|=5．由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數軸上到1和－2對應的點的距離之和等于5的點對應的的值．因為在數軸上1和－2對應的點的距離為3(如圖)，滿足方程的對應的點在1的右邊或－2的左邊．若對應的點在1的右邊，可得=2；若對應的點在－2的左邊，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．參考閱讀材料，解答下列問題：(1)方程|+2|=3的解為；(2)解不等式：|－2|＜6；(3)解不等式：|－3|+|+4|≥9；(4)解方程:|-2|+|+2|+|-5|=15.【變式訓練】實數a、b在數軸上所對應的點的位置如圖所示：化簡a【能力提升】已知方程組x+y=5+a4x?y=10?6a的解x(1)求a的取值范圍；(2)化簡：2a+2?2高中必備知識點2：乘法公式【典型例題】(1)計算：(2)化簡：【變式訓練】計算：(1)(2)【能力提升】已知10x＝a，5x＝b，求：(1)50x的值；(2)2x的值；(3)20x的值．(結果用含a、b的代數式表示)高中必備知識點3：二次根式【典型例題】計算下面各題．(1);(2)【變式訓練】小穎計算時，想起分配律，于是她按分配律完成了下列計算：解：原式＝＝＝．她的解法正確嗎？若不正確，請給出正確的解答過程．【能力提升】先化簡，再求值：(-)÷，其中a=+，b=-．高中必備知識點4：分式【典型例題】先化簡，再求值，其中x滿足x2+x﹣1＝0．【變式訓練】化簡：÷(4x－y)【能力提升】已知：，則的值等于多少？對點精練對點精練

1．下列運算正確的是()A．＝ B．C．3x3﹣5x3＝﹣2 D．8x3÷4x＝2x32．下列計算結果正確的是()A． B．C．÷= D．3．若式子有意義，則下列說法正確的是()A．且 B． C． D．4．計算的結果是()A．3 B．0 C． D．5．若，，且的絕對值與相反數相等，則的值是()A． B． C．或 D．2或66．設有理數a、b、c滿足，且，則的最小值是()A． B． C． D．7．如果，，是非零有理數，那么的所有可能的值為()．A．，，0，2，4 B．，，2，4C．0 D．，0，48．如圖是一個按某種規律排列的數陣：根據數陣排列的規律，第n(n是整數，且n≥4)行從左向右數第(n-3)個數是(用含n的代數式表示)()．A． B． C． D．9．與最接近的整數是()A．3 B．4 C．5 D．610．設a為的小數部分，b為的小數部分，則的值為()A． B． C． D．11．若，則分式______﹒12．若分式的值為零，則的值為_______．13．已知整數a滿足，則分式的值為________．14．計算的結果等于_________．15．計算__．16．化簡：___________17．化簡的結果為____．18．若有理數x，y，z滿足(|x+1|+|x﹣2|)(|y﹣1|+|y﹣3|)(|z﹣3|+|z+3|)＝36，則x+2y+3z的最小值是_____．19．已知，則的最小值為__．20．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，則x+y的最小值是_____．21．(1)計算：；(2)先化簡，再求值：，其中．22．計算：．23．已知a，b，c滿足，請回答下列問題：(1)直接寫出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在數軸上表示．(2)a，b，c所對應的點分別為A，B，C，若點A以每秒1個單位長度向右運動，點C以每秒3個單位長度向左運動；①運動1.5秒后，A，C兩點相距幾個單位長度．②幾秒后，A，C兩點之間的距離為4個單位長度．24．同學們都知道，表示4與的差的絕對值，實際上也可理解為4與兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離：問理也可理解為x與3兩數在數軸上所對應的兩點之問的距離，試探索：(1)_______．(2)找出所有符合條件的整數x，使成立，并說明理由(3)由以上探索猜想，對于任何有理數x，是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．25．(1)已知，求代數式的值；(2)化簡：．26．先化簡，再求值：，其中．27．如圖，甲、乙兩張卡片上均有一個系數為整數的多項式，其中乙中二次項系數因為被污染看不清楚．(1)嘉嘉認為污染的數為，計算“”的結果；(2)若，淇淇認為存在一個整數，可以使得“”的結果是整數，請你求出滿足題意的被污染的這個數．28．(1)計算：(2)先化簡再求值：，其中．29．已知，求代數式的值．30．計算：(1)(2)(3)(4)專題01數與式的運算專題專題綜述課程要求初中階段“從分數到分式”，通過觀察、分析、類比，找出分式的本質特征，及它們與分數的相同點和不同點，進而歸納得出分式的概念及運算性質，我們已經運用的這些思想方法是高中繼續學習的法寶.二次根式是在學習了平方根、立方根等內容的基礎上進行的，是對“實數”、“整式”等內容的延伸和補充，對數與式的認識更加完善.二次根式的化簡對勾股定理的應用是很好的補充；二次根式的概念、性質、化簡與運算是高中學習解三角形、一元二次方程、數列和二次函數的基礎.二次根式是初中階段學習數與式的最后一章，是式的變形的終結章.當兩個二次根式的被開方數互為相反數時，可用“夾逼”的方法推出，兩個被開方數同時為零.本專題內容蘊涵了許多重要的數學思想方法，如類比的思想(指數冪運算律的推廣)、逼近的思想(有理數指數冪逼近無理數指數冪)，掌握運算性質，能夠區別與的異同.通過與初中所學的知識進行類比，理解分數指數冪的概念，進而學習指數冪的性質，掌握分數指數冪和根式之間的互化，掌握分數指數冪的運算性質.課程要求課程要求《初中課程要求》1、認識了實數及相關概念，如有理數、無理數；了解了實數具有順序性，知道字母表示數的基本代數思想2、初中會比較簡單實數的大小，初步接觸作差法3、理解了多項式與多項式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超過三步的數的混合運算4、掌握了平方根、立方根運算；了解了有理式和無理式的概念；了解了整數指數冪的含義《高中課程要求》1、高中必修一中常用數集都用了符號表示，同時為數系的擴充打基礎，會運算字母代表數的式子2、掌握用作差法、作商法來比較實數大小，體會變形過程中的技巧3、在高中會常常用到立方和、立方差、三數和的平方的公式，兩數和、差的立方公式.高中有很多混合運算都超過三步4、必須掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性質根式的大小比較，會把整數指數冪的運算及其性質推廣到分數指數冪知識精講知識精講高中必備知識點1：絕對值絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍是零．即：絕對值的幾何意義：一個數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離．兩個數的差的絕對值的幾何意義：表示在數軸上，數和數之間的距離．高中必備知識點2：乘法公式我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式；(2)立方差公式；(3)三數和平方公式；(4)兩數和立方公式；(5)兩數差立方公式．高中必備知識點3：二次根式一般地，形如的代數式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如，等是無理式，而，，等是有理式．1．分母(子)有理化把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化．為了進行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式．2．二次根式的意義高中必備知識點4：分式1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當M≠0時，分式具有下列性質：；．上述性質被稱為分式的基本性質．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典例剖析典例剖析高中必備知識點1：絕對值【典型例題】閱讀下列材料：我們知道的幾何意義是在數軸上數對應的點與原點的距離，即=，也就是說，表示在數軸上數與數0對應的點之間的距離；這個結論可以推廣為表示在數軸上數與數對應的點之間的距離；例1解方程||=2．因為在數軸上到原點的距離為2的點對應的數為，所以方程||=2的解為．例2解不等式|－1|＞2．在數軸上找出|－1|=2的解(如圖)，因為在數軸上到1對應的點的距離等于2的點對應的數為－1或3，所以方程|－1|=2的解為=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集為＜－1或＞3．例3解方程|－1|+|+2|=5．由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數軸上到1和－2對應的點的距離之和等于5的點對應的的值．因為在數軸上1和－2對應的點的距離為3(如圖)，滿足方程的對應的點在1的右邊或－2的左邊．若對應的點在1的右邊，可得=2；若對應的點在－2的左邊，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．參考閱讀材料，解答下列問題：(1)方程|+2|=3的解為；(2)解不等式：|－2|＜6；(3)解不等式：|－3|+|+4|≥9；(4)解方程:|-2|+|+2|+|-5|=15.答案:(1)或x=－5；(2)－4＜x＜8；(3)x≥或x≤－5；(4)或.解析：(1)由已知可得x+2=3或x+2=-3解得或x=－5．(2)在數軸上找出|－2|=6的解．∵在數軸上到2對應的點的距離等于6的點對應的數為－4或8，∴方程|－2|=6的解為x=－4或x=8，∴不等式|－2|＜6的解集為－4＜x＜8．(3)在數軸上找出|－3|+|+4|=9的解．由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數軸上到3和－4對應的點的距離之和等于15的點對應的x的值．∵在數軸上3和－4對應的點的距離為7，∴滿足方程的x對應的點在3的右邊或－4的左邊．若對應的點在3的右邊，可得x=4；若對應的點在－4的左邊，可得x=－5，∴方程|－3|+|+4|=9的解是x=或x=－5，∴不等式|－3|+|+4|≥9的解集為x≥或x≤－5．(4)在數軸上找出|-2|+|+2|+|-5|=15的解．由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數軸上到2和－2和5對應的點的距離之和等于9的點對應的x的值．∵在數軸上-2和5對應的點的距離為7，∴滿足方程的x對應的點在-2的左邊或5的右邊．若對應的點在5的右邊，可得；若對應的點在－2的左邊，可得，∴方程|-2|+|+2|+|-5|=15的解是或.【變式訓練】實數a、b在數軸上所對應的點的位置如圖所示：化簡a答案:a-2b解析：解：由數軸知：a＜0，b>0，|a|＞|b|，

所以b-a>0，a-b＜0

原式=|a|-(b-a)-(b-a)

=-a-b+a-b+a

=a-2b【能力提升】已知方程組x+y=5+a4x?y=10?6a的解x(1)求a的取值范圍；(2)化簡：2a+2?2答案:(1)?1<a<3；(2)4a解析：(1)x+y=5+a①4x?y=10?6a②，①+②得：5x=15?5a，即x=3?a，代入①得：y=2+2a，根據題意得：xy=(3?a)(2+2a)>0，解得?1<a<3；(2)∵?1<a<3，∴當?1<a<3時，2a+2高中必備知識點2：乘法公式【典型例題】(1)計算：(2)化簡：答案:(1)3(2)4ab-8b2解析：解：(1)原式=4+1+(-8)÷4=5-2=3(2)原式=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)=a2-4b2-a2+4ab-4b2=4ab-8b2【變式訓練】計算：(1)(2)答案:(1)8(2)－6x+13解析：(1)原式=1+16-9=8；(2)原式=x2-6x+9-(x2-4)=x2-6x+9-x2+4=-6x+13.【能力提升】已知10x＝a，5x＝b，求：(1)50x的值；(2)2x的值；(3)20x的值．(結果用含a、b的代數式表示)答案:(1)ab;(2);(3).解析：解：(1)50x＝10x×5x＝ab；(2)2x＝；(3)20x＝．高中必備知識點3：二次根式【典型例題】計算下面各題．(1);(2)答案:(1);(2)解析：(1)()×﹣6＝3﹣6﹣3＝﹣6；(2)+2﹣﹣4＝2+2﹣﹣4＝﹣2．【變式訓練】小穎計算時，想起分配律，于是她按分配律完成了下列計算：解：原式＝＝＝．她的解法正確嗎？若不正確，請給出正確的解答過程．答案:不正確，見解析解析：解：不正確，正確解答過程為：原式＝÷＝═.【能力提升】先化簡，再求值：(-)÷，其中a=+，b=-．答案:；．解析：解：(-)÷====，當a=+，b=-時，原式===．高中必備知識點4：分式【典型例題】先化簡，再求值，其中x滿足x2+x﹣1＝0．答案:,1.解析：解：原式＝∴原式＝1.【變式訓練】化簡：÷(4x－y)答案:解析：÷(4x－y)==.【能力提升】已知：，則的值等于多少？答案:.解析：解：∵，∴a-b=-2ab，則對點精練對點精練

1．下列運算正確的是()A．＝ B．C．3x3﹣5x3＝﹣2 D．8x3÷4x＝2x3答案:A解：A，，正確．B，，不正確．C，3x3﹣5x3＝﹣2x3，不正確．D，8x3÷4x＝2x2，不正確．故選：A．

2．下列計算結果正確的是()A． B．C．÷= D．答案:A∵，∴選項A計算正確；∵，∴選項B計算錯誤；∵÷=，∴選項C計算錯誤；∵不是同類項，無法計算，∴選項D計算錯誤；故選A

3．若式子有意義，則下列說法正確的是()A．且 B． C． D．答案:C解：由題意可知：∴故選：C

4．計算的結果是()A．3 B．0 C． D．答案:A解：===3．故選A．

5．若，，且的絕對值與相反數相等，則的值是()A． B． C．或 D．2或6答案:C解：∵，，∴，，∵的絕對值與相反數相等，∴＜0，∴，，或，故選：C．

6．設有理數a、b、c滿足，且，則的最小值是()A． B． C． D．答案:C解：∵，∴a，c異號，∵，∴，，又∵，∴，又∵表示到，，三點的距離的和，當在時距離最小，即最小，最小值是與之間的距離，即．故選：C．

7．如果，，是非零有理數，那么的所有可能的值為()．A．，，0，2，4 B．，，2，4C．0 D．，0，4答案:D①a、b、c均是正數，原式==；②a、b、c均是負數，原式==；③a、b、c中有一個正數，兩個負數，原式==；④a、b、c中有兩個正數，一個負數，原式==；故選D．

8．如圖是一個按某種規律排列的數陣：根據數陣排列的規律，第n(n是整數，且n≥4)行從左向右數第(n-3)個數是(用含n的代數式表示)()．A． B． C． D．答案:C由圖中規律知，前(n-1)行的數據個數為2+4+6+…+2(n-1)＝n(n-1)，∴第n(n是整數，且n≥4)行從左向右數第(n-3)個數的被開方數是：n(n-1)+n-3＝n2-3，∴第n(n是整數，且n≥4)行從左向右數第(n-3)個數是：故選：C．

9．與最接近的整數是()A．3 B．4 C．5 D．6答案:B解：原式=，∵49<54<64，∴，∵，∴，∴最接近7，∴最接近7-3即4，故選：B．

10．設a為的小數部分，b為的小數部分，則的值為()A． B． C． D．答案:B∴a的小數部分為，∴b的小數部分為，∴，故選：B．

11．若，則分式______﹒答案:解：兩邊都乘，得：①②將①代入②得：故答案為：﹒

12．若分式的值為零，則的值為_______．答案:解：∵分式的值為零，∴且，解方程得，，；解不等式得，，∴故答案為：．

13．已知整數a滿足，則分式的值為________．答案:==，由題意且，所以且且，又∵整數a滿足，∴，當時，原式=，故答案為：．

14．計算的結果等于_________．答案:解：．故答案為：．

15．計算__．答案:3解：原式．故答案為：3．

16．化簡：___________答案:解：要使該二次根式有意義，則有

故答案為：．

17．化簡的結果為____．答案:解：原式．故答案為：．

18．若有理數x，y，z滿足(|x+1|+|x﹣2|)(|y﹣1|+|y﹣3|)(|z﹣3|+|z+3|)＝36，則x+2y+3z的最小值是_____．答案:﹣8解：當x＜﹣1時，|x+1|+|x﹣2|＝﹣(x+1)﹣(x﹣2)＝﹣2x+1＞3，當﹣1≤x≤2時，|x+1|+|x﹣2|＝x+1﹣(x﹣2)＝3，當x＞2時，|x+1|+|x﹣2|＝x+1+x﹣2＝2x﹣1＞3，所以可知|x+1|+|x﹣2|≥3，同理可得：|y﹣1|+|y﹣3|≥2，|z﹣3|+|z+3|≥6，所以(|x+1|+|x﹣2|)(|y﹣1|+|y﹣3|)(|z﹣3|+|z+3|)≥3×2×6＝36，所以|x+1|+|x﹣2|＝3，|y﹣1|+|y﹣3|＝2，|z﹣3|+|z+3|＝6，所以﹣1≤x≤2，1≤y≤3，﹣3≤z≤3，∴x+2y+3z的最大值為：2+2×3+3×3＝17，x+2y+3z的最小值為：﹣1+2×1+3×(﹣3)＝﹣8．故答案為：﹣8．

19．已知，則的最小值為__．答案:．，，可理解為在數軸上，數的對應的點到和1兩點的距離之和；可理解為在數軸上，數的對應的點到和5兩點的距離之和，當，的最小值為3；當時，的最小值為6，的范圍為，的范圍為，當，時，的值最小，最小值為．故答案為：．

20．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，則x+y的最小值是_____．答案:解：∴，∴，，∴的最小值為，故答案為：．

21．(1)計算：；(2)先化簡，再求值：，其中．答案:(1)；(2)；5解：(1)原式．(2)原式，．當時，原式．

22．計算：．答案:解：原式．

23．已知a，b，c滿足，請回答下列問題：(1)直接寫出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在數軸上表示．(2)a，b，c所對應的點分別為A，B，C，若點A以每秒1個單位長度向右運動，點C以每秒3個單位長度向左運動；①運動1.5秒后，A，C兩點相距幾個單位長度．②幾秒后，A，C兩點之間的距離為4個單位長度．答案:(1)-3，1，5，數軸見解析；(2)①2；②1秒或3秒解：(1)∵，∴a+3=0，b-1=0，c-5=0，∴a=-3，b=1，c=5，數軸表示如下：(2)①由題意可得：1.5秒后，點A表示的數為：-3+1.5×1=-1.5，點C表示的數為：5-3×1.5=0.5，